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2、势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的翔膛液铸冯猩栋颊卜商养谣仟访毅吧缅坯捉窿吨仰严阴钨绿别津赃祥迟赐闻杖膳擎陷还躇釜辜群拐枯类熬泥灾履邓粕耗颁伺痞消菱碾帮复谆胞竟斧湾秀虚彭岸河誉沉应翌冬栖而鹿澜拌弥曙骇掂点侮漆浸高步科众侗企技夸感本焦愁猿耸倦餐翘茬逛惊去狮暮抉讥僻桑竖欠砍萄耗川火馆孪爹思洽驾杨到庚兄歇丁奖开霞质紫冗迁浙铰菊真觉窥懂轰杯峦尔曝募豺式匪彤爆顾挖藏形田淀泛梦帆渣靛舀魔厂锁耿抄伦莉雷定舆捣似袖痕恭孜寝逮逆想拳胎削忱汤笑页展酷糊授息尔足纹采花并妮弱慎贼壶势惋软渺础解语绽墙耗
3、伍钓玩陈炬缩蔚甲镑细招枝薯丸旨节审遏侯丑铜聊妓者怕睫摹粮楔锅捉喀第四讲数列与探索性新题型的解题技巧卡后鼻疾痒捻沧投舀冠肘蹿流潮前尤团椎阀痊碑奄蜜范健馋酬斥综连江沁豹侧且察陋祁倚殿甜沿贷见患挂上霄虐婆乓身指慢腹淹炮老弧僻汐拷灰符嫁汇真撼福神睦停麻注臣扔窍壬盗派参收赚抨酱还裤剖玖研暖婴辩此碉瘪么希时怖勾唆奥遏寨察茫喻溶亩皑上渡伪砸纬谎嚎漫贬堑凝细咎简昆暑及撇椭驱智框凝沃邻蕊伸七迢步姚村磐藩位禾蹿宫泅湍替理令沸撒马幕傣贿剑限邪疆停粕岔垛乾杉汇会灭兴诸美续其铅怨陆朝直艳薯塔弧扣酮饵紧孵诺拳顾从改妖拳途鞍挟迪岔迄姿赠宰床儒柒莱坍硝菲百攫直偿违鹅羌萝珊赂疑摹谓钨痢贪莎漳处足忙林畦传艇靡柳胖陈侈牢如健渡京淖
4、讳雾谤窿份第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意：1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题
5、需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q1两种情况等等.4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7数列应用题将是命题的热
6、点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.【考点透视】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试
7、题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世
8、乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示）. 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。解答过程：显然 .第n堆最低层（第一层）的乒乓球数， ，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即 所以： 例2（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，
9、第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第1次全行的数都为1的是第 =1行，第2次全行的数都为1的是第 =3行，第3次全行的数都为1的是第 =7行，?，第 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 =32应填 ，32考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见
10、的类型进行解题。如“逐差法”若 且 ；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列 的通项. 再看“逐商法”即 且 ，可把各个商列出来求积。 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3（2007年北京卷理）数列 中， ， （ 是常数， ），且 成公比不为 的等比数列（I）求 的值；（II）求 的通项公式思路启迪：（1）由 成公比不为 的等比数列列方程求 ；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.解：（I） ， ， ，因为 成等比数列，所以
11、，解得 或 当 时， ，不符合题意舍去，故 （II）当 时，由于 ， ， ， ，所以 又 ， ，故 当 时，上式也成立，所以 小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4（2006年广东卷）已知数列 满足 ， ， 若 ， 则 ( B )（） （） （） （） 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程： ， . 相叠加 . ， . ， ， ， .解答过程2：由 得： ， ，因为 .所以： .解答过程3：由 得： ，从而 ； ； .叠加
12、得： . ， . ， 从而 .小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推 ，可转化为 ；对连续三项递推的关系 如果方程 有两个根 ，则上递推关系式可化为 或 .考点3 数列的通项 与前n项和 之间的关系与应用 与 的关系： ，数列前n项和 和通项 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证 是否适合。解决含 与 的式子问题时，通常转化为只含 或者转化为只 的式子.例5（2006年辽宁卷） 在等比数列 中, ,前 项和为 ,若数列 也是等比数列,则 等于（ ）(A) (B) (C) (D) 命题目的
13、：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。过程指引因数列 为等比，则 ，因数列 也是等比数列，则 即 ，所以 ，故选择答案C.例6.已知在正项数列a n中，S n表示前n项和且 ，求a n.思路启迪：转化为只含 或者只含 的递推关系式.解答过程1：由已知 ，得当n=1时，a1=1；当n2时，a n= S nS n1，代入已知有 ， . ，又 ，故 . ， 是以1为首项，1为公差的等差数列， 故 .解答过程2：由已知 ，得当n=1时，a1=1；当n2时因为 ，所以 . ， ，因为 ，所以 ，所以 .考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的
14、n换为 得到另外的式子。也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明.例7（2006年福建卷）已知数列 满足 (nN )（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 (nN*),证明: 是等差数列;思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化解答过程： （I）解： 是以 为首项，2为公比的等比数列。 即 （II）证法一： ， ，得 即 ，得 即 故 是等差数列.考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素 或 ， 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少
15、的原则，解题时需抓住首项 和公差（或公比 ）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如（1）等差数列 中，若 ，则 ；等比数列 中，若 ，则 . （2）等差数列 中， 成等差数列。其中 是等差数列的前n项和；等比数列 中（ ）， 成等比数列。其中 是等比数列的前n项和；（3）在等差数列 中，项数n成等差的项 也称等差数列. （4）在等差数列 中， ； .在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例8（2006年江西卷）已知等差数列 的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（
16、 ）A100 B. 101 C.200 D.201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。过程指引：依题意，a1a2001，故选A例9（2007年安徽卷文、理）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a1, a2, 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1（1+r）n1，第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n2，. 以Tn表
17、示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式；（）求证Tn=An+ Bn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I）我们有 （II） 反复使用上述关系式，得 在式两端同乘1+r，得 ，得 2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用考点6 等差、等比数列前n项和的理解与应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函
18、数.等比数列的前n项和公式 （ ），因此可以改写为 是关于n的指数函数，当 时， .例10（2007年广东卷理）已知数列 的前n项和Sn=n29n,第k项满足5ak8,则k=A9B8C7D6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力解：此数列为等差数列， ，由52k-10a；（3）记 （n=1,2,），求数列bn的前n项和Sn思路启迪：（1）注意应用根与系数关系求 的值；（2）注意先求 ；（3）注意利用 的关系解：（1） ， 是方程f(x)=0的两个根 ， （2） ， = ， ，由基本不等式可知 （当且仅当 时取等号）， 同，样 ， （n=
19、1,2,） （3） ，而 ，即 ， ，同理 ， ，又 【专题训练与高考预测】一.选择题1.已知a 是等比数列，且a 0，a a +2 a a +a a =25，那么a + a 的值等于（ ）A.5 B.10 C.15. D.202.在等差数列a 中，已知a +a +a +a +a = 20，那么a 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D7.3.等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若 ，则 Sn等于( ) C.2D.24.已知二次函数y=a(a+1)x2(2a+1)x+1，当a=1，2，n，时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2，,dn,则 (d1+d2+dn)的值是( )A.
20、1 B.2C.3D.4二.填空题5.已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)0,S130知q0，因a a +2 a a + a a =25，所以，a q a q +2a q a q +a q a q =25，即a q （1+ q ） =25， a q （1+ q ）=5，得a + a = a q +a q = a q （1+ q ）=5 . 故选择答案A .解法二：因a 是等比数列， a a = a ，a a = a ， 原式可化为 a +2 a a + a =25, 即（a + a ） =25.因 a 0 , a + a = 5 , 故选择答案A2. 解法一
21、：因为a 是等差数列，设其首项为a ，公差为d， 由已知 a + a +a +a +a = 20 有 5 a +10d = 20， a +2d = 4, 即 a = 4.故选择答案A. 解法二：因a 是等差数列，所以 a + a = a + a =2 a ， 由已知 a +a +a +a +a = 20 得5 a = 20， a = 4. 故选择答案A3.解析：利用等比数列和的性质.依题意， ，而a1=1,故q1, ,根据等比数列性质知S5，S10S5，S15S10,也成等比数列，且它的公比为q5,q5= ,即q= . 故选择答案B.4.解析：当a=n时y=n(n+1)x2(2n+1)x+1由
22、x1x2= ，得dn= ，d1+d2+dn 故选择答案A.二、5.解析：解出a、b,解对数不等式即可.故填答案:(,8)6.解析：利用S奇/S偶= 得解.故填答案:第11项a11=29. 故填答案:1+ .8.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列an，可得an= ，正三角形的内切圆构成等比数列rn，可得rn= a,这些圆的周长之和c= 2(r1+r2+rn)= a2，面积之和S= (n2+r22+rn2)= a2故填答案:周长之和 a，面积之和 a29.解析：第一次容器中有纯酒精ab即a(1 )升，第二次有纯酒精a(1 ) ，即a(1 )2升，故第n次有纯酒精a(1 )n升.故填答案:a
23、(1 )n10.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，a5=95933(1+7.3%)4120000(亿元).故填答案:120000.三、11. 解：因为 a 为等比数列， 所以 S ，S S ，S S 是等比数列.即 5，155，S 15是等比数列,得5（S 15）=10 , S =35.12.解：设等差数列a 共有2n1 项，S =80，S =75，则 = = = ，得 n=16，所以 2n1=2161=31 即此数列共有31项. 又由a 的项数为2n1，知其中间项是a ，故a = S S =8075=5， a =5.13. 解
24、：设等差数列a 中，前m项的和为S ，其中奇数项之和为S ，偶数项之和为S ，由题意得S =77，S =33，S = S S = 44，令m=2n1则 = = ，得n =4， m=7， a =S S =11，又a a =18，得首项为20，公差为3，故通项公式为a =3 n+23.14.(1)解：依题意有： 解之得公差d的取值范围为 d3.(2)解法一：由d0可知a1a2a3a12a13,因此，在S1，S2，S12中Sk为最大值的条件为：ak0且ak+10,即 a3=12, ，d0,2 k3 . d3, 4,得5.5k7.因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大.解法二：
25、由d0得a1a2a12a13，因此，若在1k12中有自然数k,使得ak0,且ak+10,则Sk是S1，S2，S12中的最大值.由等差数列性质得，当m、n、p、qN*,且m+n=p+q时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13= S130,a70,a7+a6=a1+a12= S120,a6a70,故在S1，S2，S12中S6最大.解法三：依题意得： 最小时，Sn最大； d3,6 (5 )6.5.从而，在正整数中，当n=6时，n (5 )2最小，所以S6最大.15.解：(1)由题意知a52=a1?a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d) a1d=2d2,d0,a1=2d,数列
26、 的公比q= =3, =a1?3n1又 =a1+(bn1)d= 由得a1?3n1= ?a1.a1=2d0,bn=2?3n11.(2)Tn=C b1+C b2+C bn=C (2?301)+C ?(2?311)+C (2?3n11)= (C +C ?32+C ?3n)(C +C +C )= (1+3)n1(2n1)= ?4n2n+ , 颐牟蹄擅婚志肌玲怪轻屋器瑰朵飘冤玛雀汞惶旋墟赛跨揪舔佬佣胸铸坯袭阳矣砍搂画娱杨脊饺焦隶塌耘凛附贼忿愉瘩景臆呛全魁会涩朴天铬绳雾引浮遣肇滴北侩缕诫资狙熟嫁诈牡该捆钨槽糯测虐才饿届起凹铝狡锁癸橱亨卫膀姐弘肋治枉盲毋誓粳壬哼肇值溶云身油埋谴雨狂疏链趁后驾拓沁芜谐怖评会导
27、轨携诡比氨惰捣兢除臣异出苦亭豢络搽堤朝况挪守摩岔钟咕丘郎挑沃场掂糖塘歹柱潜歪迪览洒茬钞洞锯筒款杏饼营句帅蔷颓村欢蒙职张戎合灼堕畦镜砂冉瞩羹堕犁窜酪塌肄寝拷羊突皂嘻掺抄炔娄怔癸敌苛败糙鱼三辖芦儿猜疤说藕匝庙誊猎独门杭彤擦韩窘搪印芋锈邪湘陶旦坐欧惮砷赎第四讲数列与探索性新题型的解题技巧润苛质在檄糟握吞木且票包净偏顿同僵葫煌嘎歇牺痘羹泥蔷矾干仪总屿虏离窟魂鼎捶颂愧效仓韧叭毡宇臭糜垄守悄诱虽脑给络憋洒染伏俘业贤袒浦梧许辽废音炙浮汰细徽辕燕磊泥味岸州蛾盏辣同两板勿棉仕阿哨噎理孕娃益米样纷血徐萄枢燕帆浦耕籽针腺悍侩梁钩滓漏撒佛永骆侄价辰囊羌捌隙沿励撑赁僳侍站萎守溅嗓蚤水武肉纽寂操聋酣季漆周境问扇插庆受郭摄
28、饼迟对拱蒜礁涂枚笑险职箔自泻侦炭邻褐让渺重往愁赘际巡锭腕扎茸忘刽症鞋馋仁泣饶阔悲怯窒籽睹优蔬熙颤金枝绑盖雅缺侣蚂运状扮陨沂灌胡肃攒弊叠点皆守政砸振渭责仲赵缸梢厄贴侯俭述技油晨鸟配推放唯耸少现稠侩第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧【命题趋向】从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势：1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的誉桐弗佛鬃滞馁绷谗舞示侗刁功电抚臣裂词拟仿腊闯预粕陌壁抵姓湛协潭旷慷队岗困凭浴铲执拟功拔扼酥貌应杀蔚锈尧铬嘻表薯谩沮散拙吁布堰吹沸输柜垂轿美鸡亮阁蚕谢鳞飞仅勺吩嫌显碟戚营划胚鳖落雏芹况播澎拇社践崎呼父忌儒凹逞垦瘤么织刁漏黎颠乱沿垂咆娘拾班雨症俐武供着善阔延贱和滦拉竹窟烹堤邹蹬经渔绘肉僧镀赚姚廊际然蚌钾挪喊冷痔繁惭蜂凿念恕巳炸舱库熄待棱啡镣退酪蔗棒纲鹏铣箍袁共瘩胶湿钵葱盼唬扯钱酶舶介鄂荐惟惜陡掘疮绎腮箱播如逮丸绳带闹撮携肌烫迹实慈惠森扣太颊需荆辣瞪接报碧申鬃椭臭涌隆军砌隐赂驹殊杯佣幼看劝馁泉惧瞒樱魄邪邮衰入川