《九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲.doc（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 学习目标 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三” 。 （1）过 圆心， （2）垂直于弦， （3）平分弦， （4）平分劣弧， （5）平分优弧。已知其中两项，可推出 其余三项。注意：当知（1） （3）推（2） （4） （5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦， 平分两弧。 ”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧” 。 2. 深入
2、理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心 O，垂足 M，弦 中点 M，劣弧中点 D，优弧中点 C，五点共线。 （M 点是两点重合的一点， 代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形AOM，在 RtAOM 中，AO 为 圆半径，OM 为弦 AB 的弦心距，AM 为弦 AB 的一半，三者把解直角形的 知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该 RtAOM 时，注意巧添弦心距， 或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的 （4） （2）或（5） （2）可推（1） （3） （5）或（1） （3） （4） ，实际可用垂径定理
3、及推论解决 弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等， （2）所对弧相等， （3）所对弦相等， （4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三” ，一项相等，其余三项皆相 等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 ( )( )( )( )1234 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为 辅助线。 7. 圆心角的度数度数与弧的度数度数等，而不是角等于弧。 二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。 【典型例题典型例题】 例 1. 已知：在
4、O 中，弦 AB12cm，O 点到 AB 的距离等于 AB 的一半，求：AOB 的度 数和圆的半径。 点悟：点悟：本例的关键在于正确理解什么是 O 点到 AB 的距离。 解：解：作 OEAB，垂足为 E，则 OE 的长为 O 点到 AB 的距离，如图所 示： OEABcm 1 2 1 2 126 () 由垂径定理知：AEBEcm 6 AOE、BOE 为等腰直角三角形 AOB90 由AOE 是等腰直角三角形 OAAE6 26， 即O 的半径为6 2cm 点拨：点拨：作出弦（AB）的弦心距（OE） ，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键。 例 2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小
5、圆于 C、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为 a，b。 求证：ADBDab 22 证明：证明：作 OEAB，垂足为 E，连 OA、OC 则OAaOCb， 在中，Rt AOEAEOAOE 222 在中，Rt COECEOCOE 222 AECEOAOEOCOE 222222 OAOC ab 22 22 即AECEAECEab 22 BDACEDCE, ADEDAECEAE BDACCEAE 即 22 baBDAD 点拨：点拨：本题应用垂径定理，构造直角三角形，再由勾股定理解题，很巧妙。 例 3. O 的直径为 12cm，弦 AB 垂直平分半径 OC，那么弦 AB 的长为（ ） A. B. 6cm
6、C. D. 3 3cm6 3cm12 3cm （2001 年辽宁） 解：解：圆的半径为 6cm，半径 OC 的一半为 3cm，故弦的长度为 2 632 3 216 3 2222 ()cm 故选 C。 例 4. 如图所示，以 O 为圆心，AOB120，弓形高 ND4cm，矩形 EFGH 的两顶点 E、F 在弦 AB 上，H、G 在上，AB 且 EF4HE，求 HE 的长。 解：解：连结 AD、OG AODAOB 1 2 1 2 12060 OAOD C O A B M D O A E B A C E D B O D H M G A B O E F N 2 AOD 为等边三角形 ODAN NOND
7、4cm ODOG8cm 设，则HExMGxMOxcm24， 在中，由得：Rt OMGMGOMOG 222 xx428 22 解得：（舍去）xx 12 12 5 4 ， HE 的长为cm 12 5 点拨：点拨：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解决几何计算题的常 用方法。 例 5. 已知，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且，则 DC 的ABcmOCcm85， 长为（ ） A. 3cmB. 2.5cmC. 2cmD. 1cm （2001 年北京东城区） 解：解：OD 543 22 DCcm532 () 故选 C。 常见错误：将 DC 错算为 OD，即算出 OD 就不再
8、计算 DC 了，从而错选 A。这种错误十分 常见，一定要注意慎重的计算完全。 例 6. 在O 中，那么（ ）ABAC 2 A. B. C. D. ABACABAC 2ABAC 2ABAC 2 解：解：如图所示，连结 BC。 ABAC 2 ACBC ACBC 在ABC 中，ABACBC AB2AC 故选 D。 点拨：点拨：本题考察弦、弧、圆心角之间的关系，要正确理解三者之间的关系定理。 例 7. 已知O 的半径是 10cm，是 120，那么弦 AB 的弦心距是（ ）AB A. 5cmB. C. D. 5 3cm10 3cm 5 2 3cm 解：解：如图所示，AOB120OAcm 10 AOCAO
9、B 1 2 60 在 RtACO 中， COAOAOCcmcos()10 1 2 5 故选 A。 点拨：点拨：本题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系，要正确构造三角形，灵活运用。 例 8. 等腰ABC 的顶角 A120，腰 ABAC10，ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20B. 15C. 10D. 5 解：解：如图所示，连结 OA、OB ABAC10 ABAC 由垂径定理的推论，得 OA 垂直平分 BC，垂足为 D 又BAC120 ABCACB30 BAO60 又OAOB AOB 是等边三角形 半径 OAOBAB10 故选 C。 点拨：点拨：垂径定理及其推论是很重要的性质，主要解题思路
10、是构造特殊的三角形，然后应 用定理解题。 例 9. 点 P 为半径是 5 的O 内一点，且 OP3，在过点 P 的所有弦中，长度为整数的弦 一共有（ ） A. 2 条B. 3 条C. 4 条D. 5 条 （2002 年山东） 解：解：选 C。 点拨：点拨：圆是中心对称图形，故与 P 点对称的点，关于中点对称有一个，关于轴对称有 2 个。因此，长度为整数弦一共有 4 条。 例 10. 如图所示，M、N 分别是O 的弦 AB、CD 的中点，ABCD。 求证：AMNCNM 点悟：点悟：由弦 ABCD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的 关系定理，又 M、N 分别为 AB、CD 的中点，如连结 OM
11、、ON，则有 OMON，OMAB，ONCD，故易得结论。 证明：证明：连结 OM、ON O 为圆心，M、N 分别为弦 AB、CD 的中点 OMAB，ONCD ABCD C A B O A B O C A B C O D A C M N B D O 3 OMON OMNONM AMN90OMN CNM90ONM AMNCNM 点拨：点拨：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来 证题。 例 11. 在与中，分别有 40的和，那么：O1O2MN M N 11 （1）与相等吗？MN M N 11 （2）与相等吗？MO N 1 M O N 121 错解：（1）因为与都是
12、40的弧MN M N 11 所以MN M N 11 （2）与相等，所以MN M N 11 M O NM O N 11121 常见错误：（1）误以为弧的度数相等弧亦相等，两弧相等必须是在同圆或等圆的前提 下，看它们是否“重合” ；（2）应该知道圆心角是角，它的大小是可以用度数来衡量的，度 数相同的角就相等。可见它不受所对的弧相等与否来制约。 正解：正解：（1）不一定相等。 （2）相等。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在O 中，
13、AB、CD 是弦，若，则 ABCDACBD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知 P 为O 内一点，且 OP3cm，如果O 的半径是 4cm，那么过 P 点的最短弦等于 （ ） A. 2cmB. 3cmC. cmD. cm72 7 3. 弓形弦长 24，弓形高为 8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10B. 26C. 13D. 5 4. 在直径是 10cm 的O 中，为 60，则弦 AB 的弦心距是（ ）AB A. B. C. D. 10 3cm 15 2 3cm5 3cm 5 2 3cm 5. AB、CD 分别为大小不同圆的弦，共 ABCD，那么的关系是（ ）ABCD
14、、 A. B. C. D. 不确定ABCD ABCD ABCD 二. 填空题。 6. 已知 AB 为O 直径，AC 为弦，ODBC 交 AC 于 D，AC6cm，则 DC_。 7. 直角三角形外接圆的圆心在_，它的半径为_一半。 8. 若一个圆经梯形 ABCD 四个顶点，则这个梯形是_梯形。 9. 弦 AB 把O 分 3：7，则AOB_。 10. 若O 半径是 4，P 在O 内，PO2，则过 P 点的最短的弦所对劣弧是_度。 11. O 中，弦 AB 垂直直径 CD 于点 P，半径 OA4cm，OP2cm，则 AOB_，ADC_，度数为_，ADC 周长为BD _ cm。 三. 解答题。 12.
15、 如图，O 的两弦 AB，CD 互相垂直于 H，AH4，BH6， CH3，DH8，求O 半径。 13. 已知：如图，C 为O 直径 AB 上一点，过 C 点作弦 DE，使 CDCO，若度数AD 为 50，求的度数。BE C A H B O D D B O C A E 4 试题答案试题答案 一. 选择题。 1. A2. D3. B4. D5. D 二. 填空题。 6. 3cm 7. 斜边中点，斜边长 8. 等腰 9. 108 10. 120 11. 120，30或 60，60或 120，124 3 三. 解答题。 12. 过 O 分别作 OMAB 于 M，ONCD 于 N，则得到矩形 MHNO MOHNCNCHCDCHCHHDCH 1 2 1 2 5 2 又 MBABAHBH 1 2 1 2 5 RtBOM 中，BOMOMB 22 5 2 5 13. 连结 OD、AE 则DOA50，DEA25 由 OCCD，有DDOA50 BCEDDOA100 ABCEAED1002575 则度数为 75BE