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1、年 级初二学 科数学版 本江苏科技版内容标题图上距离与实际距离、黄金分割编稿老师苏和平【本讲教育信息】一. 教学内容：10.110.3 图上距离与实际距离、黄金分割二. 教学目标：1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段，理解并掌握比例的性质。2、了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义，会找一条线段的黄金分割点，进一步感悟数学与生活的密切联系。3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念，能在诸多图形中找出相似图形。三. 教学重点与难点：重点：1、成比例线段的意义和比例的性质。 2、相似三角形的概念与相似图形的识别。难点：黄金分割的概念及其应用。四. 课堂教学：（一）知识要点知识点1、两条
2、线段的比：两条线段长度的比叫做两条线段的比。两条线段的比值一定是没有单位的正数；两条线段的长度单位要一致，其比值与采用的长度单位无关。知识点2、成比例的线段：在4条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这4条线段成比例。知识点3、比例的性质（1）基本性质：如果，那么adbc;反过来，如果adbc（b0，d0），那么。（2）合比性质：如果，那么如果，那么（3）等比性质：如果，且bdn0，那么。知识点4、比例中项：如果（或b2ac），那么我们把b叫做a和c的比例中项。知识点5、黄金分割：点B在线段AC上，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点。AB与AC（或BC
3、与AB）的比值约为0.618（精确值为），这个比值称为黄金比。知识点6、黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形。知识点7、黄金三角形：顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形。黄金三角形具有如下性质： （1）底边与腰的比值约为0.618 （2）底角的平分线与对边的交点是该边的黄金分割点。知识点8、相似三角形：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形，其中对应边的比值叫做它的相似比。知识点9、相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。相似多边形的对应边的比叫做相似比。【典型例题】 例1. 线段a5，b1，那线
4、段ab与ab的比例中项是 。解：设ab，ab 的比例中项是x，则x2(ab)(ab)，即x264，x224，由题意知x0，所以x 。 所以线段ab，ab的比例中项是。评析：比例中项若是线段则为正，若是数，则可正可负。例2. （1）如图，已知，求的值。（2）如果，（k为常数），那么成立吗，为什么？解：（1）由，得a3b，c3d 因此， （2）成立因为得abk，cdk所以评析：该例题实际为我们展示了一个求比值的常用方法设k法，将等比式化为等积式，用含一个字母的代数式表示另一个字母，再代入求比值。例3. 已知三个数1，2，请你再添上一个（只添一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 。 解：从1
5、：2：x，求出x 从1：x：2，求出x 从1：2x：，求出x故这个数为，或评析：这是一道开放创新题，由于题中未明确告知构成比例的各数的顺序，因此所添的数的位置有很大的灵活性。本题只要求添一个数，因此在解题时，不要被这种灵活性所困扰，而应避繁变简。例4. （1）如图，两个矩形是否相似？（2）已知四边形ABCD四边形ABCD，且AB：BC：CD：DA7：6：5：4，若四边形ABCD的周长为44，则AB ，BC= ，CD= ，DA= 解：（1），不相似。 （2）四边形ABCD的四边长的比为7：6：5：4，分别设7x，6x，5x，4x， 7x6x5x4x4422x44x2AB14，BC12，CD10，
6、DA8。评析：从定义的角度出发是我们解决问题一个重要的方法，应加以重视。例5. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，求H的大小及BC、EH的长度。解：四边形ABCD与四边形EFGH相似BF100CG50HD360（ABC）360（4510050）165，由，得BC由，得EHH165，BC，EH评析：本例在求角度时，不但用到了相似多边形性质，还要结合四边形的内角和才可求出H，这就需要正确运用多边形的内角和公式，n边形的内角和（n2）180，求对应边的长时，必须先由已知求出对应边的长，再根据相似多边形的对应边成比例这一性质，列出比例式或方程，从而求出未知边的长度。例6. 科学研究表明：当人的
7、下肢长与身高之比约为0.618时，能使人看起来感到匀称美，某成年女士身高153cm，下肢长92cm，据上述观点，她所选高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为多少?(精确到0.1cm)解：设该女士穿高跟鞋时，鞋跟的最佳高度为xcm，根据题意得：(92x)(153x)0.61810.618(153x)92xx6.7(cm)评析：应该特别值得注意的是，该女士穿高跟鞋以后，身高和下肢的长都增加了，其增加的高度均为鞋跟的高度。例7. 古希腊时期的巴农台神庙，把它的正面放在一个矩形ABCD内，以矩形的宽为边在其内部作正方形AEFD，如图，那么我们惊奇地发现：，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比
8、吗？解：四边形ABCD是矩形，四边形AEFD是正方形ADBCAE又 即因此点E是线段AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比评析：在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这样的矩形叫黄金矩形， 黄金矩形给人以美感。另外还有黄金三角形（顶角为36的等腰三角形）等。例8. 顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形，如图ABC，BDC，DEC都是黄金三角形，已知AB1，则DE 。解：ABC，BDC，DEC都是黄金三角形设DEX则DCX，0.618则DE0.6180.618AB0.382评析：用比例式解题很有效，还可以用方程的思想来解。例9. 如图，四边形ABCD与四边形ABCD相似，试求未知边A
9、B， BC的长度以及C的度数。解：四边形ABCD与四边形ABCD相似，它们的对应边成比例，对应角相等； 解得AB27，BC31.5又DD134 C360(7083134)73评析：在利用相似多边形的基本特征解题时，要注意边和角的对应顺序.例10. 如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，DFFC31图中有哪些相似三角形？请说明理由。解：ABEECFAEF理由如下：设正方形的边长为4K，根据题意，得BECE2K，CFK，所以，又因为BC90，所以ABEECF因为AE2AB2BE2，EF2EC2CF2，AF2AD2DF2，所以AE2（4K）2（2K）220K2， EF2（2K）2K25K2，
10、AF2（4K）2（3K）225K2，所以AE2EF2AF2，即AEF90，又因为，所以所以AEFABE，综上所述，ABEECFAEF评析：利用代数计算的方法得到几何论证，也是说理的一种重要方法。【模拟试题】（答题时间：40分钟）（一）选择题1、已知A、B两地的实际距离是250cm，若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是（ ） A、150 B、15000 C、1500 D、1500002、若点P是线段AB的黄金分割点（PAPB），则下列式子错误的是（ ）A、AP2ABPB B、 C、BP2ABPA D、AP3、已知线段AB1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ） A、 B
11、、 C、 D、以上结论都不对4、下列说法中，正确的是（ ） A、所有的矩形都相似 B、所有的等腰三角形都相似 C、所有的正方形都相似 D、所有的等腰梯形都相似5、有甲、乙两张同样的地图，若它们的比例尺分别为：1100和1300，则甲地图与乙地图的相似比为（ ）A、13 B、31 C、91 D、19（二）填空题：6、正方形的边长与对角线长的比是 。7、已知C是线段AB的黄金分割点（ACBC），那么AC是线段 与 的比例中项；如果AB12cm，那么AC cm，BC cm。8、若两个相似多边形的相似比为23，且周长的和为50cm，那么这两个相似多边形的周长分别为 和 。9、如图所示，在ABC中，BC
12、a，B1，B2，B3，B4是AB边的五等分点，C1，C2，C3，C4是AC边的五等分点，B1C1B2C2B3C3B4C4 。10、如图所示，E为平行四边形ABCD的边长AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点；即ADAE，BE交DC于点F，若AB，则CF的长为 （三）解答题：11、已知xyz235，求的值。12、已知：abcd，证明：。13、科学研究表明，当人的上肢长与下肢长之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，上肢长为61cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少厘米（精确到0.1cm）?14、如图， （1）若，求的值（2）若AO30，AB70，CD105，求OD的长？15、如图，在ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC，分别取PA、AB、AC的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，DEF与PBC相似吗？请说明理由。【试题答案】（一）选择：1、A 2、C 3、C 4、C 5、B（二）填空：6、2 7、AB BC(BC AB) 7.416 4.5848、20cm 30cm 9、2a 10、2（三）解答题：11、0（设x2K，y3K，z5K）12、设abk，cdk，则左边13、6.7cm（提示：设高跟鞋的鞋跟高为xcm，则上肢长：下肢长0.618）14、（1） （2）OD6015、相似，理由提示，说明它们的对应边成比例，对应角相等。