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1、九年级数学（上册）第一章 证明(二),和平县实验初级中学,驶向胜利的彼岸,八仙过海,在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.,与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.,你能发现其中的一些相等的线段吗?,你能发现其中的一些相等的角吗?,你能证明发现的结论吗?,驶向胜利的彼岸,命题的证明,例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等.,证明:AB=AC(已知), ABC=ACB(等边对等角). 又1= ABC,2= ACB(已知), 1=2(等式性质). 在BDC与CEB中 DCB= EBC（已知）, BC=CB（公共边）, 1=2（已证）, BDCCEB（ASA）. BD=CE(全等
2、三角形的对应边相等),已知:如图,在ABC中,AB=AC,BD,CE是ABC角平分线. 求证:BD=CE.,驶向胜利的彼岸,命题的证明,1 证明:等腰三角形两腰上的中线相等.,证明:AB=AC(已知), ABC=ACB(等边对等角). 又CM= AC,BN= AB(已知), CM=BN(等式性质). 在BMC与CNB中 BC=CB（公共边）, MCB=NBC（已知）, CM=BN（已证）, BMCCNB（SAS）. BM=CN(全等三角形的对应边相等),已知:如图,在ABC中,AB=AC,BM,CN是ABC两腰上的中线. 求证:BM=CN.,驶向胜利的彼岸,命题的证明,2 证明:等腰三角形两腰
3、上的高相等.,证明:AB=AC(已知), ABC=ACB(等边对等角). BP,CQ是ABC两腰上的高(已知), BPC=CQB=900(高的定义). 又 BC=CB（公共边）, BPCCQB（AAS）. BP=CQ(全等三角形的对应边相等),已知:如图,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高. 求证:BP=CQ.,驶向胜利的彼岸,1.已知:如图,在ABC中, (1)如果 ， ,那么BD=CE吗? 如果 ， 呢? 由此你能得到一个什么结论? (2)如果 , ,那么BD=CE吗?如果 , 呢? 由此你能得到一个什么结论? (3)你能证明得到的结论吗？,等腰三角形的判定,你是如何思考
4、的，请与同伴交流你的做法.,驶向胜利的彼岸,2.前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗? 即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?,已知:如图,在ABC中,BC. 求证:AB=AC.,分析:要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.,如：作BC边上的中线；作A的平分线或作BC边上的高.,几何的三种语言,驶向胜利的彼岸,定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.,在ABC中 BC（已知）， AB=AC（等角对等边）.,这又是一个判定两条线段相等根据之一.,学无止境,小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.,你
5、认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它吗?,驶向胜利的彼岸,即在ABC中,如果BC,那么ABAC.,证明命题的 新思路,路边苦李 古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃。不然早就没了！”。小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。,驶向胜利的彼岸,学无止境,小明是这样想的: 如图,在ABC中,已知BC,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.,你能理解他的推理过程吗?,驶向胜利的彼岸,假设AB=AC,那么根据“等边对等角”B=C
6、,但已知条件是BC.“B=C”与“BC”相矛盾，因此， ABAC.,反证法,小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity),假设AB=AC,那么根据“等角对等边”B=C,但已知条件是BC.“B=C”与“BC”相矛盾,因此,ABAC.,驶向胜利的彼岸,反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.,反证法,1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛
7、盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,用反证法证明的一般步骤:,驶向胜利的彼岸,老师建议: 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.,初露锋芒,例1.如何证明这个结论: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,用反证法来证: 证明:假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,这五个数中至少有下个大于或等于1/5.
8、,驶向胜利的彼岸,成功者的摇篮,1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：ABC 求证：A、B、C中不能有两个角是直角,分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“A、B、C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“A、B、C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾,证明：假设A、B、C中有两个角是直角，不妨设A=B=90，则 A+B+C=90+90+C180 这与三角形内角和定理矛盾，A=B=90不成立 所以一个三角形中不能有两个角是直角,2.用反证法证明： 在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于600.,知识的升华,P9习题1.2 1,2,3,4题. 祝你成功！,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,