《机械工程控制基础修订本 陈康宁 1997年11月第1版 习题解答.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机械工程控制基础修订本 陈康宁 1997年11月第1版 习题解答.doc（109页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、机械工程控制基础（修订本）陈康宁（主编）西安交通大学出版社，1997年11月第1版习题解答山东理工大学机械工程学院机电工程系2009年第1章 绪 论复习思考题1. 控制论的中心思想是什么？解答：它抓住一切通讯和控制系统所共有的特点，站在一个更概括的理论高度揭示了它们的共同本质，即通过信息的传递、加工处理和反馈来进行控制，这就是控制论的中心思想。2. 机械工程控制论的研究对象及任务是什么?解答：机械工程控制论实质上是研究机械工程中广义系统的动力学问题。具体地说，它研究的是机械工程技术中的广义系统在一定的外界条件（即输入或激励，包括外加控制与外加干扰）作用下，从系统的一定的初始状态出发，所经历的由
2、其内部的固有特性（即由系统的结构与参数所决定的特性）所决定的整个动态历程：研究这一系统及其输入、输出三者之间的动态关系。从系统、输入、输出三者之间的关系出发，根据已知条件与求解问题的不同，机械工程控制论的任务可以分为以下五方面（1）已知系统和输入求系统的输出（响应），并通过输出来研究系统本身的有关问题，即系统分析问题；（2）己知系统和系统的理想输出，设计输入，使输出尽可能符合给定的最佳要求，即最优控制问题；（3）已知输入和理想输出，设计系统，使得输出尽可能符合给定的最佳要求，即最优设计问题；（4）系统的输入和输出已知，求系统的结构与参数，即建立系统的数学模型，即系统辨识问题；（5）系统和输出已
3、知，识别输入或输入中的有关信息，此即滤波与预测问题。3. 什么是信息及信息的传递？试举例说明。解答：信息：一切能表达一定含义的信号、密码、情报和消息。信息传递：是指信息在系统及过程中以某种关系动态地传递，或称转换。如图题1-1所示机床加工工艺系统，将工件尺寸作为信息，通过工艺过程的转换，加工前后工件尺寸分布有所变化，这样，研究机床加工精度问题，可通过运用信息处理的理论和方法来进行。图题11 工艺过程中信息的传递工艺过程毛坯尺寸工件尺寸x0nn0y4. 么是反馈及反馈控制？试举例说明。解答：反馈：所谓信息的反馈，就是把一个系统的输出信号不断直接地或经过中间变换后全部或部分地返回，再输入到系统中去
4、。如果反馈回去的讯号（或作用）与原系统的输入讯号（或作用）的方向相反，则称之为“负反馈”；反馈回去的信号（或作用）与系统的输入信号（或作用）的方向相同，则称之为“正反馈”。举例1：图题1-2是一个薄膜反馈式径向静压轴承。图题1-2(a)是其结构示意图，图题1-2(b)是其方框图。当主轴受到负荷W后，产生偏移e，因而使轴承下油腔压力p2增加，轴承上油腔压力p1减小，这样，与之相通的薄膜反馈机构的下油腔压力亦随之增加，上油腔压力则减小，从而使薄膜向上产生凸起变形，因此薄膜下半部高压油输入轴承的通道扩大，液阻下降，从而使轴承下部压力上升。而基于与此相反的理由，轴承上半部压力减小，于是轴承下半部油腔产
5、生反作用力，与负荷相平衡，以减少偏移量e，甚至完全消除偏移量e，即达到“无穷大”的支承刚度。图题 11 静压轴承薄膜反馈控制系统举例2：以数控机床工作台的驱动系统为例。开环控制：一种简单的控制方案是根据控制装置发出的一定频率和数量的指令脉冲驱动步进电机，以控制工作台或刀架的移动量，而对工作台或刀架的实际移动量不作检测，其工作原理如图1-5(a)所示。这种控制方式简单，但问题是从驱动电路到工作台这整个“传递链”中的任一环的误差均会影响工作台的移动精度或定位精度。闭环控制：为了提高控制精度，采用图1-1(b)所示的反馈控制，以检测装置随时测定工作台的实际位置(即其输出信息)；然后反馈送回输入端，与
6、控制指令比较，再根据工作台实际位置与目的位置之间的误差，决定控制动作，达到消除误差的目的。图题12 两种控制方式5. 日常生活中有许多闭环和开环控制系统，试举例说明。解答：普通电风扇、普通洗衣机、全自动洗衣机在顺序控制模式下、电动搅拌机等均属开环控制。电冰箱、电饭锅、空调等均属闭环控制。第2章 拉普拉斯变换的数学方法复习思考题1. 拉氏变换的定义是什么？解：有时间函数f(t)，t0，则f(t)的拉氏变换记作：Lf(t)或F(s)，并定义为s为复数，。称f(t)为原函数，F(s)为象函数。若式(2-1)的积分收敛于一确定的函数值，则f(t)的拉氏变换F(S)存在，这时f(t)必须满足：在任一有限
7、区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点，如图2-f1的ab区间。当t时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足f(t)Meat式中M、a均为实常数。这一条件是使拉氏变换的被积函数f(t)est绝对收敛，由下式看出因为所以只要是在复平面上对于Re(s)a的所有复数s，都能使式(2-1)的积分绝对收敛，则Re(s)a为拉氏变换的定义域，a称作收敛坐标，见图2-f2。图2f1 在a，b上分段连续0f(t)tba图2f2 拉氏变换定义域a0Im(s)Re(s)定义域2. (t)，1(t)，t，sint，cost，eat，tn的拉氏变换是什么？解：3. 拉氏变换的线性性质、微分定理、积分定理、
8、时域的位移定理、复域位移定理、初值定理、终值定理、卷积定理是什么？如何应用？解答：（1）线性性质：若有常数K1，K2，函数f1(t)，f2(t)，且Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，则（2）微分定理：若f(t)的拉氏变换为F(s)，则f(0)为t=0时的f(t)值。此定理需考虑在t0处是否有断点。如果在t0处有断点，f(0)f(0)，则该定理需修改成f(0)为由正向使t0时的f(t)值；f(0)为由负向使t0时的f(t)值；进而可推出f(t)的各阶导数的拉氏变换：式中f (i)(0)（0in）表示f(t)的i阶导数在t=0时的取值。如果在t0处有断点，f(0)f(0)，则该定
9、理需修改成式中f (i)(0)（0in）表示f(t)的i阶导数在t从正向趋近于零时的取值。f (i)(0)（0in）表示f(t)的i阶导数在t从负向趋近于零时的取值当初始条件均为零时，即则有（3）积分定理若f(t)的拉氏变换为F(s)，则是对不定积分的拉普拉斯变换。式中，是在t = 0时的值。如果f(t)在t0处包含一个脉冲函数，则，此时，必须将上述定理修正如下：式中，是在t = 0时的值；，是在t = 0时的值。对于定积分的拉普拉斯变换，如果f(t)是指数级的，则上述定理修改如下：如果f(t)在t0处包含一个脉冲函数，则，此时依此类推如果，该定理也要修正成（4）时域的位移定理若f(t)的拉氏
10、变换为F(s)，对任一正实数a，有f(ta)为延迟时间a的函数f(t)，当ta时，f(t)0。（5）复域位移定理f(t)的拉氏变换为F(s)。对任一常数a（实数或复数），有（6）初值定理若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)的初值为即原函数f(t)在自变量t趋于零（从正向趋于零）时的极限值，取决于其象函数F(s)的自变量s趋于无穷大时sF(s)的极限值。（7）终值定理若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含j轴的右半s平面内是解析的（这意味着当t时f(t)趋于一个确定的值），则函数f(t)的的终值为（8）卷积定理若，则有式中，
11、积分，称作f(t)和g(t)的卷积。4. 用部分分式法求拉氏反变换的方法。解答：（1）F(s)无重极点的情况F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和：式中K1、K2、Kn为待定系数（系数Ki为常数，称作极点spi上的留数）。式中pi为A(s)0的根，。求得各系数后，则F(s)可用部分分式表示因从而可求得F(s)的原函数为当F(s)的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于f(t)是个实函数。若p1和p2是一对共轭复数极点，那么相应的系数K1和K2也是共轭复数，只要求出K1或K2中的一个值，另一值即可得。（2）F(s)有重极点的情况假设F(s)有r个重极点p1，其余极点均不相
12、同，则式中K11、K12、K1r的求法如下：其余系数Kr1、K r2、Kn的求法与第一种情况所述的方法相同，即求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为5. 用拉氏变换求解微分方程的步骤。解答：用拉氏变换解线性常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。习 题2-1 试求下列函数的拉氏变换，假设当t0时f(t)0。（1）（2）（3） （用和角公式展开）（4）（1）解：利用拉氏变化的线性叠加特性（2）解法1：利用cos10t的拉氏变换结果和复数域位移定理解法2：直接按定义并与cost的拉氏变换进行比较解法3：直接按定义求解解法4
13、：直接套用教材表2-1中第14项结果（3）（用和角公式展开）解法1：利用和角公式展开，然后利用拉氏变换的线性叠加性所以解法2：直接利用定义求解，令，则有（1）而（2）（3）将（3）式和（2）式代入（1）得【注】本题不可直接利用延时定理，因为函数不是延时函数，如果使用了延时定理，则将改变定义域。（4）解法1：，利用复域平移特性得解法2： 利用复域微分特性得解法3：直接按定义并与tn的拉氏变换进行比较解法4：直接按定义求解得到递推关系如下：所以解法5：直接套用教材表2-1中第9项结果2-2 求下列函数的拉氏变换。（1）（2）（3）（4）（1）解：设t0时，f(t)0利用拉氏变换的线性特性（2）解：
14、利用拉氏变换的性质：线性性质，复域平移特性（3）解：设t0时，f(t)0。利用拉氏变换线性特性、延时特性和复域平移特性【注】本题不可对第二项(t1)2e2t采用如下方法：因为，利用时域位移定理得，再利用复域平移定理得。这样计算的结果是错误的，原因在于：在利用时域位移定理时，将(t1)2的定义域变成了，而原题中(t1)2的定义域为。换句话说，这里(t1)2并不是t2的延时函数。（4）解法1：，如图2-2所示。所以 2 3 4 56-1-0.500.51tf(t)图题2-2sin(t)sin(t)1(t)解法2：直接按定义求解。2-3 已知（1） 利用终值定理，t时的f(t)值。（2） 通过取F(
15、s)的拉氏反变换，求t时的f(t)值。解：（1）（2）根据部分分式法得所以所以所以，与（1）中计算结果相同。【注】本题求拉氏反变换时，可以利用教材表2-1中的第10项。2-4 已知（1） 利用初值定理，求f(0)和f (0)的值。（2） 通过取F(s)的拉氏反变换，求f(t)，再求f (t)，然后求f(0)和f (0)。解：（1）根据拉氏变换的微分特性得知f (t)的拉氏变换为则再次利用初值定理得（2）则结果与（1）中计算的一致。2-5 求图题25所示的各种波形所表示的函数的拉氏变换。图题25解：（a）解法1：设，则（见图2-5-1(a)）由此得解法2：令根据拉氏变换的积分特性得解法3：直接利
16、用拉氏变换定义则（b）解法1：设，则由图2-5-1(b)可知所以解法2：令根据拉氏变换的积分特性得解法3：直接利用拉氏变换定义则（c）解法1：利用拉氏变换的积分特性。由图可见根据拉氏变换的积分特性得图题5-2-1f1(t)f1(t2)101(t2)f1(t)f1(t1)21(t3)f1(t3)1(t1)2-6 试求下列象函数的拉氏反变换（1）解法1：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式因为两个极点共轭，所以K2与K1共轭，即即所以解法2：查表法利用拉氏变换对照表查得（2）解法1：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式令即所以根据拉氏变换线性特性得解法2：利用拉氏变换复域平移定理及线性
17、性质得（3）解：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式即所以（4）解：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式即（5）解：利用部分分式法。先将F(s)展开成部分分式即则（6）解：利用拉氏变换的实数域位移定理（延时定理）得（7）解：将F(s)展开成部分分式即所以2-7 求下列卷积（1） 1*1解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进行拉普拉斯逆变换得（2） t*t解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进行拉普拉斯逆变换得（3） t*et解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进行拉普拉斯逆变换（可查表）得（4） t*sint解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进行拉普拉斯逆变换得2
18、-8 用拉氏变换的方法解下列微分方程（1）解：对微分方程等号两边同时求拉氏变换得将初始条件代入上式并整理得解得对X(s)求拉普拉斯逆变换得到（2）解：对微分方程等号两边同时求拉氏变换得将初始条件代入上式并整理得解得对X(s)求拉普拉斯逆变换（查表）得到第3章 系统的数学模型复习思考题1. 什么是数学模型？解答：数学模型是系统动态特性的数学表达式。数学模型有多种形式，如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数、频率响应函数及状态空间表达式等等。2. 线性系统的特点是什么？解答：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统有很多特点，其中最重要的特点就是它满足叠加原理。所谓叠加原理是，系统在几
19、个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用单独作用的响应之和。3. 传递函数的定义和特点是什么？解答：定义：在零初始条件下，系统输出的Laplace变换与引起该输出的输入量的Laplace变换之比。传递函数具有以下特点（1）传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。（2）当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。但是，一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。（3）传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。（4）传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与
20、输入的量纲。（5）不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。（6）传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。4. 传递函数的典型环节有哪些？它们的表达式是什么？5. 如何计算串联、并联及反馈联结所构成系统的传递函数？6. 方块图的简化法则主要有哪些？如何应用这些法则进行简化并计算系统的传递函数？7. 如何推导一些简单机电系统的传递函数？
21、8. 信号流图的概念及梅逊公式的应用。9. 状态空间基本概念。10. 如何从高阶微分方程推出状态方程？如何由传递函数推出状态方程？习 题3-1 列出图题31所示各种机械系统的运动微分方程式(图中未注明x(t)均为输入位移，y(t)为输出位移)。图题31解：（a）对y(t)点利用牛顿第二定律得即（b）对m利用牛顿第二定律得整理得（c）对y(t)点利用牛顿第二定律得整理得（d）对图(d)所示系统，由牛顿定律有其中（e）对m利用牛顿第二定律得整理得3-2 列出图题32所示系统的运动微分方程式，并求输入轴上的等效转动惯量J和等效阻尼系数B。图中T1、1为输入转矩及转角，TL为输出转矩。图题32解：对J
22、1列写平衡方程得（1）（2）（3）（4）式中T2为J1的输出转矩，T3为J2的输入转矩，2为J2的转角。将（3）、（4）式代入（2）式，求得T2，再将求得的T2代入（1）式得输入轴上的等效转动惯量J为输入轴上的等效阻尼系数B为3-3 求图题33所示各电气网络输入和输出量间关系的微分方程式，图中ui为输入电压，uo为输出电压。图题33解：（a）方法1：设流过LC回路的电流为i，利用基尔霍夫电压定律得 （1） （2）对（2）式求导得 （3）（3）式代入（1）得方法2：设流过LC回路的电流为iL，利用基尔霍夫电流定律得iL=iC即对上式求导，并整理得（b）方法1：设流过L的电流为i，利用基尔霍夫电压
23、定律得消除中间变量i（过程同(a)）得方法2：设流过L的电流为i，流过C1、C2的电流分别为i1和i2，利用基尔霍夫电流定律得i = i1 + i2即对上式求导，并整理得（c）方法1：设流过R1的电流为i1，流过C1的电流为i2，利用基尔霍夫电压定律得 （1） （2） （3）由（1）得 （4）（4）代入（2）并后求导得 （5）（5）、（4）代入（3）后，求导，再整理得方法2：设流过R1的电流为i1，流过C1的电流为i2，流过R2、C2的电流为i，电阻C2上的电压为uC2，利用基尔霍夫电流定律得i = i1 + i2即（1） （2）由式（2）得 （3）将式（3）及其一阶导数代入（2），并整理得（
24、d）解法1：设流过回路的电流为i，利用基尔霍夫电压定律得 （1） （2）（1）C1（2）C2得 （3）对（2）求导得 （4）（3）代入（4）并整理得或解法2：利用基尔霍夫电流定律，过程略。3-4 列出图题34所示机械系统的作用力f(t)与位移x(t)之间关系的微分方程。abx(t)f(t)图题34kBm图题35解：设杠杆转角为，对m使用牛顿第二定律得整理得3-5 如图题35所示的系统，当外力f(t)作用于系统时，m1和m2有不同的位移输出x1(t)和x2(t)，试求f(t)与x2(t)的关系，列出微分方程式。解：对m1使用牛顿第二定律得（1）对m2使用牛顿第二定律得（2）由公式（2）得（3）对
25、（1）式等号两边同时求微分一次得（4）将（3）式表示的及其二、三阶导数代入（4）并整理得到3-6 求图题36所示的各机械系统的传递函数。x3(t)图题36(a)、(b)中：f(t)输入，x(t)输出(c)、(d)中：x1(t)输入，x2(t)输出解：（a）对m利用牛顿第二定律得即令X(s)=Lx(t)，F(s)=Lf(t)，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得由此得该系统的传递函数为（b）对m利用牛顿第二定律得即令X(s)=Lx(t)，F(s)=Lf(t)，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得由此得该系统的传递函数为x3(t)式中：， rads-1，（c）引入中
26、间变量x3(t)，分别对x2(t)点和x3(t)点利用牛顿第二定律得令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，X3(s)=Lx3(t)，在初始条件为0的条件下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得（1）（2）由（1）式得代入（2）式并整理得此系统的传递函数为式中：，（d）对x2(t)点利用牛顿第二定律得即令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得由此得该系统的传递函数为式中：，3-7 图题37所示f(t)为输入力，系统的弹簧刚度为k，轴的转动惯量为J，阻尼系数为B，系统的输出为轴的转角(t)，轴的半径为r。求系统的传递
27、函数。解：利用相应力学定律得即令F(s)=Lf(t)，(s)=L(t)，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得所以传递函数为3-8 证明图题38(a)和(b)所示的系统是相似系统。图题37图题38x证明：（a）在3-3题中已经得到图题3-8（a）所示电路的微分方程为令Ui(s)=Lui(t)，Uo(s)=Luo(t)，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得由此得其传递函数为（b）引入中间变量x，分别对x和x2利用牛顿第二定律得令X1(s)=Lx1(t)，X2(s)=Lx2(t)，X(s)=Lx(t)，在初始条件为0的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得消去X(s)得
28、（a）和（b）具有相似的传递函数，故这两个系统为相似系统。比较两式可知，两者参数相似关系为或【注】若两个系统的数学模型（如微分方程、传递函数等）具有相同的形式，则称为相似系统。在相似系统数学模型中占据相同位置的物理量，称为相似量。3-9 若某系统在阶跃输入x(t)1(t)作用时，系统的输出响应为，试求系统的传递函数和脉冲响应函数。解：(1)求传递函数传递函数是在初始条件为零的情况下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。因为y(0)=1-1+10，所以，题中所给的单位阶跃响应为非0初始条件下的响应，因此，不能直接利用y(t)的拉氏变换求系统的传递函数。方法1：由响应可知，系统的稳态响
29、应为1，所以系统的静态增益为1；系统的瞬态响应有2项指数衰减项，所以，系统的传递函数有两个极点，分别为2和1，即系统为二阶系统，而且因为稳态响应为1，故可知系统微分方程的特解为1，由此可知，系统微分方程中不存在输入的微分项，所以，系统的微分方程形式为在考虑初始条件的情况下，对上式做拉氏变换得即亦即 （1）（1）式中第一项即为系统0初始条件下的响应的拉氏变换。由单位阶跃响应得将上述结果及X(s)=1/s代入(1)式得单位阶跃响应的拉氏变换 （2）对题中给定的单位阶跃响应求拉氏变换得 （3）因为（2）和（3）式相等，所以（3）式分母与（2）式公分母比较得代入（2）式得 （4）因为（1）式中第一项即
30、为系统0初始条件下的响应的拉氏变换，所以（4）式中的第一项即为系统0初始条件下的响应的拉氏变换，即：所以系统的传递函数为方法2：由题中单位阶跃响应可知，系统的稳态响应为1，所以系统的静态增益为1；系统的瞬态响应有2项，所以，系统的传递函数有两个极点，分别为2和1，故系统在0初始条件下的单位阶跃响应（对线性因果系统就是零状态响应）应该具有如下形式：因为初始条件为0，所以有联立上两式解得A = 1，B = 2所以，系统在0初始条件下的单位阶跃响应为其拉氏变换为已知输入信号为单位阶跃信号，其拉氏变换为所以，系统的传递函数为（2）求单位脉冲响应由传递函数的定义可知而所以所以这样求得响应为零初始条件下的
31、响应（零状态响应）。3-10 运用方块图简化法则，求图题310各系统的传递函数。R(s)C(s)(a)R(s)C(s)(b)图题310解：（a）简化过程如图题解3-10（a）所示，传递函数为（b）简化过程如图题解3-10（b）所示，传递函数为图题解3-10（a） 图题3-10（a）的简化过程R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)相加点前移分支点后移消去两个反馈回路消去反馈回路（b）图题解3-10（b） 图题3-10（b）的简化过程分支点前移消去反馈回路和并联回路消去反馈回路消去反馈回路R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)R(
32、s)C(s)图题3113-11 画出图题311所示系统的方块图，并写出其传递函数。解：分别对质量m和x1(t)利用牛顿第二定律得整理得在初始条件为0的情况下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得上两式的方块图分别如图题解3-11（a）、（b）所示。图题解3-11（a）（b）X(s)X1(s)F(s)F(s)X1(s)X (s)（c）X(s)（d）X(s)F(s)将方块图（a）、（b）合并得系统的方块图，如图解3-11（c）所示，化简得方块图（d）。系统的传递函数为图题312x1(t)k1Bm2m1k2x(t)f(t)说明本题也可以先求出两个串联弹簧的等效刚度，然后用一个方程即可求出传递函数。3
33、-12 画出图题312所示系统的方块图，该系统在开始时处于静止状态，系统的输入为外力f(t)，输出为位移x(t)，并写出系统的传递函数。解：设m1的位移为x1(t)，如图题3-12所示。分别对质量m1和m2利用牛顿第二定律得整理得在初始条件为0的条件下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得即上两式的方块图分别如图题解3-12（a）、（b）所示。图题解3-12（a）（b）F(s)X1(s)X (s)X(s)X1(s)（c）F(s)X(s)将方块图（a）、（b）合并得系统的方块图，如图解3-12（c）所示，化简一次得方块图（d）。系统的传递函数为3-13 求图题313所示系统的传递函数。图题313
34、解：利用梅逊公式（）前向通路只有一条，该前向通路的传递函数为有两条回路，传递函数分别为因为所有两个回路具有一条公共支路，所以没有不接触回路，因此特征式为因为两个回路都与唯一的前向通路相接触，故从中去掉两个回路的传递函数即可得到前向通路的特征式的余因子11=1将上述结果代入梅逊公式得到系统的传递函数为（b）前向通路有两条，这两条前向通路的传递函数分别为有两条回路，传递函数分别为因为所有两个回路具有一条公共支路，所以没有不接触回路，因此特征式为因为两个回路都与两个前向通路相接触，故从中去掉两个回路的传递函数即可得到两个前向通路的特征式的余因子1=12=1将上述结果代入梅逊公式得到系统的传递函数为3
35、-14 图题314所示为发动机速度控制系统的方块图。发动机速度由转速测量装置进行测量。试画出该系统的信号流图。图题314参考速度转速测量装置液压伺服机构负载干扰发动机实际速度解：其信号流图如图题解3-14所示。图题解3-14N(s)R(s)C(s)1113-15 对传递函数试推导对应的状态方程表达式。解法1：（套公式笨办法）。与教材式（3-121）比较得到代入教材式（3-130）得状态空间表达式为式中，u为输入变量。解法2：（参考现代控制工程Modern Control Engineering美Katsuhiko Ogata绪方胜彦著卢伯英，于海勋等译北京：电子工业出版社，2000年5月第3版
36、）令式中，0，1由下式确定代入上式得而所以状态空间表达式为【注】结果与解法1不同，这是因为状态空间表达式不是唯一的（取决于所选取的状态变量，可能有无穷多个）。解法3：利用拉氏反变换即令则对上面三式做拉氏反变换得所以状态方程为输出方程为3-16 图题316所示系统，以图中所标记的x1、x2、x3为状态变量，推导其状态空间表达式。u、y分别为输入、输出，1、2、3是标量。图题316解：由图可知所以系统的状态空间表达式为3-17 设系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。解：这是一个三阶系统，输入变量为u，输出变量为y。选取3个状态变量x1，x2，x3，它们分别为代入原微分方程中得故系统的状态方程
37、和输出方程为（合称状态空间表达式）输出方程为3-18 给定系统传递函数为试写出它的状态空间表达式。解：（套公式）。与教材式（3-121）比较得到代入教材式（3-130）得状态空间表达式为式中，u为输入变量。第4章 系统的瞬态响应与误差分析复习思考题1. 时间响应由哪两部分组成，它们的含义是什么？解答：时间响应是指系统的响应（输出）在时域上的表现形式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的时域解。或者说系统在输入信号激励下，其输出量随时间变化的函数关系。按分类的原则不同，时间响应有不同的分类方法。按响应的来源分：零状态响应，即初始状态为零时，由系统的输入引起的响应；零输入响应，即系统的输入为零时，
38、由初始状态引起的响应。按响应的性质分为强迫响应项和自由响应项。对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应项和稳态响应项。2. 脉冲响应函数的定义及如何利用脉冲响应函数来求系统对任意时间函数输入时的输出时间响应？解答：当一个系统受到一个单位脉冲激励(输入)时，它所产生的反应或响应(输出定义为脉冲响应函数。系统对任意时间函数输入时的输出时间响应：式中g(t)为脉冲响应函数。0.2210g(t)t图4-1fs 一阶系统的单位脉冲响应曲线T 0.5T 1T 53. 一阶系统的脉冲响应、阶跃响应的定义及其曲线形状。解答：一阶系统的脉冲响应：一阶系统对脉冲函数的响应。曲线形状如图4-1fs所示。一阶系统的
39、阶跃响应：一阶系统对阶跃函数的响应。曲线形状如图4-2fs所示。图42fs一阶系统的单位阶跃响应曲线4. 如何描述二阶系统的阶跃响应及其时域性能指标。5. 试分析二阶系统n和对系统性能的影响。6. 试分析二阶系统特征根的位置及阶跃响应曲线之间的关系。7. 误差和稳态误差的定义以及与系统哪些因素有关。8. 如何计算干扰作用下的稳态误差。习 题4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为求这个系统的单位阶跃响应。解法1：系统的闭环传递函数为（假定为负反馈）所以系统的单位阶跃响应的拉氏变换为利用部分分式法计算得到，所以对上式做拉普拉氏反变换得到单位阶跃响应为解法2：利用教材上的结论系统的闭环传递函数为（假
40、定为负反馈）上式等号两边比较得，解得： rads-1（负根舍掉），这是一个过阻尼二阶震荡系统，有两个不相等的负实数极点：，所以，该单位阶跃响应为式中：，代入上式得阶跃响应为4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数为试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。解法1：直接套用教材上的结论。系统的闭环传递函数为（假定为负反馈）等号两边比较得n=1 rads-1（负根舍掉），=0.5。这是一个欠阻尼二阶震荡系统，所以上升时间：峰值时间：最大超调量：调整时间（用近似公式）：调整时间的较准确值（用Matlab按准确的理论响应曲线测量的结果）：解法2：直接按指标定义求解。系统的闭环传递函数为（假定为负反馈）等号两边比较得n=1 rads-1（负根舍掉），=0.5。这是一个欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应为然后按着指标的定义求解（参见教材中的求解过程）。4-3 设有一闭环系统的传递函数为为了使系统对阶跃输入的响应，有约5%的超调量和2s的调整时间，试求和n的值应等于多大。解：设允许的误差范围