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1、8.8 多元函数的极值及其求法习题8.81. 求函数的极值。解：由解得驻点。易得极大值2. 求下列函数的极值：（1）解：由解得驻点。易得无极值。（2）解：由解得驻点。易得极小值（3）解：由解得驻点。易得极大值（4）解：由解得驻点。易得极小值在附近的直线上，在直线上，。所以不是极值点。（5）解：由解得驻点。易得极小值3. 求由下列方程决定的函数的极值：（1）解：得驻点。此点的函数值为因为所以易得为极小值，为极大值。（2）解：得驻点。此点的函数值为因为所以易得为极大值，为极小值。4. 求下列函数在所给条件下的极值：（1）解：令由解得可能极值点为进而可判断此两点分别为极小值点和极大值点，极小值和极大
2、值分别为（2）解：令由解得可能极值点为进而可判断此点为极小值点，极小值为（3）解：令由解得可能极值点为进而可得极小值和极大值分别为(4) 解：令由解得可能极值点为进而可得极小值和极大值分别为5. 求函数的极值。解：由得驻点，再由，可验证只有是极大值点，取极大值。6. 求函数的极值。解：由得驻点，再由，可验证是极小值点，取极小值.7. 求函数在满足条件下的极大值。解：令由解得可能极值点为进而可判断此点为极大值点，极大值为8. 从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。解：设直角边分别为，则令由解得可能极值点为进而可判断此点为最大值点，所以具有最大周长的三角形是等腰直角三角形。周长
3、为9. 要建造一个体积等于定数的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸，使得它的表面积最小。解：设长、宽、高分别为，则令由解得可能极值点为进而可判断此点为最小值点。10. 在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小。解：由得驻点，显然其为所求点。11. 有一块宽为的长方形铁片，把它两边宽为的边缘分别向上折成一个水槽，问和取何值时使水槽的容积最大（图8.16）？解：由得驻点，易知此时容积最大。12. 已知三角形的周长为，问怎样的三角形绕着自己的一边旋转所成的体积最大？解：设轴长为，另两边长为，则而。定义，则由得可能驻点，显然此时体积最大。13. 求抛物线与直线间的最短距离。解：令，由得可能
4、驻点，所以最短距离为14. 求点至平面的距离。解：令由可解得距离为15. 在椭球面上求距离平面的最近点与最远点。解：令由得可能驻点，进一步可判断分别为最近点、最远点。16. 当个正数之和为常数时，求它们的乘积开次根的最大值。解：令。由的可能的驻点为，所以乘积开次根的最大值为17. 将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体。问：矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？解：设矩形边长分别为，绕边旋转。令，由得可能驻点为，此时圆柱体的体积最大。18. 求内接于半径为的球且有最大体积的长方体。解：设球为，长方体各面平行于坐标面，其在第一卦线的顶点为，令。根据得可能驻点为，所以长方体边长都为
5、时体积最大。19. 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值。解：令由的可能驻点为，由此可得这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值分别为20. 设有一圆板占有平面闭区域。该圆板被加热，以致在点的温度是。求该圆板的最热点和最冷点。解：由得驻点，此点温度为令，由得可能的驻点为，其处温度分别为，所以最热点为。最冷点为。21. 形状为椭球的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，小时后在探测器的点处的温度，求探测器表面最热的点。解：令由得可能的极值点为。比较后得最热点为22. 求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点。解：令，由得可能的极值点为，所以与平面距离最短的点为23
6、. 在第一卦限内做椭球面的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切平面的切点，并求此最小体积。解：所以椭球面上点处的切平面为即它在坐标轴上的截距为令，则由得可能的极值点为，此时最小体积为24. 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？解：。由得驻点，此时总利润最大，为25. 有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的闭区域为，小山的高度函数为（1） 设，问在该点沿平面上什么方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。（2） 欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点。也就是说，要在的边界线上找出（1）中的达到最大值的点。试确定攀岩地点的位置。解：（1），恰沿此方向方向导数最大。（3） 记，由得可能驻点为。进一步可得攀岩位置为