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1、10.2 第二型曲线积分习题10.21. 设为面内直线上的一段。证明：证明：设则2. 设为面内轴上从点到点的一段直线。证明：证明：则3. 计算下列第二型曲线积分：（1）其中为抛物线上从点到点的一段弧；解：（2）其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解：圆周的参数方程为所以（3）其中为圆周上对应从到的一段弧；解：（4）其中为圆周（按逆时针方向绕行）；解：（5）其中为曲线上对应从到的一段弧；解：(6) 其中为从点到点的一段直线；解：（7）其中为有向闭折线，此处依次为点解：（8）其中为抛物线上从点到点的一段弧；解：（9）其中为沿逆时针一周；解：(10) 其中为如图1
2、0.8由点到点的四条不同的路径；解：（11）其中为如图10.9的三角形；解：（12）其中为用平面截球面所得的截痕，从轴的正向看去，沿逆时针方向；解：（13）其中为曲线上由到的一段弧；解：4. 计算其中为由点到点的下列四条不同路径：（1） 直线解：（2） 抛物线解：（3） 抛物线解：（4） 立方抛物线解：5. 计算其中分别为下列两种情形：（1） 连接的直线段。解：（2） 连接的折线段。解：6. 计算其中分别为下列两种情形：（1）连接的直线段。解：（2）连接的折线段。解：7. 计算其中为以为顶点的正方形闭路。解：8. 计算其中为星形线在第一象限中自点到的一段。解：9. 计算其中为依参数增加方向进行
3、的曲线：解：10. 计算其中，分别为下列两种情形：（1）自到的直线段；（2）由直到的折线段。解：(1) (2)11. 计算其中为球面在第一卦限部分的边界线由点至再至的一段。解：12. 弹性力的方向向着坐标原点，力的大小与质点到坐标原点的距离成正比。设质点在力作用下沿椭圆依逆时针方向运动一周，求弹性力做的功。解：13. 计算其中为圆周其方向为从轴正向看去，这圆周是沿逆时针方向进行的。解：14. 设在光滑曲线上连续。试证下面的估计式：其中为积分路径的长度，证明：15. 计算其中分别为（1） 抛物线上从点到点的一段弧；解：（2） 从点到点的直线段；解：（3） 先沿直线从点到点，然后再沿直线到点的折线；解：（4） 曲线上从点到点的一段弧；解： 16. 一力场由沿横轴正方向的恒力所构成。试求当一质量为的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功。解：17. 设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所做的功。解：，18. 把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为(1) 在面内沿直线从点到点；解：(2) 沿抛物线从点到点；解：(3) 沿上半圆周从点到点；解：19. 设为曲线上相应于从变到的曲线弧。把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。解：切向量为，单位化为所以