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1、2.3数学归纳法 (1),观察：63+3，85+3，103+7，125+7，143+ 11，165+11，7867+11，我们能得出什么结论？ 任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和 一个袋子里共有18个球，要判断这一袋球是红球,还是白球,请问怎么办？ 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法 完全归纳法： 为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的所有元素并归纳得出结论。 不完全归纳法： 为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的特有几个或部分元素并归纳得出结论。,哥德巴赫猜想,不完全归纳法,完全归纳法,1.在等差数列an中，已知首项为a1，公差
2、为d，那么 a1=a1+0d, a2=a1+1d, a3=a1+2d, a4=a1+3d, , an=?,2比较2n与n2+2 (nN*)的大小,验证可知：n=1、2、3、4都有2nn2+2,完全归纳法： 优点：考查全面，结论正确。 缺点 ：工作量大，有些对象无法全面考查。 不完全归法： 优点：考查对象少，得出结论快。 缺点 ：观察片面化，结论不一定正确。,多米诺骨牌效应,1、第一张牌能倒下； 2、假设第k张能倒下，则一定能压倒紧挨的第k1张牌。,对于某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性： 先证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k (k
3、N,kn0)时命题成立;证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.,数学归纳法的两个步骤：,()证明当nn0 (如n0 1或2等)时，结论正确；,()假设nk(kN*且kn0)时结论正确，并应用此假设证明nk1时结论也正确,注意:运用数学归纳法证题,以上两个步骤缺一不可。,定 义,（2）假设当n=k时等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立,用数学归纳法证明：,例题讲解,例1 用数学归纳法证明,证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知的等
4、式对任何 都成立,（2）假设当 时，等式成立，就是,递推基础,递推依据,数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确；,（2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确,递推基础,递推依据,小时候学数数的经历：先会数1，2，3；再数到10；再数到20 以内的数再数到30以内的数，终于有一天我们可以骄傲地说： 我什么数都会数了，为什么呢?因为会数1，2，3有了数数的 基础,会在前一个数的基础上加班1得到后一个数，进行传递， 所以，可以说什么数都会数了,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,例2.用数学归纳法证明 证明：1、当n=1时,左=1
5、2=1，右= n=1时，等式成立 2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+k2+(k+1)2= =右 n=k+1时，原不等式成立 由1、2知当nN*时，原不等式都成立,思考,？,例3.用数学归纳法证明：14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2,1)第一步应做什么？此时n0= ，左= ，,2)假设n=k时命题成立，即_,1,当n=2时，左 ，右 。,2(21)2,当n=k时，等式左边共有 项， 第(k1)项是 。,k,14+27,(k1) 3(k1)+1,14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2,144,1,1、用数学归纳法证明等式 1+2+3+
6、(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 当n1时，左边所得项是 ； 当n2时，左边所得项是 ；,1+2+3,1+2+3+4+5,2、用数学归纳法证明,在验证n1成立时，左边所得项为( ),A、1,B、1+a,C、1+a+a2,D、1+a+a2+a3,C,练习,n=1时等式成立。 假设n=k时，命题成立，即,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据问可知，对nN，等式成立。,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；, 数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；, 数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,课堂小结,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法,思考：,用数学归纳法证:,(n2,nN )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（ ）：,