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1、2.3求二次函数解析式,用待定系数法求二次函数的解析式,一、一般式：y=ax+bx+c (a,b,c为常数,a 0) 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。,例1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）（0，5）三点，求抛物线的解析式,解：由题意可得：,22a+2b+c=1 ,a+b+c=-2 ,c=5 ,解之得：,a=5,b=-12,c=5,所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.,例2,解：,设所求的二次函数
2、为 y=ax2+bx+c,由条件得：,a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7,解方程得：,a=2, b=-3, c=5,所以所求二次函数是：,y=2x2-3x+5,二、顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a0).,1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 2. 特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2. 3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k. 4.当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2.,解：,1.已知抛
3、物线的顶点为（1，3），与y轴交点为（0，5）,求该抛物线的解析式？,所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x1)2-3,因为已知抛物线的顶点为（1，3）,又点( 0,-5 )在抛物线上,a-3=-5, 解得a= -2,故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3,即：y=2x2-4x5,2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。,解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a0) 由题意知 16a+4b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4 解方程组得： a= -7 b= 42 c
4、= -59 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59,解法2：（利用顶点式） 当x=3时，有最大值4 顶点坐标为(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 函数图象过点（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 二次函数的解析式为： y= -7(x-3)2+4,3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5), B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。,解: 二次函数的对称轴为直线x=3 设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
5、解得：a= 1 k=-4 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5,小结: 已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。,三、交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a0）,当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。,交点式y=a(x-x1)(x-x2). x1和x2分别是抛物
6、线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线 就是抛物线的对称轴.,1：已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。,解：设所求的解析式为,抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）,又点（0，1）在图像上，, a = -1,即：,解：（交点式） 二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) 设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) 函数图象过点(1,4) 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3,2：已知二次函数图象经过点 (1,4
7、),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。,其它解法：（一般式） 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 解得： a= -1 b=2 c=3 函数的解析式为：y= -x2+2x+3,（顶点式） 解： 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， (-1+3)/2 = 1 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 抛物线过点(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 函数的解析式为： y= -(x-1)2+4,3 已知二次函数的
8、图象在x轴上截得的线段长是4，且当x1，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式,由题意,得:,解:设图象与x轴的交点坐标为 ( ,0),( ,0),把(1,-4)代入上式得:-4=a(1-3)(1+1),解得:a=1,y=x2-2x-3,四、用平移式求二次函数的解析式、 1.将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。,解法：将二次函数的解析式,转化为顶点式得：,(1)、由 向左平移4个单位得：,（左加右减）,（2）、再将 向下平移3个单位得,（上加下减）,即：所求的解析式为,一、 求二次函数的解析式的一般步骤：,一设、二列、三解、四还原.,二、二次函数常用的
9、几种解析式的确定,1、一般式,已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。,已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。,2、顶点式,3、交点式,4、平移式,将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。,二次函数关系:,y=ax2 (a0),y=ax2+k (a0),y=a(x-h)2+k (a0),y=ax 2+bx+c (a0),y=a(x-h)2 (a0),顶点式,一般式,y=a(x-x1)(x-x2)(a0),交点式,三、求二次函数解析式的思想
10、方法,1、 求二次函数解析式的常用方法：,2、求二次函数解析式的 常用思想：,3、二次函数解析式的最终形式：,待定系数法、配方法、数形结合等。,转化思想 : 解方程或方程组,无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。,活学活用 加深理解,1.某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线表达式。 顶点坐标（1 ，1 ）设 y=a(x-1)2+1 2.已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P的纵坐标为-8，图像还过点(-2,10)，求此函数的表达式。 顶点坐标（ 1 ，-8 ）设y=a(x-1)2-8 3.已
11、知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当x=1时，函数有最小值-4，求此表达式。 顶点坐标（1 ，-4 ）设y=a(x-1)2-4 4.某抛物线与x轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最大值为2，求函数的表达式。 顶点坐标（ 4，2 ）设y=a(x-4)2+2,2、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为 -1，求其解析式。,解：设二次函数的解析式为, x = 1, y= -1 , 顶点（1，-1）。,又（0，0）在抛物线上，, a = 1,即：,解：,设 y=a(x1)2-3,1.已知抛物线的顶点为（1，3），与x轴 交点为（0，5）求抛物线的解析式？,( 0,-5 ),-5=
12、a-3 a=-2,y=2(x1)2-3,即：y=-2x24x5,练习,y=-2（x2 2x 1）-3,所以设所求的二次函数为 y=a(x1)(x1),3.已知抛物线与X轴交于A（1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？,又 点M( 0,1 )在抛物线上, a(0+1)(0-1)=1,解得： a=-1,故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1),即：y=x2+1,解：因为抛物线与x轴的交点为A(1，0)，B(1，0) ，,选择最优解法，求下列二次函数解析式： 1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛物线解析式为_. 2、已知抛物线的
13、顶点坐标(-2,3) ，且经过点(1,4) ,设抛物线解析式为_. 3、已知二次函数有最大值6，且经过点(2, 3)，(-4,5)，设抛物线解析式为_. 4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)，(5,6)，设抛物线解析式为_. 5、已知抛物线与x轴交于点A(1，0)、B(1，0)，且经过点(2,-3),设抛物线解析式为_.,做一做,题组训练,1、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求二次函数的解析式. 2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。 3、已知抛物线过A（2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。,4、根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；,(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；,(3)、图象经过(-1，0)， (3，0) ，（0, 3）。,议一议 通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?,（待定系数法）,你能否总结出上述解题的一般步骤?,1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;,