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1、函数的奇偶性,高三备课组,1定义: 设y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有 ，则称y=f(x)为偶函数。 设y=f(x)，xA，如果对于任意xA，都有 ，则称y=f(x)为奇函数。 如果函数 是奇函数或偶函数，则称函数y= 具有奇偶性。,知识点,2.性质： 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称 y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于y轴对称, y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称, 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同， 偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数， 奇函数 在 有意义，则,若
2、函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 奇奇=奇 偶偶=偶 奇奇=偶 偶偶=偶 奇偶=奇 两函数的定义域D1 ，D2，D1D2要关于原点对称 对于F(x)=fg(x): 若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数 若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数 若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数,3奇偶性的判断 一.定义法：看定义域是否关于原点对称 看f(x)与f(-x)的关系 二.图象法：作出图象，看是否关于原点对称,（书）例1判断下列函数的奇偶性 ,二应用举例,例2定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，yR，有f(x+y)+f
3、(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)0 求证：f(0)=1 求证：y=f(x)是偶函数,练：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。,从定义出发解题,例3已知函数f(x)，当x0时，f(x)=x2+2x-1 若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。 若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。,练：已知函数 是定义在实数集上 的奇函数，求函数的解析式。,从性质和图形出发解题,(书例1)变式一：已知函数 是偶函数， 在 是单调减函数,则 B C D,练习：已知f(x)是定义在上的偶函数，且在 上为减函数，若 ，求实数a的取值范围。,(书）例4函数f(x)是定义在 上的函数，且f(x)满足对任意 ,有 求f(1)的值 判断f(x)的奇偶性并证明， 若 且f(x)在 上为增函数,求x的取值范围,综合应用：与单调性、不等式联系,三小结 定义域关于原点对称是函数是奇（偶）函数的必要不充分条件； y=f(x)是奇（偶）函数 y=f(x)的图象关于原点（y轴）对称 F(x)=fg(x)的奇偶性 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则 函数奇偶性的判断与应用。,四作业: 优化设计,