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1、,一元二次方程的根与系数的关系,八年级(下) 18.4,礼县永兴中学 刘燕,微课教学,2019/3/27,2,根据你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a0) 的根若是 x1、x2 ，那么 x1+x2= ，x1x2=. 你能证明上面的猜想吗？,3,5,2,15,1,动手操作,填写下表，然后观察根与系数的关系：,2019/3/27,3,推导 一元二次方程的根与系数的关系：,设x1,x2是方程 ax2+bx+c=0(a 0)的两个根(b24ac0)，则,2019/3/27,4,2019/3/27,5,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：,1. 如果方程 ax2+bx+c=0(a 0)的两个
2、根为x1、x2 ，,知识点,那么,这个关系通常称为韦达定理（Vietas theorem）.,2019/3/27,6,我们把方程ax2+bx+c=0 (a0)变形为：,我们可以把方程写成 ： 的形式，,知识点,2019/3/27,7,2. 如果方程x2+px+q=0的两根为x1、x2 , 那么,“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”. ( 这个定理又叫做韦达定理),“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理),知识点,x1 + x2= p , x1x2 = q .,2019/3/27,8,3.,1.应
3、用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式；,2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac0时，才能应用根与系数的关系；,3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号.,【注意】,知识点,2019/3/27,9,练习,1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？,x2-3x+1=0 ; (2) 3x2-2x=2；(3) 2x2-9x+5=0； (4) 4x2-7x +1=0；(5) 2x2+3x=0； (6) 3x2=1 .,两根之积为：1,两根之积为：,(4) 两根之和为：,两根之积为：,(5
4、) 两根之和为：,两根之积为：0,两根之积为：,两根之积为：,2019/3/27,10,提示 : 应用韦达定理可得 .,2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是 它的两个根.,（1）x2+5x+4=0 , (1 , 4),不是,（2）x26x7=0 , ( 1 , 7),是,（3）2x23x1=0 , ( , 1),是,（4）3x25x2=0 , ( , 2),不是,（5）x28x11=0 ,是,动脑筋想一想,练习,2019/3/27,11,例题讲解：,(4)x2=,答：方程的另一根为 ，k的值为7.,思考：还有其它解法吗？,4+x2=,例1：已知关于x的方程 2x2+kx4=0 的一个根是
5、-4，求它的另一根及k的值.,2019/3/27,12, 方程 2x2+kx4 = 0的一个根为-4，,则 2 (-4)2+ (-4)k-4 = 0, 2 164k4 = 0, k=7, 2x2+7x4=0, 方程2x2+kx4 = 0的一个根为-4, 2 (4)2+ (4) k4 = 0, 2 164k4 = 0, k=7,即 2x2+7x4=0,法2:,法3:,解此方程:x1=4,又,例题讲解：,例1：已知关于x的方程 2x2+kx4=0 的一个根是-4，求它的另一根及k的值.,2019/3/27,13,例2 已知两数的和为3，积为4，求：这两个数.,解法1：设两个数中的一个数为x,因为两
6、数之和为3， 所以另一个数为（3x）.再根据“两数之积为4”, 可列出方程 x(3x)=4. 即： x23x4=0, 即（x4)（x+1）=0， 即 x=4或x=1 这两个数为4或1.,分析：我们可以用多种方法来解决这个问题.,解法2：设两个数是x,y,可列出方程组的解法.,解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接构造出一个简化的一元二次方程,即: x23x4=0, 这就是方法1得到的方程.下同解法1.,例题讲解：,2019/3/27,14,(它的另一根为:-3 ，m的值为:5),2. 已知关于x的方程x2mx 2mn = 0的根为 2, 且根的判别式为0，求m、n的值.,(m的值为-4
7、，n的值为-12 .),1.已知关于x的方程2x2mx3=0的一个根是 ,求它的另一根及m的值？,课堂练习,2019/3/27,15,2.如果方程x2+px+q=0的两根为x1、x2 , 这时韦达定理应是： x1 + x2= -p , x1 x2 = q .,3.一元二次方程的根与系数的关系的 灵活运用。,这就是我们今天主要学习的内容. 你学会了吗?,课堂小结,1. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根为:x1、x2,那么x1+x2 = , x1 x2 = . 这个关系通常称为韦达定理.,2019/3/27,16,1. 教材 P36 习题18.4 第1、2、3、4、5题. 2.推导一元二次方程根与系数的关系.,作业,2019/3/27,17,3.已知方程 3x219xm=0 的一个根是1,求它的另一个根及 m的值.,答案： 另一个根是 ， m的值为16,动动脑,还有其他解法吗,想一想,2019/3/27,18,4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是1，7.,分析：对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积.,解：x1+x2=(1)+7=6 , x1x2=(1)7=7 x26x7=0, 即 x26x7=0是所求的方程.,2019/3/27,19,谢谢各位老师莅临指导！,