1.1命题及其关系.ppt

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1、1.1命题及其关系,歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高傲地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子让路！”而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反，”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣.,你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？,下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗? (1)若直线ab,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1; (5)两个全等三

2、角形的面积相等; (6)3能被2整除.,其中(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.,特点：都是陈述句,都可以判断真假,思考,一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,判断为真的语句叫真命题。,判断为假的语句叫假命题。,分类,一：命题的概念,理解： 1）两个条件：“是陈述句”和“可以判断真假” ，切记：判断的标准必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。 2）注意命题有真有假，不要把假命题误认为不是命题,问：数学上所学的定理是命题吗？,如何判断一个语句是不是命题？,判断一个语句是不是命题的关键： 有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无

3、法确定这语句的真假，这样的语句叫开语句，以后会专门研究。,(1) 7是23的约数吗? (2) x5. (3) -25,例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数，则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗？ (4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行; (5) (6)x15. (7)画线段AB=CD. (8) 一中的景色多美啊！ (9)这是一条大河。,真命题,真命题,假命题,假命题,疑问句,开语句,祈使句,感叹句,判断标准不明确,二：命题形式“若p则q”,命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具有“若p则q”的形式。,通常,我们把这种

4、形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题的结论。,记作:,“若p则q”形式的命题的书写,有一些命题虽然表面上不是“若p则q” 的形式，但也可以写成“若p则q” 的形式。 例.命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。写成“若p则q”的形式为：,“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。,例2 指出下列命题中的条件p和结论q：,若整数a能被2整除，则a是偶数； 菱形的对角线互相垂直且平分。,解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。,2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分

5、。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。,例3 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并判定真假。,(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称. (3)垂直于同一条直线的两条直线平行 (4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.,真命题 真命题 假命题 假命题 真命题,命题形式“若p则q” 小结,1.“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” ，“只要p,就有q”等形式。 2.其中p和q可以是命题也可以不是命题. 3.“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺点是太格式化且不灵活.,(1)能

6、被6整除的整数一定能被3整除; (2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形 是正方形; (3)二次函数的图象是一条抛物线; (4)两个内角等于 的三角形是等腰直角三角形.,真,真,真,假,练习1：把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.,练习2:把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.,（1）等腰三角形两腰的中线相等； （2）偶函数的图象关于y轴对称； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行。,(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两腰的中线相等。这是真命题。,(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题。,(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平

7、面互相平行。这是假命题。,练习3.将命题“a0时，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假。,解: a0时，若x增加，则函数y=ax+b 的值也随之增加，它是真命题,在本题中，a0是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内,小 结,观察：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,三、四种命题,观察命题(1)

8、与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；,特点：条件和结论互换了,一般形式：原命题:若p,则q,逆命题:若q,则p,例：命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：,互逆命题： 原命题 (原命题的)逆命题,观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？,1.若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.,一般形式：原命题:若p,则q,为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “p” “q”,否命题:若p,则q,互否命题： 原命

9、题 (原命题的)否命题,例：命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是：,观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,1.若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.,原命题: 若p,则q,逆否命题: 若q,则p,互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题,例：命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是：,步骤：先逆再否或者先否再逆,、互否命题：,、互为逆否命题：,、互逆命题：,三个概念,四种命题：原、逆、否、逆否,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题: 命题的否定：,若 p, 则q 若 q, 则p 若 p

10、, 则q 若 q, 则p 若 p, 则 q,注意区别：否命题既否定条件，又否定结论；命题的否定只否定结论，不否定条件。,例4：写出下列命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题,原命题：,逆命题：,否命题：,逆否命题：,若一个整数的末位是 0 ，则这个整数可被5整除,若一个整数可被5整除，则这个整数的末位是0,若一个整数的末位不是 0 ，则这个整数不能被5整除,若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位不是0,真,真,假,假,（1）正方形的四条边相等。,逆命题：如果一个四边形四边相等，那么它是正方形。,否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。,逆否命题：如果一个四边形四边不相等，那么

11、它不是正方形。,原命题：如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。,例5：写出下列命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题：,真,假,假,真,（2）若X=1或X=2，则X23X+2=0。,逆命题： 若X2， 则或 。,否命题： 若且， 则 。,逆否命题：若X2 ， 则且 。,真,真,真,真,练习：写出命题“若 xy= 0, 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题.,解：逆命题：若 x = 0或 y = 0,则 xy = 0; 否命题：若 xy 0 ,则 x 0且 y 0; 逆否命题：若 x 0且 y 0 , 则 xy0.,探究1：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题

12、吗？,例1等边三角形的三个内角相等,例2若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；,逆命题：三个内角相等的三角形是等边三角形,逆命题：若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数,（真命题）,（真命题）,（假命题）,（真命题）,原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题,探究2：如果原命题是真命题，那么它的 否命题一定是真命题吗？,否命题：同位角不相等，两直线不平行.,例1.原命题：同位角相等，两直线平行.,例2.原命题：若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数.,否命题：若f (x) 不是正弦函数，则f (x)不 是周期函数.,（真命题）,（真命题）,（真命题）,（假

13、命题）,原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.,探究3：如果原命题是真命题，那么它 的逆否命题一定是真命题吗？,例1.原命题：同位角相等，两直线平行.,逆否命题：两直线不平行，同位角不相等.,例2.原命题：f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；,若逆否命题：f (x) 不是周期函数，则f (x)不 是正弦函数；,（真命题）,（真命题）,（真命题）,（真命题）,原命题是真命题，它的逆否命题一定是真命题.,结论：,1、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 2、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。,四、四种命题之间的 关系,原命题 若p则q,逆命题 若q则p,否

14、命题 若p则q,逆否命题 若q则p,互逆,互否,互否,互逆,互为 逆否,原命题与逆否命题同真假。,原命题的逆命题与否命题同真假。,一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:,注意：这4个命题中真命题的个数一定为偶数个。,1.四种命题的概念及其形式 2.怎样写出一个简单的命题 （原命题）的逆、否、逆否命题 3.四种命题之间的关系,小 结：,例1.原命题：“若x23x20，则x2”，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？,原命题：若x23x20，则x2；,逆命题：若x2，则x23x20；,否命题：若x23x20，则x2；,逆否命题：若x2，则x23x20.,（假）,（

15、假）,（真）,（真）,知识探究,例2.已知原命题：“若x0，y0，则xy0”，那么其逆命题、否命题和逆否命题分别是什么？这些命题的真假如何？,原命题：若x0，y0，则xy0；,逆命题：若xy0，则x0，y0；,否命题：若x0，y0，则xy0；,逆否命题：若xy0，则x0，y0.,（假）,（假）,（假）,（假）,知识探究,例3.证明：x2+y2=0，则x=y=0,解：考虑其逆否命题的真假性,否命题,逆命题,知识探究,五：下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x， 不成立,存在某x， 成立,结论2：

16、（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。（4）“一定是”的否定为“一定不是”,（1）a 0；,练习1：用否定的形式填空：,（2）a 0或b0；,（3）a、b都是正数；,（4）A一定是B的子集；,a0。,a0且b0。,a、b不都是正数。,A一定不是B的子集。,练习2、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,原命题：,逆命题：,否命题：,逆否命题：,若 ，则 或 。,若 且 ，则 。,若 ，则 且 。,若 或 ， 则 。,证明：若a-b=1，则 a2-b2+2a-4b-3 =(a+b)(a-b)+2a-4b-3 =a+b+2a-4b-3 =3a-3

17、b-3=3(a-b)-3 =31-3=0 所以原命题的逆否命题为真命题， 所以原命题也为真命题。,练习3,反证法,欲证“若p,则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法。,反证法的步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.,用反证法证明：“上帝不是万能的”,证明：假设上帝是万能的，那么上帝能 造出一块他自己都举不动的石头， 否则上帝就不是万能的；但是上 帝又举不起这块石头，因此上帝 不是万能的

18、，这与假设矛盾。所 以原假设不成立，即上帝不是万能的。,证明命题的方法,方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论p，证明其为真命题；,方法二：等价法，证明命题的等价命题逆否命题为真，则原命题也为真；,方法三：反证法，证明命题的否定为假命题，从而间接地证明了命题为真命题。,总结,练习 证明：若pq2，则p2q22.,证明一：要证“若pq2，则p2q22” 只需证它的逆否命题“若p2q22，则pq2”成立。 p2q2=2，则2=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2 逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。 证明二：假设p2q2=2，则2

19、=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2，这与命题的条件pq2相矛盾， 假设不成立，即p2q22， 故原命题为真命题。,（同题多解，学会等价法与反证法的灵活应用）,课堂小结：,原命题：,逆命题：,否命题：,逆否命题：,若p则q.,若q则p.,若p则q.,若q则p.,1、四种命题形式：,2、四种命题间的相互关系及其真假性的关系.,通过这节课的学习，你学到了那些知识呢？,高考链接,1. 下列命题是真命题的为（ ） A若 ,则 x=y B若x2=1,则 x=1 C若x=y,则 D若xy,则x2y2,A,2. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命

20、题是（ ） A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析： 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为 “若一个数的平方是正数，则它是负数”.,B,3. 命题“若ab,则2a2b-1”的否命题为_.,若a b，则2a 2b-1,解析：因为一个命题的否命题是同时否定原命题的条件和结论，所得的命题，因此答案为若a=b，则2a=2b-1 .,4. 命题“若x21或x1; D.若x 1或x -1，则x2 1,D,解析：交换原命题的条件和结论，并且同时 否定，所得的命题，因此答案为D.,C,5有下列四个命题： “若x+y=0 , 则互为相反数”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若 q1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题； “不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ） A B C D,解答题：,