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1、关于“二次型”的教学体会,厦门大学数学科学学院 杜妮 2010年4月于三明学院,合同标准型的应用,正交相似标准型的应用,二次型的教学内容分析,一.二次型的教学内容分析,1、二次型与相伴矩阵,定义 这里A=AKnn,XKn1.A称为f 的相伴矩阵. 数域K上n元二次型 数域K上n阶对称矩阵. 注 特别强调相伴矩阵写法的唯一性.,2、惯性定理,惯性定理: f (x1,xn)是R上n元二次型, 在 非退化线性替换X = CY, X = DZ下, 其中 则必有p = k.,注： 此处强调通过非退化的线性替换，联系习题： 设实二次型 其中 证明 f 的正惯性指数pk.,3、正定矩阵的等价说法,定理: A
2、 =ARnn, 则下列条件等价: (1) A是正定阵. (2) 对任意0XRn1 , 有XAX 0. (3) 存在可逆阵PRnn, 使得PAP = In. (4) 存在可逆阵PRnn, 使得A = PP. (5) A的正惯性指数p = n. (6) A的所有主子式 0. (7) A的所有顺序主子式 0. (8) A的所有特征值 0. (注明第九章中证明) 注：此处配合举例说明，使学生灵活掌握等价条件.,定理: 设A=ARnn, A为半正定矩阵 A的所有主子式 0 . 注: 此处“主子式”不能改为“顺序主子式”.,强调与半正定矩阵判定条件的对比,二、合同标准型的应用,设 f (x1,xn) =
3、XAX是K上n元二次型, 作非退化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆阵, 则f ( x1,xn ) = YCACY = g( y1,yn ). 定义: A , BKnn , B与 A称为合同的,如果存在n阶可逆阵C, 使B = CAC.,例: 复数域上任一n阶对称方阵A, 必存在n阶方阵矩阵T, 使得A=TT且r (T) = r (A). 例:设 f 是实二次型, 其相伴矩阵为A, 若|A|0, 证明: 必存在一组实数 , 使,1、对称阵的合同标准型的应用,例:设A是反对称阵, 即A= -ACnn, 则A必合同于,2、反对称阵的合同标准型,例: 若A是实反对称阵, 则A的行列式总是非负
4、实数. 例: 元素全是整数的反对称矩阵的行列式一定是某个整数的平方.,反对称阵的合同标准型的应用,三、实对称阵的正交相似标准型,定理:设 是n维欧氏空间V上对称算子, 则存在V的一组标准正交基, 使 在这组基下的矩阵是对角阵. 利用同构的思想，得到 定理:设A= ARnn, 则存在正交阵T, T-1AT=TAT为对角阵, 且对角线元素为A的特征值.,定理:设 是n元实二次型, 是A的所有特征值, 则必存在正交线性替换 为正交阵, 使 f 的正惯性指数等于A的正特征值个数, f 的负惯性指数等于A的负特征值个数, f 的秩等于A的非零特征值的个数.,例: 设A是n阶实对称矩阵， 是其所有特征值, 则对任意 , 都有 例:设A,B是n阶实对称矩阵，其特征值分别是 则A+B的特征值全落在 中.,1、应用正交相似标准型估计矩阵的特征值,例 设A是n阶正定阵，B是同阶实对称矩阵，则必存在可逆矩阵C，使得 其中 是矩阵 的特征值. 例 设A是n阶正定阵，B是同阶实对称矩阵，若AB是实对称阵，则AB是正定阵的充要条件是B的特征值全是大于零的实数.,2、 “同时对角化”问题,例: 证明: n维欧氏空间V的自伴随算子 有公共由它们的特征向量组成的标准正交基的充分必要条件是 例: 设 是m个实对称矩阵且两两乘积可交换, 求证: 存在正交矩阵P, 使 都是对角阵.,谢 谢 大 家！,