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1、1,1.2 古典概率,一、古典概率的定义 二、古典概率的性质,2,（I）什么是古典概率模型,如果试验E满足 (1) 它的结果只有有限种. (2) 且每种结果发生的可能性相同. 则称这样的试验模型为等可能概率模型或古典概率模型. 简称为等可能概型或古典概型.,一、古典概率的定义,3,（II）古典概率模型中事件的概率求法,试验E的结果只有有限种,即样本点是有限个: 1,2 ,n , =12 n i,i=1,2,n是基本事件，而他们发生的概率都相等，这样 1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) = n P(i), i=1,2,n, P(i)= 1/n i=1,2,n,4,因此若
2、事件A包含k个基本事件，于是,5,例1 将一颗均匀的骰子掷两次,观察其先后出现的点数,设A表示事件“两次掷出的点数之和为5”,B表示事件“两次掷出的点数中一个恰好是另一个的两倍”,试求P(A)和P(B),解:,样本空间为: =(i, j)|i, j=1,2,3,4,5,6,(i, j)表示“第一次掷出的点数为i, 第二次掷出的点数为j ”这一样本点,(III) 古典概率模型的例,6,中包含66=36个样本点,且由骰子的对称性知,每个样本点发生的可能性相同,A=(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),B=(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),由定义,得:
3、,7,例2 甲袋中有3只白球,7只红球,15只黑球.乙袋中有10只白球,6只红球,9只黑球,现从两袋中各取一球, 求两球颜色相同的概率,解:,设A:事件“取得的两球颜色相同”,各样本点的出现是等可能的,样本点总数为2525,从甲、乙两袋中各取一球,每种取法为一样本点,8,从两袋分别取得白球的取法有310种,分别取得红球有76种,分别取得黑球为159种,则从甲、乙两袋取得同颜色球的取法有31076159种,故,9,例3 有50件同一种商品,其中有5件次品,从这50件商品中,无放回的任取出3件. 求: (1) 取到2件次品的概率 (2) 取到次品的概率,解:,(1),令A: “取到2件次品”,则,
4、故,10,(2),令B: “取出的3件商品中有次品”,全部是次品:,有2件次品:,有1件次品:,共有:,11,例4,解:,货架上有外观相同的商品15件,其中12件来自产地甲,3件来自地乙.现从15件商品中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产地的概率,从15件商品中取出2商品,共有C215 =105 种取法,且每种取法都是等可能的.n=105 令A=两件商品都来自产地甲 kA= C212 =66 令B=两件商品都来自产地乙 kB= C23 =3 而事件两件商品来自同一产地=AB ,且A与B互斥. 它包含基本事件数=66+3=69 所求概率=69/105=23/35,12,例5,有外观相同的三极
5、管6只,按其电流放大系数分类,4只属甲类,2只属乙类.按下列两种方案抽取三极管两只, （1） 每次抽取一个只,测试后放回,然后再抽取下一只(放回抽样). （2） 每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下的三极管中再抽取下一只(不放回抽样) 求下列事件的概率。 设A=抽到两只甲类三极管, B=抽到两只同类三极管, C=至少抽到一只甲类三极管, D=抽到两只不同类三极管.,13,解:,（1）由于每次抽测后放回,因此,每次都是在6只三极管中抽取. 第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法. 第二次还是从6只中取一只,还是有6种可能的取法. 取两只三极管共有66=36种可能的取法.,注意:这种分析方法使
6、用的是中学学过的 乘法原理,14,即n=36且每个基本事件发生的可能性相同. 第一次取一只甲类三极管共有4种可能的取法,第二次再取一只甲类三极管还是有4种可能的取法. 取两只甲类三极管共有44=16种可能的取法, 即：kA=16 P(A)=16/36=4/9 令E=抽到两只乙类三极管,kE=22=4 P(E)=4/36=1/9 而C是E的对立事件， P(C)=1-P(E)=8/9； B= AE ,且A与E互斥，P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的对立事件, P(D)=1-P(B)=4/9,15,（2） 由于第一次抽测后不放回,因此,第一次从6只中取一只,共有6种可能的取法,第二次是从
7、剩余的5只中取一只,有5种可能的取法.由乘法原理取两只三极管共有n=65=30种可能的取法.再由乘法原理: kA=43=12 P(A)=12/30=2/5 kE=21=2 P(E)=2/30=1/15 C是E的对立事件, P(C)=1-P(E)=14/15 B= AE ,且A与E互斥 P(B)=P(A)+P(E)=7/15 D是B的对立事件, P(D)=1-P(B)=8/15,16,解:,例6,将n个球随机地放入N(Nn)个盒子中,若盒子的容量无限制. 求:事件 A =每个盒子中至多有一个球的概率.,每个球都可以放入N个盒子中的任何一个, 每个球有N种放法.由乘法原理,将n个球放入N个盒子中共
8、有Nn种不同的放法. 每个盒子中至多有一个球的放法由乘法原理有N(N-1)(N-n+1)=ANn种. P(A)= ANn/Nn.,17,生日问题,许多问题和上例有相同的数学模型.例如:某人群有n个人，他们中至少两人有相同生日的概率有多大？ 假设每个人在一年(按365天计)内每一天出生的可能性都相同,现随机地选取n(n365)个人,则他们生日各不相同的概率为A365n/365n. 于是, n个人中至少有两人生日相同的概率为1- A365n/365n,(请打开P14 表1.3.1),18,二、古典概率的性质,(1)非负性: 对任一事件A,有 0P(A) 1,(2)规范性: 对必然事件,有 P()=
9、1,(3)有限可加性: 若事件A1, A2, , An 两两互斥,则,19,把n个物品分成k组,使第一组有n1个,第二组有n2个, ,第k组有nk个,且n= n1+ n2+nk . 则:不同的分组方法有,公式,20,解:,例7,某公司生产的15件品中,有12件是正品,3件是次品.现将它们随机地分装在3个箱中,每箱装5件. 设:A=每箱中恰有一件次品,B=三件次品都在同一箱中. 求: P(A)和P(B).,15件产品装入3个箱中,每箱装5件,共有,等可能的装法, 基本事件总数为,21,续:,把三件次品分别装入三个箱中,共有3!种装法.这样的每一种装法取定以后, 把其余12件正品再平均装入3个箱中
10、,每箱装4件,又有,个基本事件.,由乘法原理 共有,即A包含,22,续:,把三件次品装入同一箱中,共有3种装法.这样的每一种装法取定以后,再把其余12件正品装入3个箱中(一箱再装2件,另两箱各装5件)又有,个基本事件.,由乘法原理 共有,即B包含,23,解:,例8,设N件产品中有K件是次品,N-K件是正品,KN.现从N件中每次任意抽取1件产品,在检查过它是正品或是次品后再放回,这样共抽取了n次. 求:事件A=所取的n件产品中恰有k件次品的概率,k=0,1,2,n.,假定N件产品是有编号的,从中任意取出一件,每次都有N种取法.由乘法原理,n次共有Nn种取法,基本事件总数为Nn. 当所取的n件产品中恰有k件次品时,由于取到这k件次品的次序的不同,因此从次序考虑共有Cnk种情况.,24,续:,这Cnk种情况确定以后,从K件次品中取出k件,共有Kk种取法.从N-K件正品中取n-k件,共有(N-K)n-k种取法.由乘法原理,共有Cnk Kk (N-K)n-k种取法, A中基本事件个数为Cnk Kk (N-K)n-k.,