固体物理第一章2.ppt

《固体物理第一章2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理第一章2.ppt（84页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第一章(2) 晶体结构,1.7 晶向、晶面和它们的标志,1.8 倒格子,1.9 布里渊区,1.7 晶向、晶面和它们的标志,布拉菲格子的格点可以看作分列在一系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。同一个格子可以形成方向不同的晶列。,晶列,（1）任一晶列上都有无穷多个格点； （2）任一晶列都有无穷多条相互平行的晶列，构成一个晶列簇； （3）每一个晶列簇都将晶体中所有的格点包含无遗。,一、晶列,o,R,定义,性质,定义：每一个晶列定义了一个方向，称为晶向，晶向用晶向指数来表示。晶向可以在原胞基矢坐标系中表示，也可以在单胞（晶胞）基矢坐标系中表示。,晶向指数（原胞）： 如果从一个格点沿晶向到最近邻

2、格点的位移矢量为 则晶向就用 来标志，称为晶向指数。 晶列上格点的周期为：,晶向指数（晶胞）： 如果从一个格点沿晶向到最近邻格点的位移矢量为 ，则晶向就用 来标志（m、n、p为互质的整数），称为晶向指数。,（1）提到方向，并不是单指某个个别的直线，而是指符合平移对称性而完全等价的一族平行直线。 （2）指数大的方向，如157，其单位长度上的原子数比指数小的，如111，方向的要少些。,二、晶向（direction）,立方晶格的等效晶向,立方边OA的晶向： 100 面对角线OB的晶向：110 体对角线OC的晶向：111,100及其等效晶向 等效晶向表示为,111及其等效晶向 等效晶向表示为,110及

3、其等效晶向 等效晶向表示为,等效晶向：由于单胞具有某些旋转对称性，晶体在某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称为等效晶向，统称一组等效晶向时用 表示。,体心立方元素晶体，111方向上的结晶学周期为多少？实际周期为多大？ 解答：结晶学的晶胞，其基矢为a、b、c，只考虑由格矢R=ha+kb+lc构成的格点。因此，体心立方元素晶体111方向上的结晶学周期为：,实际周期为,面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多少？该晶列在哪些晶面内？ 解答：周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内。根据密堆积模型，则原子面密度最大的晶面就是密排面，密勒指数为（111）是一个密排面晶面族，最小的晶列周期为 。根据

4、同族晶面族的性质，周期最小的晶列处于111面内。,定义：布喇菲格子的格点还可以看成分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面。同一个格子可以有无穷多方向不同的晶面系。,立方晶格中的（100）、（110）、（111）面,（100）,（110）,（111）,三、晶面（crystal plane or lattice plane）,性质：,（1）任一晶面上都有无穷多个格点； （2）任一晶面都有无穷多个相互平行的晶面，构成一个晶面簇； （3）每一个晶面簇都将晶体中所有的格点包含无遗。,晶面族：晶面平行等距,一个晶面族的特征有： 1、晶面方位 2、晶面间距,由晶面指数决定,晶面指数：一个晶面的标志，就

5、是要指明它的空间方位。一个晶面的空间方位，由该晶面在三个坐标轴上的截距完全决定。与这三个截距的倒数相对应的三个互质整数，称为该晶面的晶面指数。晶面指数有两种，基于单胞基矢坐标系的晶面指数称为密勒指数，基于原胞基矢坐标系的晶面指数称为面指数。,在原胞基矢坐标系中，若一个晶面在三个基矢 方向上的截距的倒数，约化为三个互质的整数 ，放在圆括号中 ，用来标志该晶面。放在圆括号中的这一组三个互质整数 就称为该晶面的面指数。,1、确定面指数的方法,a1,a2,a1/h1,a2/h2,晶面指数的意义,由于一个晶面族包含了所有的格点，而任意两点间所通过的平行晶面数总是整数。截距为 的晶面系中，总有两个晶面分别

6、通过基矢的两端，从而这个晶面系把基矢a1、a2、a3分别截成h1、h2、h3个等长的小段。由右图看出，该晶面系中离原点最近的晶面的截距分别为a1/h1、a2/h2，a3/h3，若用n表示该晶面系的法线，d表示该晶面系的面间距，有,o,d,若选用自然长度单位a1、a2、a3分别等于1，则有：,即晶面指数之比等于晶面法线方向与各坐标轴夹角的余弦之比。,h1、h2、h3的数值可以由晶面族（h1 h2 h3）中任一晶面在基矢坐标轴上的截距来求出。设晶面族（h1 h2 h3）中离开原点的距离等于d（为整数）的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别为ra1、sa2、ta3，则有：,由此得：,与上式相比较，有,晶

7、面指数不仅可以标志晶面族，还可用以得出晶面系中相邻晶面的面间距和不同晶面系中两个晶面之间的夹角。例如对于简单正交晶格，选晶胞基矢作为坐标轴，其密勒指数可写为（hkl），有,考虑到正交坐标系有：,可得（h k l）晶面系的相邻晶面间距为：,对简单立方晶格，则,密勒指数为（h1 k1 l1）和（h2 k2 l2）的两个晶面之间的夹角为：,指数简单的面是最重要的晶面，如（100）、（110）、（111）之类。这些面指数低的晶面系，其面间距d 较大，原子层之间的结合力弱，晶体往往在这些面劈裂，成为解理面，一般容易显露。如Ge、Si、金刚石的解理面是（111）面，而III-V族化合物半导体的解离面是（1

8、10）面。,双层,双层,双层,111,金刚石晶格中的双层密排面,立方晶胞的体对角线111方向，与之垂直的晶面为（111）面； （111）面为一个双层密排面，双层面内部相互作用强，两个相邻双层面之间相互作用弱，在晶体生长、晶面解理、化学腐蚀等情况下，表面往往有倾向成为（111）面的趋势。,另一方面，因为一晶系包含了所有的格点（原子），因此，面间距大的晶体，格点的面密度必然大。若用表示格点（原子）的体密度，则格点面密度与面间距的关系为：,知道了晶体的体密度，求出面间距，即可求出（h k l）面的面密度。原子密度大的晶面，对射线的散射强，因而指数简单的晶面系在X射线衍射中往往为照片中的亮点所对应的晶

9、面。,d, A,2、确定密勒指数的方法,若一个晶面在单胞基矢坐标系的三个基矢方向上的截距分别为 ，用三个数字 就可以标志晶面的空间方位，但是，如果晶面与某一基矢平行，这三个数字中就有一个为无穷大，故采用截距的倒数 ，并约化为三个互质的整数 来标志晶面，晶面指数表示为 。,注：如果有负数，负号标在该数的上面。,确定P面的方法：,（1）找出它在基矢a、b、c上的截距，令这些截距为u、v、w； （2）通常u是a的分数的倍数，v是b的分数倍，表示为：,（3）其倒数为,（4）然后乘以公因子，使其简化为一组最小的整数，这组最小的整数称为该平面的密勒指数，用（hkl）表示。,举例说明,设u=2a，v=b，w

10、=c，则,其倒数为 ，将其乘以公因子2，得到密勒指数为（122）,说明,（1）包含坐标轴的晶面，无法确定该晶面在该坐标轴上的截距，从而无法直接确定该晶面的晶面指数。由于互相平行的晶面的晶面指数相同，可以首先找到一个与之平行的晶面，确定其晶面指数，该晶面指数也就是包含坐标轴的晶面的晶面指数。 （2）晶面的密勒指数和面指数，使用起来各有所长。密勒指数所用的坐标系比较简单，单胞基矢坐标系的坐标轴大多是相互垂直的，因此密勒指数比较容易确定。面指数在数学解析分析中具有很多优越的性质。如面指数直接给出的是距离原点最近的晶面，在计算晶面间距时比较简单。根据情况不同，两种晶面指数的方便程度不同。,立方晶格的等

11、效晶面,等效晶面：由于单胞具有旋转对称性，某些非平行的平面按旋转对称性可能是等价的，这些平面称为等效晶面，可用同一个密勒指数概括，用 表示。,（1）简单立方晶格中一个晶面的密勒指数是和晶面法线的晶向指数完全相同的，这给确定晶面指数提供了一个简单途径。 （2）与立方边100、面对角线110和体对角线111垂直的晶面分别为（100）、（110）、（111）面。 （3）与其它的立方边、面对角线和体对角线相垂直的晶面是等效的，可以分别用正立方体、正十二面体、正八面体表示。 （4）右图中各多面体相对的两个面都是相互平行的，它们的晶面指数正好相反。如八面体的一个晶面为（111），与它相对的背面就是（-1-

12、1-1），对标志晶格里面的晶面来讲是没有区别的，因而100、110、111的等效晶面分别为3、6、4,(001),(010),(100),100,110,111,例1、晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢a1、a2和a3重合，除O点外，OA、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？,例1解答： 晶面族（123）截a1、a2和a3分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA长度等于a1的长度，OB长度等于a2长度的1/2，OC长度等于a3长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、

13、B和C都不是格点。,例2、在简立方晶胞中，画出（101）、（021）、（1-22）和（2-10）晶面。,例2解答：,（101）,（021）,（1-22）,（2-10）,0,0,0,例3、在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示，它们代表一个晶面的基矢的截距分别为a1/h，a2/k，a3/m，在c轴上的截距为c/l。 证明（1）h+k=-m； （2）求出OA1A3、A1A3B3B1、A2B2B5A5和A1A3A5四个面的面指数。,o,A1,A2,A3,A4,A5,A6,B1,B2,B3,B4,B5,B6,a1,a2,a3,c,例3解答： 设d是晶面族（hkml）的面间距，n是晶面族的单位法矢量

14、。晶面族（hkml）中最靠近原点的晶面在a1、a2、a3和c轴上的截距分别为a1/h、a2/k、a3/m、c/l，所以有：,OA1A3： A1A3B3B1： A2B2B5A5： A1A3A5：,由于,所以,得到：m=-(h+k),例4、 （1）证明在立方晶系中，晶列hkl与晶面（hkl）正交； （2）如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心。 求ABC面的密勒指数；求晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。,例4解答： （1）设d是晶面族（h k l）的面间距，n是晶面族的单位法矢量。根据晶面族的定义，晶面族（h k l）将a、b、c分别截为 等份，即：,于是有：,其中，i，j，k分别是平

15、行于a，b，c三个坐标轴的单位矢量，而晶列hkl的方向矢量为：,因此有： ，即 ，晶列hkl与晶面（hkl）正交。,因为对立方晶系，晶列hkl与晶面族（hkl）正交，所以ABC面的密勒指数为,（2）矢量 与矢量 的叉积即是ABC面的法矢量。,可见 与晶列 平行，因此AC晶列的晶列指数为,面心立方结构晶胞基矢和原胞基矢的关系为：,晶列 可化为,晶列在原胞坐标系中的指数为,倒易点阵的概念是Ewald于1921年在处理晶体X-射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念之一。,1.8 倒格子（Reciprocal Lattice）,一、概念的引入,在讨论完布喇菲格

16、子的分类和晶格结构的一些实例后，本节回到布喇菲格子的主要特征平移对称性有关问题的讨论上。,按照定义，布喇菲格子是格点的集合。体积V内Rm处的格点对r处格点密度的贡献为(r-Rm)，因为在Rm格点以外区域均为零，且有 如体积中有N个这样的格点，r处的总格点密度可写为：,（1）,类似地，r + Rn处的格点密度可写为：,是以Rm为原点的布喇菲格子的格矢。考虑到体系足够大，布喇菲格子实际上可视为无限扩展的，原点的这种改变并不影响计算的结果，即：,对所有属于布喇菲格子格矢（Bravais lattice vector）的Rn成立，(r)为周期函数，平移布喇菲格子的任意格矢不变，具有布喇菲格子应有的平移

17、对称性。,除(r)外，晶体的其它一些性质，如质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等亦是周期函数，一般地可写为：,对所有属于布喇菲格子格矢的Rn成立。,（4）,（3）,（2）,将函数 展开为傅里叶级数：,其中傅里叶展开系数为：,同样，将函数 展开为傅里叶级数：,由于晶格周期性，有 ，两式相减得到：,（5）,（6）,（7）,（8）,即,或对所有的k，V(k)=0，这相当于V(r)=0，不是我们所要的结果； 或存在某些k，对布喇菲格子的所有格矢有：,（9）,（10）,定义：,对布喇菲格子中所有格矢，满足,或,m为整数,的全部Gh端点的集合，构成该布喇菲格子，称为正格子（direct lattice

18、）的倒格子（reciprocal lattice）。,因此，与布喇菲格子有相同平移对称性（或周期）的物理量的傅里叶展开中，只存在波矢为倒格矢的分量，其它分量的系数为零。即V(r)的展开式为：,（11）,（12）,（13）,（14）,二、倒格子是倒易空间中的布喇菲格子,（15）,（16）,（17）,（18）,将 代入（12），得,由于（15）式对任意整数n1、n2和n3成立，要求：,（h1、h2、h3为整数）,倒格子矢量（倒格矢）,且,由于a1、a2、a3互不共面，条件（18）保证在倒格子空间，或倒易空间（reciprocal space）中b1、b2、b3亦不共面。因此，倒格子是倒易空间中以b

19、1、b2、b3为基矢的布喇菲格子。（17）、（18）式亦可视为以a1、a2、a3为基的某一布喇菲格子的倒格子的定义。,（18）式保证了b1和a2、a3垂直，可写成,倒格子基矢,代入（18）式，,其中 为布喇菲格子的原胞格子的体积。类似地可求出b2、b3，倒格子的三个基矢为：,（19）,（20）,（21）,1、正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于(2)3,三、倒格子与正格子的关系,正格子的体积：,倒格子的体积：,利用,得到,所以,根据倒格子的定义，倒格子的倒格基矢为：,这说明倒格子的倒格子是正格子。,同样可以证明：,2、正格子与倒格子互为对方的倒格子（互易性）,与晶列l1l2l3垂直的倒格面的面指

20、数是什么？,正格子与倒格子互为倒格子。 正格子晶面(h1h2h3)与倒格矢Gh=h1b1+h2b2+h3b3 垂直，则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3正交，即晶列l1l2l3与倒格面(l1l2l3)垂直,3、倒格矢Gh=h1b1+h2b2+h3b3 与正格子晶面族（h1h2h3）正交,ABC是离原点最近的晶面，面指数为(h1h2h3)，即该晶面族最靠近原点的晶面的截距分别为a1/h1、a2/h2、a3/h3，,利用：,可以证明：,即Gh与晶面指数为（h1h2h3）的晶面ABC正交，也即与晶面族（h1h2h3）正交。,4、倒格矢Gh的模与晶面族(h1h2h3)的

21、面间距成反比,由于倒格矢Gh垂直于晶面(h1h2h3)，则晶面(h1h2h3)的法线方向单位矢为 。设该平行晶面簇的晶面间距为d，对于晶面簇中距离原点的第n个晶面，晶面上的任一点位置矢量 满足：,该式是晶面上的任一点位置矢量 的方程，称为晶面方程。由于：,倒格子矢量与面间距的关系为：,相类比，倒格面(l1l2l3)的面间距：,在晶胞坐标系中，,其中：,倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中的一族晶面相对应，它的方向是该族晶面的法线方向，大小是该族晶面面间距倒数的2倍。 又因为倒易点阵基矢对应一个阵点，因而可以说，晶体点阵中的晶面取向和晶面间距这2个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（阵点）就能综合地

22、表达出来。,若基失a，b，c构成正交晶系，证明：晶面族（hkl）的面间距为,例题,解答：,对于简单晶格，由于三个基矢正交，有：,由于简单正交晶格的单胞和原胞是相同的，单胞基矢和原胞基矢对应相等，且（h1h2h3）=（hkl），上述用原胞基矢长度和面指数表示的面间距公式，通常用单胞基矢长度和密勒指数表示为：,立方晶系,四方晶系,（a=b=c）,六角晶系,（a=bc）,（abc）,正交晶系,5、同一晶格的正格子和倒格子具有相同的点群对称性,设为正格子的一个点群对称操作，即当Rn为一正格矢时， Rn也为正格矢，同样-1Rn也是正格矢。,由,由于点对称操作是正交变换，即保持空间两点距离不变的变换，两矢

23、量受同一点群对称操作作用，其点乘保持不变，即：,这样，对群中任一操作，Gh和-1Gh也是倒格矢。这表明，正格子和倒格子有相同的点群对称性。,正空间中WS原胞是布喇菲格子的对称化原胞，具有布喇菲格子的全部点群对称性。因此，倒空间中的WS原胞（第一布里渊区）也具有晶格点群全部对称性。,把在傅里叶空间中规则排列着的点的阵列称为倒格子点阵。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵看作一个周期函数，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。,和一个晶体结构相联系的有两种点阵：晶格点阵（正格子点阵）和倒格子点阵（倒易点阵）。每一个布喇菲格子都

24、与一个与之相应的倒格子。,晶格点阵是真实空间中的点阵，具有长度的量纲；,倒格子点阵是在与真实空间相联系的傅里叶空间中的点阵，具有长度-1的量纲，量纲为L-1的矢量空间为倒格子空间。,晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像；晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。,在数学上正格子和倒格子是等价的；在物理上正格子为坐标空间，倒格子是波矢空间。,正格子与倒格子的关系,正格子原胞与倒格子原胞的体积关系,倒格矢的方向,倒格矢的大小与晶面间距的关系,一维晶格结构,一维晶格倒格子结构,1、一维晶格,四、倒易点阵实例,对于二维晶格，利用倒格子基矢的定义计算倒格子基矢时，取 为 的单位位矢，即取 ，这时：,

25、其中S为二维晶格原胞面积的大小：,2、二维晶格,二维斜方点阵和它的倒易点阵,a,a,a,Real Space,Graphene,Reciprocal Space,Real and reciprocal lattices appear to be rotated from one another!,对于原胞基矢为 的长方形点阵，计算其对应的倒格子基矢。,首先计算二维晶格的原胞面积S：,则倒格子基矢为：,（1）横长纵短的长方形格子，其倒格子的形状是横短纵长； （2）正格子基矢和相应的倒格子基矢相互平行。,晶格,倒格子,3、三维晶格,正点阵,倒易点阵,SC结构,Hexagonal Bravasis

26、Lattice,reciprocal Lattice,a1=a2=a, a3=c,正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸发生变化，基矢方向也转了一个角度。,六方结构,例题,计算六角密排结构如取如下原胞基矢 试写出其倒格子基矢。,方法一、,方法二、,由正格子和倒格子之间的关系：,hcp结构,Reciprocal Lattice to BCC Lattice,Crystal Lattice Primitive translation vectors,Reciprocal Lattice Primitive translation vectors,FCC Lattice,BC

27、C结构,Reciprocal Lattice to FCC Lattice,Crystal Lattice Primitive translation vectors,Reciprocal Lattice Primitive translation vectors,BCC Lattice,FCC结构,Direct Space,Reciprocal Space,正点阵为简单点阵，倒易点阵也是简单点阵,Simple Orthorothombic Bravasis lattice with a3a2a1,Reciprocal lattice with b1b2b3,正格子空间长的线条对应于倒格子空间

28、短的线条,4、主要结论,Primitive vectors and the conventional cell of bcc lattice,Reciprocal lattice is Face Centered Cubic (fcc),a1,a2,a3,X (i),y (j),z (k),a,b1,b2,b3,X (i),y (j),z (k),4/a,正格子和倒格子属于相同的晶系，具有相同的旋转对称性。正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵，但有心类型可能不同，即同一晶系内的这二种格子不必有相同的布拉菲格子。如BCC点阵的倒格子为FCC。,FCC点阵的倒格子为BCC点阵,Primitiv

29、e vectors and the conventional cell of fcc lattice,Reciprocal lattice is Body Centered Cubic (bcc),b1,b2,b3,X (i),y (j),z (k),4/a,a1,a2,a3,X (i),y (j),z (k),a,试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线。,习题课：,提示： （1）面间距最大的晶面上的格点最密； （2）格点最密的线一定分布在格点最密的面上。,对面心立方：,面间距最大的晶面族是111。,对于FCC晶体，对应原胞坐标系中的面指数(h1h2h3)和对应晶胞坐标系总的面

30、指数(hkl)存在一定的对应关系。,与晶面族(hkl)垂直的倒格矢,原胞坐标系中的倒格基矢为b1、b2、b3：,晶胞坐标系中的倒格基矢为a*、b*、c*：,Gh1h2h3与晶面族(h1h2h3)正交。因此，若已知晶面族的密勒指数（hkl），则原胞坐标系中的面指数为：,其中p为(k+l)、(l+h)、(h+k)的公约数。,与晶面族(h1h2h3)垂直的倒格矢,Ghkl与晶面族(hkl)正交。因此，若已知晶面族的面指数(h1h2h3)，则晶胞坐标系中的面指数为：,其中p为 的公约数。,将原胞坐标系中的晶面指数111代入,得到该晶面族对应的密勒指数也为111。,面间距最大的晶面上的格点最密，所以，密

31、勒指数111晶面族是格点最密的面。格点最密的线一定分布在格点最密的面上，图中标出的（111）晶面上的格点容易算出，最密的线上格点的周期为,0,对体心立方：,面间距最大的晶面族是001。,根据原胞坐标系和晶胞坐标系的面指数关系,得出该晶面族对应的密勒指数为110。面间距最大的晶面上的格点最密，所以，密勒指数110晶面族是格点最密的面。格点最密的线一定分布在格点最密的面上，从图中标出的（110）晶面容易算出，最密的线上格点的周期为,0,布里渊区是描述晶体中准粒子能谱（如声子能谱或电子能谱）的常用物理概念。,1.9 布里渊区（Brillouin Zone）,一、历史简介,1913年：布里渊（Lon

32、Brillouin）与索末菲（Arnold Sommerfeld）发表了电子散射问题的论文。,1926年：布里渊与G. Wentzel, H. A. Kramers同时提出了电子在外场中运动的WKB准经典近似，以解决加电势能以后薛定谔方程无法解析求解的问题；,1930年：布里渊在研究电子在晶体中运动时，发现当电子几率波矢k越过倒易空间中格矢量G的中垂面时，电子的本征能量E(k)有个能隙。为了更好地描述电子能带，布里渊提出以同一原点出发的倒易格矢量G的中垂面为准，将波矢k的倒易空间分割成一系列区间，提出了布里渊区的概念。,1936年：布里渊区的概念是在塞茨和维格纳等人用群论研究碱金属电子能谱的对

33、称性以后才逐渐成熟起来。,布里渊区是倒格子空间中以原点为中心的部分区域。 从倒格子空间原点，作与最近邻倒格点、次近邻倒格点、再近邻倒格点、的连线，再画出这些连线的垂直平分面（线），包含原点的多面体包围的区域就是第一布里渊区，与第一布里渊区相邻、且与第一布里渊区体积相等的区域为第二布里渊区，与第二布里渊区相邻，且与第一布里渊区体积相等的区域为第三布里渊区，。,二、如何构造布里渊区？,第一布里渊区称为简约布里渊区，简称布里渊区（Brillion Zone，记为BZ）。 第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz原胞取法相同，它是倒易点阵的原胞。,三、布里渊区的性质,布里渊区的形状与

34、晶体结构密切相关，与晶体的化学成分、晶胞中原子数目无关。倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的第一布里渊区。,布里渊区是一个对称原胞，它保留了相应的布喇菲点阵的点群对称性。布里渊区形状是围绕原点中心对称的，第一布里渊区里依然可以划分为几个完全等同的区域。,1、布里渊区的形状,对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同样大小的体积，利用平移对称性可以找出第一布里渊区和所有较高的布里渊区之间的全等性。,第一布里渊区实际上是倒格子的维格纳塞兹原胞，其体积是一个倒格点所占的体积，与倒格子原胞体积相等，即,每个布里渊区的体积都相等，且都等于倒格子原胞的体积。,

35、2、布里渊区的体积,由于布里渊区界面是某倒格矢 的垂直平分面，如果用 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空间矢量，它必然满足方程：,该方程称作布里渊区的界面方程,k是倒格子空间中的矢量，满足上式的 k 的端点均落在 G 的垂直平分面上，只要给定 G ，由上式就可以确定相应的布里渊区界面。,3、布里渊区的界面,一维晶格基矢,对应的倒格子基矢,离原点最近的倒格矢为 b 和 -b 。这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区。,一维晶格结构,一维晶格倒格子结构,四、布里渊区实例,1、一维晶格,设方格子的原胞基矢为 ，则倒格子的原胞基矢为,（1）离原点最近的倒格点有四个：,它们的垂直平分线围成的区

36、域就是简约布里渊区，即第一布里渊区；,（2）离原点次近的4个倒格子点分别是：,它们的垂直平分线与第一布里渊区边界围成的区域就是第二布里渊区；,（3）离原点再远一点的4个倒格子点分别是：,它们的垂直平分线与第一、第二布里渊区边界围成的区域就是第三布里渊区。,2、二维方格子,二维方格子布里渊区,SC结构,正格子原胞基矢,倒格子原胞基矢,3、三维晶格,离原点最近的倒格点有六个：,它们的中垂面围成的区域是第一布里渊区，为立方体，体积为：,第一布里渊区,X,R,S,N,Z,M,T,H,第一布里渊区（简立方体）,布里渊区的高对称点,离原点次近的12个倒格点：,由这12个倒格矢的中垂面围成一个菱形12面体，

37、其体积为,从菱形12面体中减去第一布里渊区，便是第二布里渊区，它是由6个分离的四棱锥构成，它们的体积等于第一布里渊区体积。,第二布里渊区,BCC结构,体心立方格子的倒格子是面心立方结构，离原点最近的有12个倒格点：,由这12个倒格矢的中垂面围成的区域就是第一布里渊区。将体心立方正格子的12个最近邻倒格点，与简立方正格子的12个次近邻倒格点比较发现，它们的直角坐标表示完全相同，即体心立方正格子的第布里渊区是菱形12面体。,菱形十二面体,第一布里渊区：正菱形十二面体,体心立方格子的典型立方单元边长为a，则倒格子中典型立方单元边长为4/a。此菱形十二面体是由面积相等的十二个菱面为底、顶点均在点的十二

38、个四角锥组成的。先求出底面为菱形ABHP的四角锥体积，ABHP四个点的坐标为：,四角锥的高为：,菱形十二面体的体积：,第一布里渊区的体积：,布里渊区的高对称点,100 方向记作，,110 方向记作，,111 方向记作，,体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区,Brillouin Zone= Wigner-Seitz Cell for Reciprocal Lattice,Wigner-Seitz Cell for Body Centered Cubic Lattice,面心立方格子,Brillouin zones of the face-centered cubic lattic

39、e. The cells are in reciprocal space, and the reciprocal lattice is body centered.,面心立方格子的倒格子是体心立方格子，离原点最近的倒格点共有8个，分别为：,用直角坐标系表示，分别为：,面心立方的倒格子为体心立方结构，它的第一布里渊区为截角八面体，由8个最近邻的倒格矢的垂直平分面构成正八面体，6个次近邻倒格矢的垂直平分面为正方形，组合一起形成截角八面体或称14面体。,面心立方正格子第一布里渊区,第一布里渊区：截角八面体,由8个格点的中垂面围成的是一个正八面体，原点到每个面的垂直距离是上述倒格矢模的1/2，即 。,

40、b为在x、y、z上的截距,上述平面通过点L，由此可求出截距为,正八面体的体积为：,可见此正八面体不是第一布里渊区，因为它比布里渊区体积大,第一布里渊区的体积：,因此必须计及次近邻倒格点次近邻倒格点有6个，它们是,它们的中垂面截去正八面体的6个顶角。,利用 ，求出w点的坐标：,类似地，求出点的坐标：,截去的体积为：,因此，面心立方正格子的第一布里渊区是一个14面体，它有八个正六边形和六个正方形，常称截角八面体。它的体积为：,布里渊区的高对称点,100 方向记作，,110 方向记作，,111 方向记作，,面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区,Brillouin Zone= Wigner-Seitz Cell for Reciprocal Lattice,Wigner-Seitz Cell for Face Centered Cubic Lattice,作业,1、对于由同种原子构成的二维正六边形晶格，正六边形的两对边的间距为a， （1）试求正格基矢和倒格基矢？ （2）试画出此晶格的第一和第二布里渊区。,2、平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求 （1）正格矢和倒格矢； （2）画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内切圆半径。,