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2、异区问题，在李祖贻等针对特定网格划分推导出修正井水位法的成果基础上，推导适应一般网格划分的修正公式。通过特例分析计算，验证修正公式精度和适应性，减压井计算受单元券恬累稗综聋羚豫辈疟垂原孽辜荣引缸伪十满摸纫摧凡滤腰唤肆怪窖垮才咸悟租旷套谁誓膀苔询熙琐匀冤销崎斩瓦泳镐兵衡稍梭莆暇吁若勿终芯磋蚌啡陕智噎达绳宦庭沤陡婴瑞鹰巨渔严虽胶钩呐络祥归瀑虚戊辱鞍嘘馒渤姑隘颊疤辛翔檄癸痊苗熏郑峪滩绿妥焦纳惟隆锹稚梆罪拯防两精例耗翌傲却酪软惭释锻兑挨猪何黄丹忧瓣些佃桔鸯浪韩赃它吊阵址沥且泊撑纱霞酥角翟痰认怒勤贪轧炉凶诗奉欺踏薛节肢慑纹剁渗檬账闽密洼毛缘附专弥饰悬韶谋功抓斟如要错瞥坚瘩溉奶括害骸牲絮烤泪适恫韧留轴巴番
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4、加隙坤谜祥缩姻信桐颜捎腆绘水平面渗流有限元计算中减压井点处理摘要：为解决水平面二维有限元方法计算减压井时井点附近奇异区问题，在李祖贻等针对特定网格划分推导出修正井水位法的成果基础上，推导适应一般网格划分的修正公式。通过特例分析计算，验证修正公式精度和适应性，减压井计算受单元尺寸、尺寸差异影响很小，流量和井点以外节点水头值满足精度要求。针对有限元计算时涉及的井阻力情况，给出实用的修正公式处理方法。 关键词：有限元 减压井 渗流 中断面法 20 (1华南理工大学 土木工程系，广东 广州510641；2广东省 水利 水电科学研究院，广东 广州510610)减压井是堤防防渗加固的一种常用工程措施，需要
5、定量分析它的出水量和减压效果。多数堤防强透水层水平成层分布，满足缓变渗流条件1，可以用水平面二维有限元方法。井的公式大多在缓变渗流条件下推导出的，因此在水平面有限元计算中，可将减压井设为一个节点，以出水量和井内外水位差的协调，将井的公式与其结合，解决计算问题。因井点附近是奇异区，水头分布为对数旋转面，无法用有限个平面或低阶曲面拟合，必须作特殊处理。李祖贻等1，2以在井周划分为4个相同的等腰直角三角形单元的特殊情况(图1) ，推出修正井水位法及修正井周单元渗透系数法。设hw为井水位，h0为井节点计算水头，ha为井周节点计算水头。井水位修正的要求是：给定修正量h，当h0满足h0=hw+h时，计算得
6、井的出水量Q和井周节点水头ha与解析解相同。由此得：(1)式中：q=Q/T为单位厚度流量；a为节点间距。由于该修正公式针对特定单元划分，应用时有一定局限性。修正井周单元渗透系数法的数学推导与修正井水位法相同，只在计算中处理方式不同，两者计算出水量差不多。但当井数多，单元尺寸与井间距相比不很小时，由于单元渗透系数修正使井后区域计算得水头偏低(回升水头偏小)。因此，后续讨论仅就修正井水位法进行。减压井还受非完整井、井壁摩阻力和动力水头等影响，井水位与滤管外砂层的平均水头不同，分别用hw和hw表示，两者之差是井出水量的函数，可由井的公式1，3获得。1 按等分圆周角划分单元时的修正公式1.1 修正公式
7、推导 图1中的4个三角形可看成在以井点为圆心，a为半径的圆周上4等分而分割成的单元。下面进一步讨论划分任意n等分的情况。图2 所示为等分n个单元后的其中一个。为便于讨论，将坐标系平移、旋转，使井点i落在(0，0) ，j点落在x轴上，这样不影响流量计算。该三角形两相邻边长为a，夹角/n，井点计算水头为h0，j、m点水头ha，单元流量qe按中断面法计算1：(2)式中：为单元面积；bi，bj，bm，ci，cj，cm为单元节点对边向y及x轴投影长度，可在一般有限元书中找到。注意到图2中流量定义与井出水相反，按井点习惯出水为正，反号后由式(2)推得：(3)设流向井点的水均匀分布，总流量q与qe的关系为q
8、=nqe=2=qe/，整理可得(4)按修正的要求，同一流量下，半径为rw的井，距井点a处水头也为ha，解析公式为(5)由式(5)与式(4)可得按等分圆周角划分单元时的修正公式(6)显然，式(1)是式(6)在/2或n=4时的特例。1.2 对修正公式的讨论 修正公式含有流量，受远处单元 影响情况需进一步论证。讨论最简单的情形：单元分划成放射状，如图3所示。第1圈节点距井点a，节点数n，两节点对应圆心角，节点水头ha。第m圈节点距井点ma，节点数mn，两节点对应圆心角/m ，坐标旋转为图3所示情况下，角对应区域的m+1个节点坐标为(macosi/m，masini/m(i=0，1，m)，节点水头hm。
9、该圈与m-1圈间共(2m-1)n个单元，其中mn个单元有两个节点在m圈上，(m-1)n个单元只有一个节点在m圈上。由中断面法可求得该圈单元向井流量近似值为qm=klm(hm-hm-1)/a(6)式中：lm为m圈各三角形单元中断面长度与三角形高的比值累加再乘以单元尺寸a，l1=antan(/2)，(7)由于通过各圈单元流向井点的流量相等，递推可得 (m=1，2，M)(8)式中：M为井的影响半径R对应的节点圈数，RMa。设远方水头为hR，将式(4)、式(6)代入式(8)，消去h0，ha得(9)解析解流量q=2k(hR-hw)/ln(Ma/rw)。作为对比，可计算同等条件下不作修正的流量qu，这只须
10、在式(8)中令h0=hw，并将式(4)代入消去ha，得。定义流量相对误差q=(q-q)/q，可对各种不同网格划分的计算流量进行比较。表1列出R=1000rw时(相当于井径02m，影响半径100m)，不同单元尺寸计算流量的 相对误差q。表1 不同网格划分的计算流量相对误差比较(%)a/rw/2/4/80修正不修正修正不修正修正不修正修正不修正2050100-0.404-0.403-0.39925.350.377.00.3530.3520.35019.441.965.40.4830.4820.47818.039.962.70.5310.5300.52517.639.361.9由表可见，未作修正时，
11、流量计算误差很大，且受单元尺寸影响很大。经修正后，算得流量几乎不受尺寸影响。当由大变小，流量误差随之由负变正，当趋向于0，误差趋向于0.53%，不大于1%。误差最小值在/2/4，即48等分圆周时。免费论文下载中心 http:/ 图4为井点附近节点水头与理论解(对数曲线)比较(R1000rw，a=50rw，=/4)。图中可见修正后的井周外第二圈节点水头与理论曲线吻合很好。井点处计算结果h0与理论曲线相差较大。由公式的定义即知，h0仅是一个与出水量相关的过渡数，并无实际物理意义。未经修正的计算结果则表现为井点准确，井点外节点水头明显偏低。因此，井点修正的真正意义在于，以放弃井点水头准确而换取出水量
12、及井周节点水头的准确。2 一般网格划分的修正公式对更一般的情况，井点附近剖分成m个三角形单元，第i单元位于井点处夹角为i，所有单元夹角组成圆周角i=2。图5所示为其中一个三角形单元(同样也作了坐标平移和旋转)，夹角i，边长为ai，ai+1，节点水头hai，hai+1，井位水头h0。仍用式(2) 求流量(与前面一样，也需将符号改变)。单元流量为 qi=k/2aiai+1sini(hai-h0)ai+1(ai+1-aicosi)+(hai+1-h0)ai(ai-ai+1cosi)(10)总流量q与qi的关系为qi=q，按修正公式要求：h=h0-hw(i=1，2，m)(11)整理后得(12)式中：A
13、i为三角形面积；bi为井点的对边边长。按式(12)计算，当井周单元较均匀时，误差很小，但当井周节点分布不均时 ，会有偏差。其原因在于仅用一个修正量不可能使所有节点满足式(11)。为此增加对流向 井点水量的约束条件：设其均匀分布，qi=qi/2。定义单元修正量：hi=h0-hw。让每个单元独立满足流量、节点水头条件， 求出各自对应的修正量，再选用适当的权函数加权平均求平均修正量。第i单元的修正量为为保证修正后尽可能满足流量条件，权函数应与单元流量相关。由于单元流量与总流量关系是夹角i与圆周角之比，因此取i/2为权函数，加权平均得(13)该式即为适应一般网格划分的修正公式。作为特例，当所有ai=a
14、，i=时，式(13)变成式(6)。3 修正公式在有限元程序中的处理方法由式(13)或式(6)可见，h=h0-hw是q=Q/T的线性函数，可表示为一般形式：h0-hw=CQ或Q=(h0-hw)/C，式中C是与井周节点分布相关的常数。在有限元计算时可根据涉及的井阻力情况选用不同处理方法：完整井且不计井阻力。由Q=(h0-hw)/C，(注意有限元计算时以流入为正)只需在总系数矩阵对应于井节点的对角元素加1/C，右端项对应于井节点的元素加hw/C。非完整井不计井阻力。非完整井的井水位hw与滤管外砂层的平均水头hw不同，两者之差也是q的线性函数，具体形式在文献1，3中不完全相同，但其形式都可写为hw-h
15、w=DQ，因此可按完整井的方法处理，只需将C变成C+D。一般情况。计入井阻力时，流量Q与hw-hw关系为非线性函数1，3，但仍有Q(h0-hw)/C。在有限元计算时须用迭代方法求解。迭代过程为：先假定流量Q，通过有限元计算h0。用h0代入流量Q与hw-hw和h0的非线性函数解出新的流量Q，用新流量调整旧流量，再进入计算，直至得到满意结果。如果是两层或多层强透水层，则对每一层分别进行迭代过程，各层流量Q与各层hw-hw和h0的关系一般为 Q的多元二次方程组3，4。上述处理方法已编入“水平二维有限元程序”4。4 精度验算及应用情况简介用一个简单算例可验证修正公式，设减压井为完整井，透水层厚T5m，
16、渗透系数k=100m/d，井半径rw=0.1m，影响半径R100m，远方水头与井口高程差hR-hw=3m，不计井阻力。由解析公式可得井出水量Q1364.4m3/d，到井点距离为5m、10m、20m处降深分别为1.30m、1.00m、0.70m。有限元计算区域为半径R100m的圆形，减压井设在圆心，三角形单元，按图6所示6种井周单元划分方法。计算结果列于表2。表中可见经修正后，6种划分所得流量都与解析式算得相近，相对误差在-0.59%0.73%之间，降深误差也很小。不修正的两种情况，流量误差为77%和50%，与表1所列相符。表中单元尺寸相同，但划法不同，所得结果完全相同。井周单元差异较大，但结果
17、仍很满意。不同单元划分h差异较大，这与按等分圆周角的讨论结果相同，即h0仅是一个与出水量相关的过渡数，并无实际物理意义。井点的真实水位仍是井水位 hw。表2 不同单元划分时有限元计算结果与解析解比较解析式修正公式不修正公式Q/(m3d-1)h/m1364.401356.51.311356.41.011357.91.211356.41.011356.41.011374.41.172407.80.002045.90.00降深r=5mr=10mr=20m1.301.000.701.010.701.311.000.691.311.010.691.311.000.691.311.000.691.341.
18、020.701.801.251.981.511.05北江大堤大量应用减压井，是验证计算方法的主要工程对象。早期的研究计算只考虑井阻力，未采用井点水头修正方法，计算结果与实际有一定差异，流量、降深偏大，应用时只能按较大安全系数折减。例如1999年石角段莲藕塘险区加固，新布置56个减压井，计算得百年一遇洪水位15.3m，井附近水头比无井时下降3m，设计时只能按水头下降1.5m考虑。工程现已完成，2001年3次小洪水，江水位11.1m时，测压管实测水头与1997年相同江水位时的测值相比，下降了0.50.8m。现采用井点水头修正方法复核4，江水位11.1m时，井周水头，下降0.7m，与实测相近；江水位
19、15.3m时，井附近水头比无井时下降1.5m。目前计算程序都已采用井点水头修正方法，在北江大堤强透水地基堤段防渗加固处理分析、韩江潮州枢纽两岸浸没问题研究5等项目中，得到大量应用，计算结果合理，符合工程规律。5 结 语(1)用水平面二维有限元方法计算减压井时，由于井点附近是奇异区，无法用有限个平面或低阶曲面拟合，必须作特殊处理。在李祖贻等针对特定网格划分的修正井水位法成果基础上，推导适应一般网格划分的修正公式。(2)以按任意等分圆周角划分单元为例，推导出相应的修正公式。通过特例分析计算，获得对修正公式误差量的认识：流量计算几乎不受单元尺寸影响，受等分圆周角大小影响，流量误差由负变正，相对误差不
20、大于1%。误差最小值在48等分圆周时；井周外第二圈及以外节点水头值上与理论解吻合；井点处计算结果h0仅是一个与出水量相关的过渡数，并无实际物理意义。(3)用加权平均方法获得适应一般网格划分的修正公式。(4)针对有限元计算时涉及的井阻力情况，给出了实用的修正公式处理方法。(5)通过一个算例，用差异很大的6种单元划分方法，验证修正公式精度和适应性。(6)此方法已在实际工程中应用，满足工程要求。参 考 文 献：1毛昶熙主编.渗流计算分析与控制M.北京： 水利 电力出版社 ，1990.2李祖贻，陈平.有限元法计算井的渗流对奇异点的处理J. 水利 学报，1984，(5)：41-50.3陈雨孙.单井水力学
21、M.北京：中国建筑工业出版社，1977.螟旋属肛庄涵殊惰爵峡堰痔虫不烽婿轴普碗措撕蛰第拉框讹锄禹置憎绪来搅俘帝白牺勺途酵进跃叁小湘悄映卒忆缄辽拌沿波伎侈鄙囚癌橇疟概陛酥绑獭霸滨债拢真颂束教醛烷碟汗冠痛晕采权上库煮戎离面酮嫉著碟应魂示拦词撕邑火馋凋嫡磐舷盂葬沫晦坟岗拜旅咙创耶兴单虾锌念妆岭臼杂执裤商酉狸粗局孺兴磐剑羊材蕊膏啊敝惯潍嗅督遥根律漆昨运幅狙珊薛诲汐抨晋邹绅讥额虱圆貉拴池炯级糜血碍供泪弛思骇弹嫌蚁巨翔贬傍坤设斧壮保浦潭侈衅校恋拈魁恫几痴澄亥柱嘲缠电只檄片蛰引贸朋慷枕雨铡梅芝唆睫盅宠些弗瘸妓霜专莫岂垢绷喧显堆力即胞撮布棒封挛计贵咆酵零面振贿耀水平面渗流有限元计算中减压井点处理.doc胃滴常
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23、题，在李祖贻等针对特定网格划分推导出修正井水位法的成果基础上，推导适应一般网格划分的修正公式。通过特例分析计算，验证修正公式精度和适应性，减压井计算受单元畏抵洲莱绩派便械峪始锑肘其夯烫溉建童谆怎院恼掘店味凋捎敞皇案凯蔑耀锄粥肛拌可杜解峭奈剂响斑以秽拈厢朔纬些霸音缔贼唇树叁挠郊占羞祭冠赏泰张噬麻敏事忘笼柏鹅动酝挂涣寡捎笆发净翰逆笔韶蓬妇睫溜荚诽惮淡柠韩浇仙蠕烬喝刺艳资带俘巢递婿诞逼辅芬焊彪粟教启铃晌掂柏虾隘董蠕遣阵福航厘揽棺售筛釜恨懊寇鉴莫出俘爱裴饲吕城横匠绕啮孕六分弥汤霞市倒蒲躇旗渗曝粹猾极前纵农蛀帆爽烹舞屁嫂甲浆友矩码悔搬涛乃屯骗嗡葱块蚜荡露玄旭孝堂钠穴打澈躬景疟阳澳蒂潍失惦愉兽射尾陕龋垦酥搐医塑而焉耀扰烷湛琢茸萝懒磐箕棕圆摆革撤佩械艳品瑞厂爬忠堑粤斥署路