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1、第三章 恒定磁场,Steady Magnetic Field,恒定磁场基本方程分界面上的衔接条件,序,磁感应强度,磁通连续性原理安培环路定律,磁矢位及边值问题,磁位及边值问题,镜像法,电感,磁场能量与力,磁路,下 页,返 回,导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。,恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。,下 页,上 页,返 回,本章要求,深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。,掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。了解磁位及其边值问题。,熟练掌握磁场、电感
2、、能量与力的各种计算方 法。了解磁路及其计算方法。,下 页,上 页,返 回,3.1.1 安培力定律 (Amperes Force Law ),两个载流回路之间的作用力 F,3.1 磁感应强度,Magnetic Flux Density,图3.1.1 两载流回路间的相互作用力,下 页,上 页,返 回,式中， 为真空中的磁导率,磁场力 安培力,定义：磁感应强度,单位 T（Wb/m2）,下 页,上 页,返 回,力 = 受力电流 磁感应强度,毕奥沙伐定律,注：毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。,体电流,面电流,下 页,上 页,返 回,线电流,当 时，,例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强
3、度。,解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dz，,式中,下 页,上 页,返 回,图3.1.2 长直导线的磁场,例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为R的圆环， 试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B (自学)。,根据圆环电流对 P 点的对称性，,解：元电流 在 P 点产生的 为,图3.1.3 圆形载流回路,下 页,上 页,返 回,图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布,下 页,上 页,返 回,根据对称性By = 0,解：取宽度 dx 的一条无限长线电流,例 3.1.3 无限大导体平面通有面电流 , 试求磁感应强度 B 分布。,下 页,上 页,返 回,图3.1.5 无限大电流片及 B 的
4、分布,3.2 安培环路定律,表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。,3.2.1 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem ),1. 恒定磁场的散度,可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场的必要条件。,Amperes Circuital Law,进行散度运算后,图3.2.1 计算体电流的磁场,下 页,上 页,返 回,2. 磁通连续性原理,磁通：磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通,单位：Wb (韦伯),根据,有,下 页,上 页,返 回,物理意义： 穿过任意闭和面的磁通量为零。 即进入闭和面S的磁力线数与穿出闭和面S的磁力线数相等，磁力线是闭和的。 表明磁
5、感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。,直角坐标系,3. 磁感应线,磁感应线方程,图3.2.2 B 的通量,下 页,上 页,返 回,磁感应线的性质：,图3.2.3 导线位于铁板上方,图3.2.4 长直螺线管的磁场,磁感应线是闭合的曲线;,磁感应线不能相交；,磁感应强处 ，磁感应线 稠密，反之，稀疏。,闭合的磁感应线与交链 的电流成右手螺旋关系；,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,3.2.2 安培环路定律 (Aperes Circuital Law),1. 恒定磁场的旋度,在直角坐标系中,（ 毕奥沙伐定律 ）,恒定磁场是有旋场,（有电流区）,（无电流区）,旋度运算后，得到,下 页
6、,上 页,返 回,2. 真空中的安培环路定律,用斯托克斯定理,环路上的 B 仅与环路交链的电流有关吗？,真空中的安培环路定律,B 的旋度,等式两边取面积分,讨论,当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正值，否则取负；,下 页,上 页,返 回,物理意义： 磁感应强度B沿任意闭和路径l的线积分，等于穿过路径l所围面积的总电流与真空磁导率的乘积。,根据对称性,例3.2.1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度 B。,解：定性分析场分布，取安培环路与电流呈右手螺旋,下 页,上 页,返 回,图3.2.9 无限大载流导板,解： 平行平面磁场,例 3.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,故,图
7、3.2.11 安培定律示意图,安培环路定律,下 页,上 页,返 回,图3.2.10 同轴电缆,得到,得到,下 页,上 页,返 回,图3.2.12 同轴电缆的磁场分布,3. 介质的磁化（magnetization）,2）介质的磁化,无外磁场作用时，介质对外不显磁性，,1）磁偶极子 (magnetic dipole),在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，,图3.2.14 介质的磁化,下 页,上 页,返 回,转矩为 Ti=miB ，旋转方向 使磁偶极矩方向与外磁场方向一 致，对外呈现磁性，称为磁化现 象。,磁化强度（magnetization Intensity）,（A/m）,图3.2.15 磁偶极子
8、受磁 场力而转动,下 页,上 页,返 回,3） 磁化电流,体磁化电流,面磁化电流,例 3.2.3 判断磁化电流的方向。,有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用，在真空中产生的。,磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。,下 页,上 页,返 回,4） 磁偶极子与电偶极子对比,下 页,上 页,返 回,4.有磁介质时的环量与旋度,移项后,下 页,上 页,返 回,图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系,图3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？,图3.2.17 H 的分布与磁介质有关,图3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？,有磁介质存在时，重答上问
9、。,安培环路定律,思考,下 页,上 页,返 回,图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系,5. B 与 H 的关系,实验证明，在各向同性的线性磁介质中,积分式对任意曲面 S 都成立，则,恒定磁场是有旋场,6. H 的旋度,即,mr相对磁导率。, 磁化率。,下 页,上 页,返 回,3.3.1 基本方程 (Basic Equations),构成方程,恒定磁场的基本方程表示为,（磁通连续原理）,（安培环路定律）,恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡旋源。,3.3 基本方程 、 分界面衔接条件,Basic Equations and Boundary Condition,下 页,上 页,返 回,
10、F2不能表示恒定磁场。,F1可以表示恒定磁场。,解：,例 3.3.1 试判断 能否表示为一个恒定磁场？,下 页,上 页,返 回,解: 平行平面磁场，且轴对称，故,例 3.3.2 有一磁导率为 ，半径为 a 的无限长导磁圆柱 ，其轴线处有无限长的线电流 I ，圆柱外是空气，磁导率为 0 ，试求 B，H 与 M 的分布。,磁场强度,下 页,上 页,返 回,图3.2.19 磁场分布,导磁圆柱 r = 0 及 r =a 处有 磁化电流吗？两者关系如何？,下 页,上 页,返 回,图3.2.20 场量分布,3.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition),1. B 的衔接条件,B 的
11、法向分量连续,2. H 的衔接条件,H 的切向分量不连续,(K = 0时),下 页,上 页,返 回,图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件,图3.3.2 分界面上 H 的衔接条件,例.3.3.3 分析铁磁媒质与空气分界面情况。,图3.3.3 铁磁媒质与空 气分界面,解：,3. 折射定律,媒质均匀、各向同性，分界面 K=0,折射定律,表明只要 ，空气侧的B 与分界面近似垂直，铁磁媒质表面近似为等磁面。,下 页,上 页,返 回,T,解:,下 页,上 页,返 回,图3.3.4 含有 K 的分界面 衔接条件,3.4.1 磁矢位 A 的引出 （Definition Magnetic Vector Pot
12、ential A),由,磁矢位 A 也可直接从 毕奥沙伐定律 导出。,A 磁矢位 Wb/m（韦伯/米）。,3.4 磁矢位及其边值问题,Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem,下 页,上 页,返 回,3.4.2 磁矢位 A 的边值问题 （ Boundary Value Problem of A),1. 微分方程及其特解,（矢量）泊松方程,从基本方程出发,矢量运算,取库仑规范（Coulombs gauge),下 页,上 页,返 回,令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为,矢量合成后，得,在直角坐标系下， 可展开为,面电流与
13、线电流引起的磁矢位为,下 页,上 页,返 回,注意：磁矢位的方向与元电流的方向相同,2. 分界面上 A 的衔接条件,a) 围绕 P点作一矩形回路，则,当 时,下 页,上 页,返 回,图3.4.1 磁矢位 A 的衔接条件,b) 围绕 P点作一扁圆柱，则,表明 在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。,从式(1)、(2) 得,当 时，,(2),(1),下 页,上 页,返 回,图3.4.2 磁矢位 A 的衔接条件,由 有,对于平行平面场，,如长直电流、无限大平板电流产生的磁场等。,下 页,上 页,返 回,通解,3 由微分方程求 A(磁矢位的边值问题),例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=J
14、ez ，试求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B 。,解: 采用圆柱坐标系， 且,下 页,上 页,返 回,解得,通解,(3),下 页,上 页,返 回,3.4.3 磁矢位 A 的应用（Application of A ),1) 由磁矢位 A 求 B,解: 取圆柱坐标系,图3.4.3 位于坐标原点的短铜线,例3.4.1 试求载流短铜线产生的磁感应强度(r l）(自学)。,由于,下 页,上 页,返 回,根据,下 页,上 页,返 回,例3.4.2 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流 细导线产生的磁场。,解: 定性分析场分布，,磁感应强度,下 页,上 页,返 回,图3.4.4 长直载流细导线的磁场,
15、解: 由上例计算结果, 两导线在 P 点的磁矢位,例 3.4.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。,总的磁矢位,磁感应强度,下 页,上 页,返 回,图3.4.5 圆截面双线输电线,3) 在平行平面场中， 等 A 线就是磁感应线。,图3.4.6 等 A 线与 B 线关系,Wb（韦伯）,(2),下 页,上 页,返 回,2) 由磁矢位 A 计算磁通,在轴对称场中， 为等 A 线。,式（2）代入式（1）,(2),下 页,上 页,返 回,两线输电线的等A 线方程为偏心圆方程,下 页,上 页,返 回,磁位 A（安培）,3.5 磁位及其边值问题(了解),Magnetic Potential and Boun
16、dary Value Problem,3.5.1 磁位 (Definition Magnetic Potential ),等磁位面（线)方程为 常数，等磁位面（线） 与磁场强度 H 线垂直;,的多值性。,下 页,上 页,返 回,注：,没有物理意义，仅仅为了计算简化,设 B 点为参考磁位，则,推论,规定: 积分路径不得穿过磁屏障面。,图3.5.1 磁位 与积分路径的关系,下 页,上 页,返 回,在直角坐标系中,2. 分界面上的衔接条件,由,（仅适用于无电流区域）,1. 微分方程,3.5.2 磁位 的边值问题 ( Boundary Value Problem of )了解,下 页,上 页,返 回,
17、位 函 数,比较内容,引入位函数依据,位与场的关系,微分方程,位与源的关系,电位,磁位,磁矢位A,(有源或无源）,(无源）,(有源或无源）,3.5.3 磁位 、磁矢位与电位的比较 (Comparison of 、A and ）,下 页,上 页,返 回,联立求解,根据惟一性定理,由,由,3.6 镜像法,Image Method,(1),(2),图3.6.1 两种不同磁介质的镜像,下 页,上 页,返 回,空气中,铁磁中磁场强度 H2=0 吗？,例3.6.2 线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。,解：镜像电流,图3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像,思考,下 页,上 页,返 回,磁场
18、分布的特点：,解：镜像电流,例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？,图3.6.3 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像,空气中 的磁场为无铁磁物质情况下的2倍。,铁磁表面近似为等磁位面。空气中的磁感应线与其垂直。,下 页,上 页,返 回,3.7 电 感,3.7 .1 自感（Self-Inductance）,回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。,即,H（亨利）,L = 内自感 Li + 外自感 L0,Inductance,求自感的一般步骤：,图3.7.1 内磁链与外磁链,下 页,上 页,返 回,例 3.7.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。
19、,磁通,匝数,内自感,因此，,下 页,上 页,返 回,图3.7.2 同轴电缆截面,2. 外导体内自感,图3.7.3 同轴电缆,由例3.2.2 知,匝数,下 页,上 页,返 回,3. 外自感,总自感,下 页,上 页,返 回,设,总自感为,解法一,例 3.7.2 试求半径为R的两平行传输线自感。,图3.7.4 两线传输线,下 页,上 页,返 回,解法二,图3.7.5 双线传输线,下 页,上 页,返 回,3.7.2 互感（Mutual Inductance）,互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。,计算互感的一般步骤：,设,可以证明,H
20、（亨利）,下 页,上 页,返 回,图3.7.6 电流I1 产生与回路L2交链的磁链,图3.7.7 两对传输线的互感,解： 设传输线 AB 带电，求穿过 CD 回路的磁链,导线 B 作用,合成后,导线 A 作用,例 3.7.3 试求图示两对传输线的互感。,下 页,上 页,返 回, 媒质为线性；, 磁场建立无限缓慢(不考虑涡流及辐射)；, 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关。,假设：,磁场能量的推导过程,3.8.1 恒定磁场中的能量（Magnetic Energy）,3.8 磁场能量与力,Magnetic Energy and Force,下 页,上 页,返 回,由矢量恒等式,
21、3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度 ( Energy Distribution and Energy Density ),得,下 页,上 页,返 回,第一项为 0,由于,+,S,V,V,B,H,S,A,H,d,2,1,d,),(,2,1,J（焦耳）,磁能密度,磁场能量是以密度形式储存在空间中。,下 页,上 页,返 回,解: 由安培环路定律,自感,例 3.8.1 试求长度为 l , 通有电流 I 的同轴电缆储存的磁场能量与自感。,磁能,下 页,上 页,返 回,图3.8.1 同轴电缆截面,3.8.3 磁场力 ( Magnetic Field Force ),1. 安培力,解: 定性分析场分布,B
22、 板的磁场,A 板受力,例3.8.2 试求载流导板间的相互作用力。,下 页,上 页,返 回,图3.8.2 两平行导板间的磁力,2. 虚位移法（Method of False Displacement ),电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功, 常电流系统,外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提供磁场力作功。,n 个载流回路中， 当仅有一个广义坐标发生位移dg ，系统的功能守恒是,广义力,即,下 页,上 页,返 回, 常磁链系统,磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克服感应电动势的能量,广义力,取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁能，便可求得相互作用力。,
23、两种假设的结果相同，即,下 页,上 页,返 回,解：系统的相互作用能为,用矢量表示为,例 3.8.3 试求图中载流平面线圈的转矩。,选 a 为广义坐标，对应的广义力是转矩，,T 0表示转矩企图使a 减小，使该回路包围尽可能多的磁通。,下 页,上 页,返 回,图3.8.3 外磁场中的电流回路,解 ：设作用力为F，试棒沿 x 方向移动 dx，磁场能量的增量,F 0 表示磁路对试棒的作用力为吸力(沿x轴方向）, 这也是电磁阀的工作原理。,例 3.8.4 试求磁路对磁导率为m 的试棒的作用力，试棒截面积为 。,下 页,上 页,返 回,图3.8.4 磁路对磁导率为 试棒的作用力,3.9 磁 路,3.9.
24、1 磁路的基本概念 ( Basic Conception of Magnetic Circuit ),利用铁磁材料制成一定形状的回路 （ 可包括气隙），其上绕有线圈，使磁通主要集中在回路中，该回路称为磁路。,Magnetic Circuit,下 页,上 页,返 回,下 页,上 页,返 回,图3.9.1 几种常见的磁路,1. 磁路的基本物理量,磁路物理量：磁通 、磁势Fm、磁压Um 、 B、 H,电路物理量: 电流I 、电源Us 、元件电压U,Um 的降落方向与 H 方向一致,(2) 磁压 Um A（安）,(1) 磁势 Fm =Ni A（安）,Fm 的方向与电流 i 符合右手定则,用类似于电路的
25、方法进行磁路计算。,下 页,上 页,返 回,2. 磁路的基尔霍夫定律,磁路的基尔霍夫第一定律 磁通连续性原理,设磁通（即H的）参考方向，若电流与 H 方向呈右手螺旋，Fm 取正，否则取负。,如图参考方向下，,磁路的基尔霍夫第二定律 安培环路定律,如,下 页,上 页,返 回,图3.9.2 磁路定律,3. 磁路的欧姆定律,磁阻， 1/H,磁阻与磁路的几何尺寸、磁导率 有关。,下 页,上 页,返 回,图3.9.3 磁阻计算,3.9.2 线性磁路的计算 (calculation of Linear Magnetic Circuit)(了解),思路: 求,磁势,电流,磁压,下 页,上 页,返 回,图3.
26、9.4 磁压计算,3.9.3 铁磁质的磁特性,1. 两种基本的特性曲线,磁滞回线：铁磁质反复磁化时的 B-H 曲线。可确定剩磁Br，矫顽力HC，磁能积（BH）等重要参数。,基本磁化曲线: 是许多不饱和磁滞回线的正顶点的连线。,图3.9.9 基本磁化曲线,图3.9.8 磁滞曲线,下 页,上 页,返 回,硬磁材料 磁滞回线较宽 ， 充磁后剩磁大。如铁氧体 、钕铁硼 。用于永磁电机、电表、电扇，电脑存储器等器件中的永磁体。,图3.9.10 软磁材料磁滞曲线,图3.9.11 硬磁材料磁滞曲线,2. 铁磁质的分类,下 页,上 页,返 回,若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功,过程中，外源所做
27、的功,推导磁场能量表达式,（1） 从,即,下 页,返 回,（2） 不变， 从 ,若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功,不变， 从 过程中，外源所做的功,即,下 页,上 页,返 回,总磁能,上 页,返 回,矢量恒等式,故,取散度,则,推导 B 的散度,返 回,无感电阻,下 页,返 回,无感电阻,上 页,返 回,超导技术的应用,超导： 指金属、合金或其它材料的电阻在 420K 温度下变为零的性质。,高温超导： 指温度在77K以上，材料的电阻变为零 的性质。目前的Bi系，TI系等材料在液 氮温度下超导。,超导体内部没有电场。 载流能力强（约6000A/cm2）， 损耗小。,下 页,上 页
28、,返 回,超导技术应用 超导电机、超导变压器、超导限流器、超导输电、超导储能、高能加速器、核聚变装置、磁流体发电、超导磁悬浮列车、超导磁分离、核磁共振谱仪。,下 页,上 页,返 回,江泽民总书记乘坐高温超导磁悬浮实验车,下 页,上 页,返 回,世界首辆载人高温超导磁悬浮实验车,下 页,上 页,返 回,高温超导磁悬浮模拟实验车,下 页,上 页,返 回,超导线材界面图,Bi系高温超导线材图,下 页,上 页,返 回,常导磁悬浮实验,下 页,上 页,返 回,磁矢位（A）,边值问题,解析法,数值法,有限差分法,有限元法,分离变量法,镜像法,电感的计算,磁场能量及力,磁路及其计算,基本实验定律 (安培力定律）,磁感应强度（B）(毕奥沙伐定律),H 的旋度,基本方程,B 的散度,磁位( ),分界面衔接条件,下 页,上 页,返 回,Time-Varying Electromagnetic Field,第四章 时变电磁场,下 页,电磁感应定律和全电流定律,正弦电磁场,序,电磁辐射,电磁场基本方程、分界面上的衔接条件,动态位及其积分解,返 回,坡印廷定理和坡印廷矢量,