工程运动学基础.ppt

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1、第三篇 工程运动学,广 西 工 学 院,第15章 工程运动学基础,运动学（kinematics) 研究 物体在空间运动时，其几何性质随时间 的变化规律,点 刚体,轨迹运动方程 速度加速度等,参考系（体） 地球,运动学,点的合成运动,点的曲线运动,刚体运动,点的运动,刚体的平动,刚体的定轴转动,刚体的平面运动,刚体的一般运动,第15章 工程运动学基础,15-1 点的运动学,15-1-1 参考系,15-1-2 位矢、速度和加速度及其变矢量性质,参考体,参考系,15-1 点的运动学,矢量表示法 直角坐标表示法 自然表示法,雷达跟踪飞机,例子,15-1 点的运动学,1 矢量表示法,选取参考系上某一确定

2、点为坐标原点，由点向动点作矢量r， r称为动点对于原点的位置矢或矢径。当动点运动时，矢径r的大小和方向都随时间而变，即,图5-1用矢量描述点的位置和速度,它表明了动点在空间的位置随时间变化的规律。,设动点在空间作曲线运动。,运动方程,设从瞬时t到瞬时tt，动点的位置由M改变到M，其矢径分别为r和r，在t时间内，矢径的改变量r即为动点在t时间内的位移。,位移,1 矢量表示法,当t时，平均速度的极限值称为动点在瞬时t的速度，即：,动点的速度等于其矢径对于时间的一阶导数。,速度,1 矢量表示法,当t时，平均加速度的极限值称为动点在瞬时t的加速度，即,加速度,1 矢量表示法,动点的加速度等于它的速度对

3、于时间的一阶导数，也等于它的矢径对于时间的二阶导数。,如果把不同瞬时动点的速度矢量v的始端依次画在某一固定点上，这些速度矢的末端将描绘出一条连续的曲线，称为速度矢端线，如图所示。 动点的加速度方向沿着速度矢端线的切线方向。,1 矢量表示法,2 直角坐标表示法,选取一直角坐标系Oxyz，则动点的位置可用它的三个直角坐标x，y，z来确定，点运动时，三个坐标都是时间t的函数，即,x=f1(t) y=f2(t) z=f3 (t),运动方程,直角坐标与矢径坐标之间的关系,速度,2 直角坐标表示法,加速度,可见，若已知动点的运动方程，通过对时间求一阶、二阶导数，可求出动点的速度、加速度；反之，已知动点的加

4、速度和运动的初始条件，通过积分可求出动点的速度方程、运动方程和轨迹方程。,2 直角坐标表示法,半径为R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心的速度为v0(t)，,分析圆盘边缘一点M的运动，并求当M点与地面接触时的速度和加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率半径； 讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。,2 直角坐标表示法,解：1.建立坐标系0xy 取点M所在的一个最低位置为原点o，设在任意时刻t圆盘转过的角度为CAM=， 为时间t的函数，C是圆盘与轨迹的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以，,于是M点的运动方程为,2 直角坐标表示法,于是M点的运动

5、方程为,点M的速度分量为,点M的加速度分量为,2 直角坐标表示法,解： 2. 建立 和 与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系。 因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，故轮心A点作水平直线运动，所以有,将其对t求一次导数可得,2 直角坐标表示法,再对t求一次导数可得,这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的,2 直角坐标表示法,M点的速度大小为,方向由下式确定,2 直角坐标表示法,从图中的几何关系可以证明：,于是，纯滚动时轮上各点的速度如图所示。,当=0和=2时，M点与地面接触，此时M点的速度为零。,2 直角坐标表示法,当=0和=2时，,加速度可由式,求得,当M点与地面接触时，其加速度的大小不等于0， 方

6、向垂直于地面向上。该加速度是点M在此时的切向加速度，因为此时速度为0，故其法向加速度为0,2 直角坐标表示法,3. 确定M点的轨迹在最高点处的曲率半径。 由于当=时，M点的速度和加速度分别为：,M点轨迹在最高点处的切线方向与i同向；曲线向下弯曲，所以主法线方向与-j同向。于是，法向加速度的大小为：,这时M点的速度为v=2v0，于是，轨迹在最高点处的曲率半径为：,2 直角坐标表示法,4. 讨论,根据式,若v0为常矢量，则为常量，此时由式,M点加速度大小恒为：,M点加速度的方向由下式确定：,2 直角坐标表示法,这时轮缘上M点的加速度方向均指向轮心A; 此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而

7、是这两种加速度的矢量和; 若V0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。,2 直角坐标表示法,例 椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M 的轨迹方程。,已知:,2 直角坐标表示法,运 动 演 示,2 直角坐标表示法,考虑任意位置， M点的坐标 x，y可以表示成,消去上式中的角，即得M点的轨迹方程:,解:,2 直角坐标表示法,轨 迹 演 示,2 直角坐标表示法,思考题：M点的轨迹曲线如何 ？,2 直角坐标表示法,轨 迹 演 示,2 直角坐标表示法,例 在上例的椭圆规尺BC上固连一个半径是a/2的圆盘，圆心重合于A。求

8、圆盘边缘上任一点 M 的运动方程和轨迹方程，已知角=k t,其中k 是常量。,2 直角坐标表示法,运 动 演 示,2 直角坐标表示法,取固定坐标系Oxy，令MAC =2,则 M 点在Oxy中的坐标为,解:,2 直角坐标表示法,将=kt代入上式即可得到圆盘边缘上任一点M的运动方程。另外，由上式可以看出，两个坐标x，y成正比，即,故 M点的轨迹是斜率为tan并通过坐标原点的直线，上式即为其轨迹方程。,2 直角坐标表示法,轨 迹 演 示,2 直角坐标表示法,3 自然表示法,运动方程,设动点的轨迹为如图所示曲线。在曲线上选定一点为原点，则动点的位置可以由弧坐标s确定。,弧坐标s是时间t的单值连续函数，

9、可表示为,ss（t）,如图，直线MQ( 平行于MT)与MT构成一平面P，当M向M趋近时，MT不动，MT的方位则不断改变，相应地，MQ的方位也不断改变，从而平面P的方位也在变化，绕着MT不断地转动。当M无限趋近于M，平面P趋近于一极限位置P。在这极限位置的平面P称为曲线在点的密切面。,自然轴系,3 自然表示法,在法面内，过点的所有直线都是曲线在点的法线。在密切面内的法线称为主法线；与密切面垂直的法线则称为副法线。点的切线、主法线与副法线构成了一组正交轴系。,过点并垂直于切线的平面称为曲线在点的法面，如图所示。,3 自然表示法,规定：切线的正向与弧坐标的正向一致，其单位矢量用et表示；主法线的正向

10、指向曲线的凹处，其单位矢量用en表示；副法线的单位矢量用eb表示；它与et，en形成右手系，即 et en = eb 这个以et、 en 、 eb确定的正交系称为自然轴系。,注意：et、 en 、 eb的方向随着点的位置不同而改变。,3 自然表示法,速度、加速度,速度矢量可作如下变换,速度的大小,由于,3 自然表示法,速度的方向是当t0时， r的极限方向，即沿轨迹在点的切线方向，于是得到,动点的速度沿其轨迹的切线方向，其大小等于弧坐标对时间的一阶导数。,3 自然表示法,加速度,第一个分量 是由于速度大小的改变而有的，其方向沿轨迹在点的切线，称为切向加速度。,3 自然表示法,第二个分量 是由于速

11、度方向的改变而有 的，为了确定它的大小和方向，先分析,3 自然表示法,的方向显然是et的极限方向，当t0 时， et在密切面内与et垂直，指向曲线的凹侧。,这个分量是由于速度方向的变化而产生的，其方向与en的方向一致，称为法向加速度。,加速度a的第二个分量为,3 自然表示法,动点加速度表达式,动点的加速度在密切面内，等于切向加速度与法向加速度的矢量和。,3 自然表示法,销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，OA=R=0.1 m。已知摆杆的转角 （时间以s计， 以rad计），试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时的加速度。,3 自然表示法,运 动 演 示,3 自然表示法,

12、已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在A点，半径是R。选滑道上O点作为弧坐标的原点，并以OD为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标,但是，由几何关系知 ，且 ，将其代入上式，得,这就是B点的自然形式的运动方程。,解：,3 自然表示法,B点的速度在切向上的投影,B点的加速度 a 在切向的投影,而在法向的投影,3 自然表示法,当 时， ， ，又 ，,。可见， 这时B点的加速度大小,且a1沿切线的负向。,当 t1= 1 s 时， 又 可见，这时点B的加速度大小,且 a2 沿半径 B2A。,3 自然表示法,圆柱的半径为r，绕铅直固定轴 z 作匀速运动，周期为 T 秒。动点M以匀速 u 沿圆柱的一条母线NM运动（

13、如图）试求M点的轨迹、速度和加速度，并求轨迹的曲率半径。,15-1 点的运动学,运 动 演 示,15-1 点的运动学,取固定直角坐标系Oxyz如图所示。设开始时M点在M0位置，当圆柱转动时，角M0ON等于 ，故M点的运动方程为,轨迹方程为,此为螺旋线方程。,解：,1. M点的运动方程和轨迹。,15-1 点的运动学,轨 迹 演 示,15-1 点的运动学,2. M点的速度。,对运动方程求导得,速度在平面Oxy上的投影大小等于,常数,速度与圆柱母线的交角 不变。,15-1 点的运动学,速度矢端线是一个半径为r的圆周曲线，平行于Oxy面。,15-1 点的运动学,3. 点M的加速度,对速度方程求导得,因

14、az= 0，故加速度 a 垂直于 z 轴,加速度 a 的方向指向 z 轴。,15-1 点的运动学,4. 曲率半径,曲率半径,曲率半径为常数,15-1 点的运动学,15-2 刚体的简单运动,15-2-1 平移,15-2-2 定轴转动,刚体的简单运动,15-2-1 平移,刚体的简单运动,15-2-1 平移,刚体的简单运动,15-2-1 平移,刚体运动时，如其上任一直线始终保持与其初始位置平行，则称这种运动为平行移动，简称平移。,如电梯的升降运动; 在直线轨道上行驶的列车的车厢的运动等。 若平动刚体上任一点的轨迹是直线，称为直线平移；若是曲线，则称为曲线平移。,刚体的简单运动,15-2-1 平移,平

15、移实例,刚体的简单运动,15-2-1 平移,在平移刚体上任取两点A和B，并作矢量rB、rA和rBA。由于刚体作平行移动，所以 rBA的大小、方向保持不变，为一常矢量。,rA=rB+rBA,因此，在运动过程中， A、B两点的轨迹曲线形状完全相同。,刚体的简单运动,15-2-1 平移,对时间t求导数，得到,即,vA=vB ，,aA=aB,刚体平移时，体内所有各点的轨迹的形状相同，在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和相同的加速度。,既然平移刚体上各点的运动规律相同，因此，只要知道其中任一点的运动就知道整个刚体的动。,刚体的平行移动简化为一个点的运动研究。,刚体的简单运动,15-2-1 平移,荡木用两

16、条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为l，长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad，试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。,由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。,以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为,将上式对时间求导，得A点的速度,解：,刚体的简单运动,15-2-1 平移,vm,vA,am,aA,再求一次导，得A点的切向加速度,代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计

17、算结果列表如下：,A点的法向加速度,刚体的简单运动,15-2-1 平移,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,若刚体运动时，体内或其扩展部分有一直线保持不动，这种运动就称定轴转动。,运动方程、角速度和角加速度,位置角 的符号规定： 从z轴的正向朝负向看去，沿逆时针量取为正值，反之为负值。,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,角速度,角加速度,若与符号相同，则的绝对值随时间而增大，刚体作加速转动；若相反，则刚体作减速转动。,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,当刚体作定轴转动时，体内各点都在垂直于转动轴的平面内作圆周运动，圆心就在转动轴上。,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,在任

18、一瞬时，M点的切向加速度at的代数值为,M点的法向加速度an的大小为,M点的总加速度a的大小为,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,用表示a与OM（即an）之间的夹角，则,结论：在同一瞬时，刚体内各点的速度和加速度的大小与各点到转动轴的距离成正比。 在同一瞬时，刚体内所有各点的总加速度与其法向加速度的夹角相同。,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,直径MN上各点的速度和加速度的分布如图所示。,1. 齿轮传动,啮合条件,传动比,互相啮合的两齿轮的角速度（或转速）与齿数成反比。,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,两个带轮的角速度（或转速）与半径

19、成反比。,2. 带轮传动,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计，试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。,A,O,M,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度,代入 t =2 s， 得,轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为,A,O,M,解：,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,A,O,M,加速度的两个分量,总加速度 aM 的大小和方向,刚体的简单运动,15-2

20、-2 定轴转动,因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有,它们的方向铅直向下。,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,图示为一对外啮合的圆柱齿轮，分别绕固定轴O1和O2转动，两齿轮的节圆半径分别为r1和r2，已知某瞬时主动轮的角速度为1 ，角加速度为1，试求该瞬时从动轮 的角速度2和角加速度2 ，为简便起见，本例的1，2，1，2都代表绝对值。,O1,O2,M1,M2,1,2,1,2,r2,r1,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转

21、动,齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动，因而两轮的啮合点M1与M2恒具有相同的速度与切向加速度。即,或,因而从动轮的角速度和角加速度分别为,显然， 2 ，2的转向分别与1 , 1相反。,传动比为,解：,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,一、角速度与角加速度的矢量表示,当刚体加速转动时， 与同向；反之，则反向。,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,二、速度和加速度的矢积表达式,将角速度与角加速度用矢量、表示以后，转动刚体上任一点M的速度、切向加速度和法向加速度都可以用矢积来表示。,从转轴上的点O作M点的矢径r=OM，并以表示r与z轴的夹角， 点 为圆心，为半径。在转动过

22、程中，r的模不变，但其方向是不断改变的。,v =r,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,将上式代入矢量表示式 中，可得点的加速度为,方向与at一致,方向与an一致,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,刚体作定轴转动时，体内任一点的速度等于刚体的角速度矢与该点矢径的矢积；任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢与该点速度的矢积。,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,刚体以角速度绕定轴Oz转动，其上固连有动坐标系Oxyz（如图），试求由O点画出的动系轴向单位矢i，j，k 端点A，B，C的速度。,先求端点 A 的速度。设 A 点的矢径为rA ，则A点的速度为,A点是定轴转动刚体内的一点， 由式有,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,可见,但这里有,故,解：,刚体的简单运动,15-2-2 定轴转动,于是得到一组公式,它称为泊松公式。,谢 谢 大 家,15-1 点的运动学,