《【数学】《变化率问题》《导数的概念》课件(人教A版选修1-1).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学】《变化率问题》《导数的概念》课件(人教A版选修1-1).ppt（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.1.1 变化率问题,问题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是,若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么,当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,平均变化率定义:,若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则平均
2、变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2 同样f=y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,思考?,观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1,f(x2)-f(x1),直线AB的斜率,归纳概括,1 平均变化率的定义:,一般地,函数 在 区间上的平均变化率为:,=x,x2-x1,f(x2)-f(x1),=y,2 平均变化率的几何意义：,曲线 上两点 连线的斜率.,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h
3、 (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,探 究:,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。,定义:,平均变化率:,式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.,令x = x2 x1 , f = f (x2) f (x1) ,则,理解： 1，式子中x 、 f 的值可正、
4、可负，但的x值不能为0， f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， f =0 3, 变式,思考?,观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1,f(x2)-f(x1),直线AB的斜率,练习:,1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?,2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.,(1) 3 , 1 ; (2) 0 , 5 .,做两个题吧!,1 、已知函数f
5、(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率,1.1.2 导数的概念,在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求 瞬时速度呢?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线
6、在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于
7、t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,探 究:,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记
8、作,或 , 即,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:,求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值,一差、二化、三极限,题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.,题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,练习：,课后思考题：,1,2.函数f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数？若有，求出来 若没有，请说明理由.,