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1、用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数解析式,一般式：y=ax2b xc 顶点式：y=a (xh)2k 交点式：y=a (xx1)(xx2),二次函数y=ax2bxc（a0)图象性质,a0，抛物线开口向上， a0，抛物线开口向下； 对称轴为x= 顶点坐标为 与y轴的交点坐标为(0，c), 0 图象与x轴交于两点 =0 图象与x轴交于一点 0时，函数在x= 处，取得最小值 y= 当a0时，函数在x= 处，取得最大值 y=,1.一般式：y=ax2b xc,例1：已知二次函数的图象过点（1，2）、（3，5）、（-2，-6），求该函数的解析式。 分析：将三个点的坐轴代入函数的解析式，得 解出这个方程
2、组即可,2. 顶点式：y=a (xh)2k,例2：已知二次函数的图象的顶点坐标是（-4，8），且图象过点（0，3），求函数的解析式。 分析：函数的顶点坐标是（h，k)，所以h=-4，k=8，即得y=a(x+4)2+8,3. 交点式： y=a (xx1)(xx2),例3：已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是3，-2，且与y轴交点的纵坐标是7，求该二次函数的解析式。 分析：由题意得： x1=3， x2=-2代入函数解式为y=a(x3)(x+2)，再将x=0，y=7代入前式即可解出a值 结果：,2、抛物线y=x22x3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最_值 = ,与x轴交点 ,与y
3、轴交点 。,1、二次函数y=0.5x2-x-3写成y=a(x-h)2+k的形式后,h=_,k=_,一、复习：,3、二次函数y=x22xk的最小值为5，则解析式为 。,4、已知抛物线y=x2+4x+c的的顶点在x轴上，求c的值？,二、用待定系数法求抛物线解析式,例3、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8),求这个函数的解析式。,(2)抛物线顶点为M(1,2)且过点N(2,1),根据下列已知条件，求二次函数的解析式：,(1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5),(3)抛物线过原点，且过点(3,27),(4)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。,(5
4、)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0）， 最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式,综合例题：,例1：已知二次函函数图像经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴的交点C，且三角形ABC的面积为6,例2：当x=-1，y有最大值4，抛物线与x轴的交点的横坐标为x1 ， x2 ，且x12+x22=10,练习： 1、已知二次函数的图像经过点A（-1，12），B（2，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）用配方法把由（1）得到的解析式化为的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）求抛物线与x轴的两个交点C，D的坐标及三角形ACD的面积 2、已知的图像与x轴只有一个公共交点
5、(-1，0)，要求至少用三种方法求p，q的值,小结：,在选用二次函数的解析式时应根据实际条件进行选用，它们一般满足以下规律：,一般式： y=ax2b xc 已知三点坐标或三对x，y值时,顶点式：y=a (xh)2k 已知顶点坐标或对称轴与函数最大（小）值时,交点式：y=a (xx1)(xx2) 已知图象与x轴交点的坐标,二次函数复习,一、复习：,2、抛物线 的顶点是(2,3)， 则m= ,n= ;当x 时,y随x的增大而增大。,3、已知二次函数 的最小值 为1，则m= 。,1、抛物线y=x2+2x 3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最_值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。,5、
6、已知一个二次函数的图象经过(1,10)， (1,4),(2,7)三点, 求这个函数的解析式。,6、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,8)，求它的解析式。,4、m为 时，抛物线 的顶点在x轴上。,二、判断正负性,a+b+c 0,ab+c 0,b2-4ac 0,练习：判断下列抛物线中a,b,c的符号,练习：抛物线yax2bxc的顶点在第一象限，且与x轴交于点A，且与y轴交于点C，点C在线段OB上。点A、B的坐标为(1，0), (0，1)。试确定下列代数式的符号？,(1)a，（2）b，（3）c，,（4）abc,（5）abc,（6）ab1,例2、已知抛物线 与x轴交于A、
7、B两点，且点A在B的右侧，顶点为C， （1）求A、B、C的坐标； （2）求SCAB,抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的两个根，因而可将函数知识与方程中根的判别式、根与系数的关系联系起来。,三、抛物线与x轴的交点问题,令y=0，则,对于函数,练习：抛物线 与x轴的关系是 。,则A( )，B( ）,若抛物线与x轴有两个交点A、B,因此AB=,已知抛物线 在x轴上 截得的线段长是6，求a的值。,二次函数复习2,25,例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是抛物线，求m的值及函数解析式.,解：由题意得 m+1=2,想一想,-m0,m=1,解析式为：y= -x2+2x+3,二次函数定
8、义： 如果y=ax2+bx+c(a 0，a、b、c是常数)，那么y叫做x的二次函数,特殊形式： y=ax2(a 0，b=c=0) y=ax2+c(a 0， b=0 ，c 0 ,) y=ax2+bx(a 0，b 0 ,c=0),小结,x,0,y,x,0,y,0,y,y=ax2,y=ax2+c,y=ax2+bx,与x 轴的交点：y=0, -x2+2x+3=0， x1=3,x2= _1 A (3,0),B(_1,0),与y轴的交点：x=0, y=3, C(0,3),x,y,0,1,x=1,M(1,4),3,A,-1,B,3,C,1、画出y= -x2+2x+3的图象，并分析它的性质,H, y= _（x
9、2_2x）+3 = _（x2_2x+1）+3+1 = _（x_1)2+4 对称轴是直线x=1 顶点坐标是M（1，4）,29,a= 10，开口向下 当x=1时，y有最大值4,分析与讨论,x,y,M(1,4),x=1,0,1,x1,y1,(x1 ,y1),(x2,y2),x2,y2,-1,3,3,当x 1时，y随x的增大而增大，当x1时， y随 x增大而减小,面积：SABC=ABOC/2 =43/2=6,SABM=ABMH/2 =44/2=8,x,0,1,x=1,M(1,4),3,A,-1,B,3,C,H,从图象上观察：当x为何值时，y=0?y0?y0?,y= _（x_1)2 y= -x2 y=
10、_（x_1)2+4 y= -x2+4,x,y,M(1,4),x=1,0,1,-1,3,3,当x=1或3时，y=0； 当10 ； 当x3 或x1时，y0,平移: y= x2+2x+3 = （x_1)2+4 ,y= -x2+2x+3,小结：二次函数y=ax2+bx+c(a 0）性质,开口方向由a决定，a0，开口向上； a0，开口向下。 对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标（ -b/2a，4ac-b2/4a)。图象是抛物线。 当a 0，y有最小值是4ac-b2/4a 。 当x -b/2a时，y随x的增大而减小， 当x -b/2a时，y随x的增大而增大 当a 0，y有最大值是4ac-b2/4a 当x
11、-b/2a时，y随x的增大而增大， 当x -b/2a时，y随x的增大而减小,33,(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点C除外），使ABP面积等于ABC面积?,解：假设存在满足条件的点P， 则作PQx轴 SABp = SABC, ABPQ/2= ABOC/2, PQ=CO=3, |y|=3，, 3= -x2+2x+3, x1=0,x2=2 。 p(2,3),或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0 x=17，p(1+7,-3),p(1-7 ,-3),x,y,0,3,B,-1,C,3,P,Q,拓展,A,(2)二次函数y= -x2+2x+3的顶点为M，当M在对称轴上移动时，
12、抛物线与 x轴有两个交点E(x1,0),F(x2,0)(x1x2),y,0,1,x=1,M(1,4),3,A,-1,B,3,C,问点M移动到什么位置时，EF=6?,x,解：设M(1,k)， 设抛物线解析式为 y=-(x-1)2+k=-x2+2x+k-1，,y,0,1,x=1,F,E,M(1,k),H,抛物线是轴对称图形，ME=MF , 当MEF=60时， MEF是等边三角形。,tanMEF=MH/EH，,EF=/lal=2k，EH=k tan 60=k/k，k=3，M(1,3),MEF是等边三角形？,x,60,M(1,4),y= -x2+2x+3,y= -（x-1）2+k, MEF是直角三角形
13、？,y,0,1,x=1,F,E,M(1,k),H,x,y= -x2+2x+3,M(1,4),小结：,1、二次函数的定义,2、二次函数的性质,3、数学思想方法的应用，如数形结合、分类讨论、运动变化等,（1）如果一个二次函数经过y= -x2+2x+3与x轴的两个交点A、B，它与y轴的交点为C，,x,y,0,A,3,-1,B,C,当ABC是直角三角形时，求它的解析式。,分析：OC2=OBOA=3，OC=3，C(0, 3)或C(0, -3)。,再由A（3，0），B（-1，0），C(0, 3)或C(0, -3)确定解析式。,C,思考,（2）二次函数y= -x2+2x+3与x轴的交点为A(3，0)，B(-
14、1，0),是否存在过A、B 两点且与y轴相切的圆？若不存在，说明理由。若存在，求出圆心坐标和半径。,y,0,1,x=1,M(1,4),3,A,B,3,C,-1,x,（3）若二次函数变为y= -x2+3x-2，情况怎样？即设它与x轴的交点是A、B,否存在过A、B 两点且与y轴相切的圆？若不存在，说明理由。若存在，求出圆心坐标和半径。,x,y,0,1,2,A,B,C,X=1.5,P,答案：P(1.5,2),半径1.5。,C,P,或P(1.5,-2),半径1.5,设二次函数 y= -x2+3x-2与y轴交于G点，则过A、B、G可确定一个圆，说明此圆与抛物线有没有除A、B、G以外的第四个公共点，若有，求出点的坐标，若没有，说明理由。,好心情,