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1、4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3 控制系统根轨迹绘制示例 4.4 基于根轨迹法的系统性能分析,第4章 线性系统的根轨迹分析法,4.1.1 根轨迹概念 4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件 4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点,4.1 根轨迹的基本概念,由时域分析法可知，系统的输出响应很大程度上取决于闭环特征方程式的根（特征根），即闭环传递函数的极点。当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之发生变化，系统的性能也跟着发生变化。,根轨迹的意义,对于高阶系统来说，手工求解闭环特征方程的根较为困难。尤其是当系统的参数（比如开环增益，开环零点和开环极点等）发生变化时，闭环特
2、征根需要重复计算，而且不能看出系统参数变化对闭环特征根分布的影响趋势。,控制系统的设计者通常希望借助某种较为简单的分析方法，当已知的开环系统某个参数发生变化时，可以很明确地看出闭环特征根的变化趋势。,4.1.1 根轨迹的基本概念,W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零、极点确定闭环极点的图解方法根轨迹法。,其基本思路：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根据系统的开环零点和极点，借助若干条绘图准则，绘制出闭环特征根变化的轨迹，简称根轨迹。,利用根轨迹法可以： 分析闭环系统的稳定性 计算（或估算）闭环系统的瞬态和稳态性能指标 确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响 对闭环系统进行校正,例4
3、.1.1 考虑如下图所示的位置控制系统。电动机产生与误差信号E(s)成正比的扭矩T(s)，即T(s)=AE(s)，系统负载包括电动机的负载惯量J和粘性阻尼B。试讨论当放大系数A从零变化到无穷大时，该位置控制系统闭环极点的变化情况，并分析系统的时间响应。,举例说明根轨迹的概念。,解： 画出位置系统的方块图，这是一个单位负反馈控制系统。,系统的闭环传递函数为:,分析： 当kg=0时，两个闭环极点是s1=0和s22，为系统的开环极点。 当kg=1时，两个闭环极点是s1,2=-1，为重极点。 当01时，闭环极点为一对共轭复数。其实部为-1，说明s1,2位于过(-1，j0)点，且平行于虚轴的直线上。,表
4、.1 部分闭环极点的位置,将上述数据标在s平面上，并将它们连成曲线，如下图粗线所示。图中，曲线有两个分支，分别表示了当kg从零到无穷大变化时，系统两个闭环极点（特征根）变化的轨迹，即根轨迹。,图中画出了当kg=2时的阻尼角b=45o，这时系统的阻尼系数z为0.707，对应的闭环极点为s1,2=-1j1。,根据根轨迹分析系统的单位阶跃响应：,当01时，系统闭环特征根是共轭复数，假设为sjwd。表明该系统是欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应是衰减振荡曲线。,阻尼角增加，阻尼比减小。表明闭环系统瞬态响应的超调量增加。 阻尼振荡频率wd增加。 wd值是复数特征根的虚部，描述了瞬态响应的振荡频率。 当wd增
5、加时，系统的振荡加剧。,根据根轨迹分析，当kg增加时，欠阻尼系统(kg1)的性能指标变化：,共轭复数特征根的实部s不变，等于常数。说明系统的调整时间基本不变。 特征根的轨迹是一条垂直线，在该垂线上，特征根的实部s=-zwn是常数，且位于s左半平面。这就意味着对于该二阶位置控制系统，不管增益kg如何增加，系统总是稳定的。,若kg0，闭环特征根只有实数根，特征根的轨迹全部位于实轴上，区间为 ， 。可见对于kg为负数的情况，总是有一部分特征根在s平面的右半平面，在这种情况下，系统是不稳定的。,根轨迹定义:控制系统的某一参数由零到无穷大变化时，闭环系统的特征根（闭环极点）在s平面上形成的轨迹。,在根轨
6、迹图中，根轨迹用粗实线表示，根轨迹上的箭头表示参变量增加的方向，开环零点和极点在图中分别用“”和“”表示， “ ”表示根轨迹上的点。,有必要寻找一种简单的方法获得系统的根轨迹： 利用伊文斯图解法(手工画法)获得系统根轨迹是一种很实用的工程方法。 使用计算机辅助计算软件，比如MATLAB软件，获得系统的根轨迹。,闭环传递函数为：,开环传递函数为：,将 写成开环零、极点形式 得：,根轨迹的幅值和相角条件:,4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件,闭环传递函数的极点就是闭环特征方程： 的根。,绘制根轨迹图的基本方法是根据系统的开环零点、极点以及根轨迹增益kg来获得系统闭环极点的轨迹 。,当根轨迹增益kg
7、从零到无穷大变化时，满足上式的对应于所有kg的s值，就是闭环传递函数的极点。把这些闭环极点在平面s上按顺序连接起来，就是闭环系统的根轨迹。,上述两式称为满足根轨迹方程(kg=0)的幅值条件和相角条件。,当根轨迹增益kg=0时：,根轨迹方程可写为：,即：,4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件,上述两式称为满足根轨迹方程(kg0)的幅值条件和相角条件。,当根轨迹增益kg0时：,根轨迹方程可写为：,即：,说明： 根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨迹和等相角根轨迹。 等幅值根轨迹与等相角根轨迹是正交的。 每一个交点表示了相应的根轨迹增益对应的闭环特征根。 绘制根轨迹时，一般先用相角条件绘
8、制出等相角根轨迹图，然后利用幅值条件计算出根轨迹上各点对应的值，并标在该点的旁边。,根轨迹的两种类型： 180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg=0)的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg0)的点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。,这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=变化时，根据根轨迹应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨迹和根轨迹上各点对应的kg值。,利用试探法确定根轨迹上的点:,由于根轨迹上的点满足相角条件，所以可利用相角条件来判断s平面上的点是否在根轨迹上。,以例4.1.1为例：,假设s平面上有任意点A，如右图所示。记-p1指向点A的向量为s，-p2指向点A的向量为s+2，向量s和s+2的相角分别为FA1和FA2，假设kg=0，则开环传递函数的相角为:,4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点,利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg,上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：,根轨迹概念与定义 根轨迹方程 根轨迹的幅值条件和相角条件 180度和0度等相角根轨迹，等幅值根轨迹 相角条件和幅值条件的使用 用解析法画根轨迹的方法,4.1.4 本节小结,