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1、（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试） 二次函数知识讲解一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx1）（xx
2、2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（，）对于y=a（xh）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，最值为，（k0时为最小值，k0）个单位得到函数y=ax2k，将y=ax2沿着x轴（右“”，左“”）平移h（h0）个单位得到y=a（xh）2在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）在画二次函数的
3、图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a0时，开口向上，在对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（，）为最低点；当a0时，开口向下，在对称轴x=的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（，）为最高点a的大小决定了开口的宽窄，a越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，a越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，
4、对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c0时，与y轴交于正半轴；c0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出例题解析 例1 （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. OCBA 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为
5、：y=ax2+bx+c。直线交轴于A点，交轴于B点，来源:Z+xx+k.ComA点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.又抛物线经过A、B、C三点，解得：，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3（2）y=-x2+2x+3= ，该抛物线的对称轴为x=1设Q点坐标为（1，m），则，又.当AB=AQ时， ，解得：，Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时，解得：，Q点坐标为（1，0）或（1，6）；当AQ=BQ时，解得：，Q点坐标为（1，1）抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使ABQ是等腰三角形 例2（2011湖北荆州，22，9分）（本题满分9
6、分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴是，B（4,2），一次函数的图象平分它的面积，关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.第22题图【答案】 解：过B作BEAD于E，连结OB、CE交于 点P， P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.P为OB的中点，而B（4，2）P点坐标为（2，1）在RtODC与RtEAB中，OCBE，ABCDRtODCRtEAB（HL），SODCSEBA过点（0，-1）与P（2，1）的直线即可平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-12k-1=1，k=1又的图象与坐标轴只有两个交点，故当m0时，y-x+1,其图象
7、与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）当m0时，函数的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1）若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=，此时（3m+1）2-4m(2m+1)=0抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意. 若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也合题意，此时（3m+1）2-4m(2m+1)=0解之得：m1=m2=-1综上所述，m的值为m=0或或-1. 例3 已知关于x的二次函数y=x2mx+与y=x2mx，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点 （1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点； （2）若A点坐标为（1，0），试求B点坐标； （3）在（2
8、）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？ 【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2mx+ 由于b24ac=（m）41=m220， 所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2mx （2）将A（1，0）代入y=x2mx 得1+m=0 整理，得m22m=0 解得m=0或m=2 当m=0时，y=x21令y=0，得x21=0 解这个方程，得x1=1，x2=1 此时，点B的坐标是B（1，0） 当m=2时，y=x22x3令y=0，得x22x3=0 解这个方程，得x1=1，x2=3 此时，点B的坐标是B（3，0） （3）当m=0
9、时，二次函数为y=x21，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x0时，函数值y随x的增大而减小 当m=2时，二次函数为y=x22x3=（x1）24，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x0时y值随x值增大而减小的是（ ）Ay = x2 By = x C y = xDy = 【答案】D3. （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）A0B1C2D34. （2011山东德州6,3分）已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是第6题图yx11O（A）yx1-1O（B）yx-1-1O（C）1-1xyO（D）【答案】D5
10、. （2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是 Aab=1 B ab=1 C b2a D ac0 B b0 C c0 D abc0【答案】D11. （2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y2x28x6的图形，则此图为何？ 【答案】A12. （2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程式的两根，下列叙述何者正确？A两根相异，且均为正根 B两根相异，且只有一个正根 C两根相同，且为正根 D两根相同，且为负根【答案】A13. （2011台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上
11、二次函数的图形，且此图形通（1 , 1）、（2 ,1）两点下列关于此二次函数的叙述，何者正确？A y的最大值小于0 B当x0时，y的值大于1C当x1时，y的值大于1 D当x3时，y的值小于0【答案】14. （2011甘肃兰州，5，4分）抛物线的顶点坐标是A（1，0）B（1，0）C（2，1）D（2，1）【答案】A15. （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0。你认为其中错误的有A2个B3个C4个D1个xy-11O1【答案】D16. （2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数yax2bxc（a
12、0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）Aa0 B当x1时，y随x的增大而增大Cc0 D3是方程ax2bxc0的一个根【答案】D17. （2011山东济宁，8，3分）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：x01234y41014点A（，）、B（，）在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是A B C D 【答案】B18. （2011山东聊城，9，3分）下列四个函数图象中，当xl Cl Dl来源:Zxxk.Com【答案】C 21. （2011上海，4，4分）抛物线y(x2)23的顶点坐标是（ ）(A) （2，3）； (B) （2，3）； (C) （2，3）； (D) （2，
13、3） 【答案】D22. （2011四川乐山5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 A B C D【答案】A23. （2011四川凉山州，12，4分）二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）第12题OxyOyxAOyxBOyxDOyxC【答案】B24. （2011安徽芜湖，10,4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 【答案】D25. （2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )Ay = (x 2)2 + 1 By = (x +
14、 2)2 + 1 Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 3【答案】C26. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 1 Bx 1 C0 x 1 D1 x 0,0 B. 0,0 C.0 D.0,0答案【B 】 32. （2011安徽芜湖，10，4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）.【答案】D33. （2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：ac0；a+b=0；4a
15、cb2=4a；a+b+c0.其中正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C34. （2011湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是【答案】C35.二、填空题1. （2011浙江省舟山，15，4分）如图，已知二次函数的图象经过点（1，0），（1，2），当随的增大而增大时，的取值范围是 （第15题）（1,-2）-1【答案】2. （2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 yax2bxc（a0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；a-2b+c0其中正确的命题是 （只要求填写正确
16、命题的序号）【答案】3. （2011 浙江杭州，23， 10)设函数 (k为实数)(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数K，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负实数k，当x0时，y随x的增大而减小.这个函数解析式为_（写出一个即可）【答案】如：等，写出一个即可. 10（ 2011重庆江津， 18，4分）将抛物线y=x22x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_.【答案】y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+2711. （2011江苏淮安，14，3分）
17、抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是 . 【答案】（1，-4）12. （2011贵州贵阳，14，4分）写出一个开口向下的二次函数的表达式_ 【答案】y=-x2+2x+113. （2011广东茂名，15，3分）给出下列命题：命题1点(1，1)是双曲线与抛物线的一个交点命题2点(1，2)是双曲线与抛物线的一个交 点命题3点(1，3)是双曲线与抛物线的一个交点请你观察上面的命题,猜想出命题(是正整数): 【答案】点(1，n)是双曲线与抛物线的一个交点 14. （2011山东枣庄，18，4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x21012y来源: 04664来源:学+科+网从上表可知，下列
18、说法中正确的是 （填写序号）抛物线与轴的一个交点为（3,0）； 函数的最大值为6；抛物线的对称轴是； 在对称轴左侧，随增大而增大【答案】15. 三、解答题1. （2011广东东莞，15，6分）已知抛物线与x轴有交点 (1)求c的取值范围；(2)试确定直线ycx+l经过的象限，并说明理由【答案】（1）抛物线与x轴没有交点0，即12c0解得c(2)c直线y=x1随x的增大而增大，b=1直线y=x1经过第一、二、三象限2. （ 2011重庆江津， 25，10分）已知双曲线与抛物线y=zx2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角
19、坐标系中描出点A、点B、点C,并求出ABC的面积,A(2,3)yx11o第25题图-1-1B(2,3)C(-2,-3)yx11o第25题图-1-1 21世纪教育网来源: 【答案】(1)把点A(2,3)代入得 ：k=6 反比例函数的解析式为： 把点B(m,2)、C(3,n)分别代入得： m=3,n=-2 把A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入y=ax2+bx+c得： 解之得 抛物线的解析式为：y=-(2)描点画图SABC=(1+6)5-11-64=53. （2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2bx3的图像经过点P（2,5）（1）求b的值，并写出当1x3时y的取值
20、范围；（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得5= （2）22b3，解得b=2.当1x3时y的取值范围为4y0.（2）m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+1221，不能成为三角形的三边长当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m22m3、m24、m22m3，由于， m22m3m24m22m3，（m2）280
21、，当m不小于5时成立，即y1y2y3成立所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，4. （2011广东汕头，15，6分）已知抛物线与x轴有交点 (1)求c的取值范围；(2)试确定直线ycx+l经过的象限，并说明理由【答案】（1）抛物线与x轴没有交点0，即12c0解得c(2)c直线y=x1随x的增大而增大，b=1直线y=x1经过第一、二、三象限5. （2011湖南怀化，22，10分）已知：关于x的方程（1） 当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；（2） 求证：a取任何实数时，方程总有实数根.【答案】(1)解：二次函数的对称轴是x=-2 解得a=-1经检验
22、a=-1是原分式方程的解.所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1； 2）当a0时，原方程为一元二次方程，当方程总有实数根，整理得，a0时 总成立所以a取任何实数时，方程总有实数根.21世纪教育网6. (2011江苏南京，24，7分)（7分）已知函数y=mx26x1（m是常数）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值【答案】解：当x=0时，所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）当时，函数的图象与轴只有一个交点；当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程
23、有两个相等的实数根，所以， 综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或910（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,如图，设它的顶点为B(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C上求点P，使得EFP是以EF为直角边的直角三角形. 【答案】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明=0，m=2（2）抛物线的解析式是y=x-2x+1,A（0，1），B（1，0）AOB是等腰直角三角形
24、，又ACOB,BAC=OAB=45A，C是对称点，AB=BC，ABC是等腰直角三角形。（3）平移后解析式为y=x-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=x+b把E点和F点分别代入可得b=或-3，y=x+或y=x-3列方程得解方程x1=-1,x2=, x1 是E点坐标舍去，把x2=代入得y=,P1（，）同理易得x1 = 0舍去，x2= 代入y=-,P2(,-)11. （2011贵州贵阳，21，10分）如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B
25、，且与y轴交于点C（1）求m的值；（3分）（2）求点B的坐标；（3分） （3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x0，y0），使SABD=SABC，求点D的坐标（4分）（第21题图）【答案】解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得-32+23+m=0解得，m=3（2）二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得-x2+2x+3=0解得x=3或x=-1点B的坐标为（-1，0）（3）SABD=SABC，点D在第一象限，点C、D关于二次函数对称轴对称由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（2，3）12. （2011广东省，15，6分）已知抛物线与x
26、轴有交点 (1)求c的取值范围；(2)试确定直线ycx+l经过的象限，并说明理由【答案】（1）抛物线与x轴没有交点0，即12c0解得c(2)c直线y=x1随x的增大而增大，b=1直线y=x1经过第一、二、三象限13. （2011广东肇庆，25，10分）已知抛物线（0）与轴交于、两点（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与轴交于点，若D是直角三角形，求D的面积【答案】（1）证明：0 抛物线的对称轴在轴的左侧 （2）解：设抛物线与轴交点坐标为A（，0），B（，0），则， ， 与异号 又 由（1）知：抛物线的对称轴在轴的左侧， , 代入得：即，
27、从而，解得： 抛物线的解析式是 （3）解法一：当时， 抛物线与轴交点坐标为（0，）D是直角三角形，且只能有ACBC，又OCAB，CAB 90 ABC，BCO 90 ABC，CAB BCORtAOCRtCOB， ，即 即 解得： 21世纪教育网此时 ，点的坐标为（0，1）OC1又 0， 即AB D的面积ABOC1解法二：略解: 当时， 点（0，）D是直角三角形 解得： 14. （2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数y = - x2 - x + .（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y 0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移
28、后图象所对应的函数关系式【答案】（1）画图(如图)； （2）当y 0时，x的取值范围是x-3或x1； （3）平移后图象所对应的函数关系式为y=- （x-2）2+2（或写成y=- x2+2x）.15. (20011江苏镇江,24,7分)如图,在ABO中,已知点A(,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例y=-x的图象是直线l,直线ACx轴交直线l于点C.(1)C点坐标为_;(2)以点O为旋转中心,将ABO顺时针旋转角a(0a180),使得点B落在直线l上的对应点为,点A的对应点为,得到.a=_;画出;(3)写出所有满足DOCAOB的点D的坐标.【答案】解：（1）C点坐标为（-3，3）；（2
29、）=90略 （3）(9,-), (,-9).16. （2011广东中山，15,6分）已知抛物线与x轴有两个不同的交点来源: (1)求c的取值范围；(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值【解】（1）抛物线与x轴有两个不同的交点0，即12c0解得c(2)设抛物线与x轴的两交点的横坐标为，两交点间的距离为2， 由题意，得解得c=即c的值为017. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值第2
30、7题图【答案】（1）点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上， (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得b =抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2, C（0，-2），OC = 2。当y = 0时， x2-x-2 = 0， x1 = -1, x2 = 4, B (4,0)OA = 1, OB = 4, AB = 5.AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,AC2 +BC2 = AB2. AB
31、C是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.EDy轴, OCM=EDM,COM=DEMCOMDEM. ，m =解法二：设直线CD的解析式为y = kx + n ,则，解得n = 2, . .当y = 0时， ， . .18. （2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m0.（1）求点E、F的坐标（
32、用含m的式子表示）；（5分）（2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）（3）如图（2），设抛物线y=a(xm6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM=90，求a、h、m的值. （5分）【答案】解：（1）四边形ABCD是矩形，AD=BC=10，AB=CD=8，D=DCB=ABC=90.由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.在RtABF中，BF=.FC=4.在RtECF中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.CE=8-x=3.B（m，0）,E(m+10,3),F（m+6,0）.（2）分三种情形讨论：若AO=AF，ABOF，OB=BF=6.m=6.若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.若AO=OF，在RtAOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，（m+6）2= m2+64，解得m=.综合得m=6或4或.（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).依题意，得，解得M（m+6，1）.设对称轴交AD于G.G（m+6,8），AG=6，GM=8（1）=9.