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1、PLAY,第一节 正态分布的密度函数,第四章 正态分布,第二节 正态分布的数字特征,第三节 正态分布的线性性质,第四节 二维正态分布,第五节 中心极限定理,正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究 最多的分布之一,它在概率统计中占有特别重要的地 位.比如,考察一群人的身高,个体的身高作为一个随 机变量,其取值特点是:在平均身高附近的人较多,特 别高和特别矮的人较少.一个班的一次考试成绩、测 量误差等均有类似的特征.高斯在研究误差理论时曾 用它来刻画误差,因此很多文献中亦称之为高斯分布. 进一步的理论研究表明,一个变量如果受到大量 独立的因素的影响(无主导因素),则它一般服从正态 分布,这是
2、中心极限定理探讨的问题.,第一节 正态分布的密度函数,式中 为实数, 0 .则称X服从参数为 ,2的正态分 布,亦称高斯分布.记为N(, 2).可表为XN(, 2). 图象见右上角,若随机变量X的密度函数为,一. 一般正态分布,1. 定义,(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称 f()maxf(x),正态分布有两个特性：,(2) 的大小直接影响概率的分布 越大,曲线越平坦; 越小，曲线越陡峻. 正态分布也称为 高斯(Gauss)分布,二. 标准正态分布,参数0，21的正态分布称为标准正态 分布，记作XN(0, 1)。,其密度函数为,分布函数为,(1) (0)=0.5 (2) (+)1； (
3、3) (x)1 (x).,x,一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表供读者查阅 (x)的值.(P328附表1)如,若 XN（0,1),(0.5)=0.6915, P1.32X2.43 =(2.43)-(1.32)=0.99250.9066,(一) 一般正态分布N(, 2),正态分布的数字特征,(二)标准正态分布N(0, 1),若XN(,2),0,则有,三. 一般正态分布概率的计算,一般地,有,例2. 设 XN(,2),求P-3X+3,本题结果称为3原则.在工程应用中,通常认为P|X|3 1，忽略|X|3的值.如在质量控制中,常用标准指标值3作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出
4、警报,表明生产出现异常.,随机变量 标准化,例5 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分布(100,152),某仪器上装有3个这种元件,三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故,则YB(3,p),其中,一. 一般正态分布N(, 2),第二节 正态分布的数字特征,二. 标准正态分布N(0, 1),例2 设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),为什么?,习作题 1.设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望,2 设随
5、机变量,相互独立,且均服从,分布,求随机变量,的数学期望,答:,答:,1. 设随机变量XB（12,0.5),Y N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y 的方差与协方差.,2. 某单位招聘2500人,按考试成绩从高分到低分依 次录用,共有10000人报名.假定报名者的考试成绩X 服从正态分布 现已知90分以上有359人, 60分以下的有1151人,求被录用者中的最低分数.,作业题,解： Y=ax+b关于x严单,反函数为,例1 设随机变量X服从标准正态分布,求随机变量 Y=aX+b的密度函数,且有,第三节 正态分布的线性性质,一. 线性性质,直接由Y的密度函
6、数,可观察到Y的数学期望与方差,定理1 设随机变量X 服从正态分布N(, 2),则X的线性 函数 也服从正态分布,且有,例2 已知XN(,2),求,解,的概率密度,关于x严格单调,反函数为,故,你能用正态分布的线性性质求解吗?,二. 正态分布的可加性,定理3 设随机变量X1, X2，., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,.,n, 则,定理2 设随机变量X1,X2 相互独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,2, 则,例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布.,例2. 设随机变量X与Y独立,且X N(1,2),YN(0
7、,1). 求证:(1)Z=2X-Y+3的密度函数;(2)P2Z8.,其中，1、2为实数，10、20、| |1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的 二维正态分布，可记为,一. 密度函数 若随机变量(X,Y)的密度函数为,第四节 二维正态分布,二、边缘密度函数,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X, Y)f(x,y),(x,y)R2,则称,为(X,Y)关于X的边缘密度函数； 同理,称,易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数fX(x)是 N(1, 12)的密度函数,而fX(x)是N(2, 22)的密度函数,即 二维正态分布的边缘分布也是正态分布.,可见,若（X,，Y
8、）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,例 设(X,Y)服从N(1, 0, 32, 42, -0.5)分布， Z=X/3+Y/2 1)求E(Z) , D(Z) ;2)求X与Z的相关系数 3)问X与Z是否相互独立？为什么？,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有,则称Xn依分布收敛于X. 可记为,一. 依分布收敛,第五节 中心极限定理,二.几个常用的中心极限定理,1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设Xn为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk= 2 ，k=1, 2, , 则
9、Xn满足中心极限定理。 根据上述定理，当n充分大时,或者,例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？,解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则 X1,X100独立同分布.,由中心极限定理,设随机变量n(n=1, 2, .)服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则,2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace),证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由中心极限定理,结论得证,例3 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险,每 人每年付12元保险费.在一年内一个人死亡的概率为 0.6%,死亡时其家属可向保
10、险公司领得1000元,问: (1)保险公司亏本的概率有多大? (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于 60000元,赔偿金至多可设为多少?,解 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中n= 10000,p=0.6%,设Y表示保险公司一年的利 润, Y=1000012-1000X 于是由中心极限定理 (1)PY0=P1000012-1000X0 =1PX1201 (7.75)=0;,例4.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,解: 设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则,令,查表得,