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1、14.2.2异面直线所成角,习题课,预备知识,角的知识,正弦定理a=2RsinA a=2RsinA,S,ABC,=,bc sinA,余弦定理,A,B,C,b,c,a,cosA=,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。,2.方法：,3.步骤：,求异面直线所成的角：,作（找）, 证, 点, 算,1.数学思想：,1、在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？,M,N,巩固练习:,2、在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线A1
2、M和D1N所成的角？,M,巩固练习:,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M,解：,为什么？,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,解法二：,在A1C1E中，,由余弦定理得,A1C1与BD1所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的长方体B1F，,例2A为正三角形BCD所在平面外一点，
3、且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。,G,解：连结DF，取DF的中点G，连结EG， CG，又E是AD的中点，故EG/AF， 所以GEC（或其补角）是异面直线 AF、CE所成的角。,异面直线AF、CE所成角的余弦值是,例2A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。,P,另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点， AP/EC。,故PAF(或其补角)为异面直 线AF、CE所成的角。,异面直线A
4、F、CE所成角的余弦值是,练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。,假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知 其平面为PBC,这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾,练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。,为EF与PC所成的角或其补角,EF与PC所成的角为,练习1：如图，P为ABC所在平面外
5、一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。,练习2如图，a、b为异面直线，直线a上的线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数,a,b,A,D,C,B,F,E,例2、在三棱锥A-BCD中AD=BC=2a，E，F分别是AB，CD的中点EF= ，求AD和BC所成的角,M,EMF=120,AD和BC所成的角为60,切记:别忘了角的范围!,P,A,B,C,M,N,3、空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，A
6、C的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与BC所成的角？,A,D,C,B,A1,D1,C1,B1,变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a. O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE所成的角,O,E,F,N,A,D,C,B,A1,D1,C1,B1,2、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点，求异面直线AM与CN所成的角；,N,M,F,E,例4、如图，在三棱锥DABC中， DA平面ABC，ACB = 90，ABD = 30，AC = BC，求异面直线AB 与CD所成的角的余弦值。,A,B,C,D,四面体ABCD的棱长均为a, E，F分别为棱BC，AD的中点， （1）求异面直线CF和BD所成的角的余弦值。 （2）求CF与DE所成的角。,思考题,E,F,P,Q,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,小结：,1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。,2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,90o,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,