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1、线性代数是高等代数的一大分支。 一次方程称为线性方程， 研究线性方程及系列相关问题的代数就称做线性代数。,由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。,由于它的简便，线性代数具有特殊的地位。尤其是它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析与运筹学中占有重要地位。,线性代数出现于十七世纪,主要理论成熟于十九世纪.,随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入应用到自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域 。,第一章 行列式(6个学时),第一节 二阶、三阶行列式,第五节 克莱
2、姆法则,第三节 行列式的性质,第二节 n阶行列式,第四节 行列式按行(列)展开,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,（一）二阶行列式,方程组的解为,方程组的解为,由以下方程组的系数确定.,我们用记号,来表示代数和,即：,主对角线,副对角线,例1.,（一）二阶行列式,对角线法则,以上的行列式的计算方法常称为：,列标,（二）三阶行列式,定义,记,（5）式称为数表（4）所确定的三阶行列式.,对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!,或者：对角线法则,注意 红线上三元素的
3、乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,四阶及四阶以上的行列式不能用对角线法则!,把第一，二两列抄在行列式右边,+ + +,- - -,三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积.,其中三项为正,三项为负.,三阶行列式的特点:,例1,解,按对角线法则，有,例3,解：,的充分必要条件是什么？,当且仅当,第一章 行列式,第一节 二阶、三阶行列式,第五节 克莱姆法则,第三节 行列式的性质,第二节 n阶行列式,第四节 行列式按行(列)展开,(一) 排列与逆序,第二节 n阶行列式,由n个不同的数码1,2,n组成的有序数组,称为一个n
4、级排列。,例：12345及其34215是五级排列，1194、,4567不是四级排列。,例如 排列32514 中，,我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,-此排列中所有逆序的总数,排列的逆序数,排列中此元素前面比它大的数码个数之和,排列中某元素的逆序数-,在一个排列 中，若数 (前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.,逆序-,-此排列中所有逆序的总数,排列的逆序数,排列中此元素前面比它大的数码个数之和,排列中某元素的逆序数-,(2)求每个元素的逆序数之总和,求排列的逆序数的方法,例1 求排列42315的逆序数,解
5、,4 2 3 1 5,于是排列42315的逆序数(记为N(42315)为,(1)求排列中每个元素的逆序数,在一个排列 中，若数 (前面的大于后面的)则称这两个数组成一个逆序.,逆序-,例2: 求排列32514 的逆序数.,3 2 5 1 4,故此排列的逆序数(记为N(32514)为:,N(32514)=3+1+0+1+0=5.,解:,(2)求每个元素的逆序数之总和,求排列的逆序数的方法,(1)求排列中每个元素的逆序数,例3 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,解,当 时,当 时,故为偶排
6、列,故为奇排列.,对换,换,称为此n级排列的一个对换.,例如:,（1）相邻对换：设原排列为：,A,B表示除,证明：,两个数码以外的其他数码，,正序反序,反序正序,故新旧排列的奇偶性相反。,定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。,但是，一般对换通常可以多次的相邻对换得到,（2）一般对换：设原排列为：,（此步经过了s+1次相邻对换）,再作相邻变换：,（这一步经过了s次相邻对换）,即新排列,可由原排列,经过2s+1次的相邻对换得到。,由（1）知经一次相邻对换排列奇偶性改变，故经过2s+1,次相邻对换，新排列与原排列的奇偶性相反。,定理1.2 n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。,例
7、:对于3级排列,因3级排列的总数共有,所有的3级排列如下:,123,231,312,321,213,132,N(123)=0,偶排列,N(231)=2,偶排列,N(312)=1+1=2,偶排列,N(321)=2+1=3,奇排列,N(213)=1,奇排列,N(132)=1,奇排列,奇偶排列经过一次对换所得的排列是原来的所有,排列中的一个,并没有产生新的(即是覆盖不是插入),设其中奇排列为p个，偶排列为q个。,因n级排列的总数共有,设想将所有的奇排列都施以同一种对换，则p个奇排列,全部变成偶排列，,同理将所有的偶排列都施以同一种对换，则q个偶排列,全部变成奇排列，,故有：,定理1.2 n级排列共有
8、n!个，其中奇偶排列各占一半。,证明：,得到p个偶排列(在原来q个偶排列中),得到q个奇排列(在原来p个奇排列中),(二) n 阶行列式的定义,观察二阶行列式和三阶行列式:,三阶行列式,二阶行列式,一、概念的引入,乘积的代数和, 两个元素的乘积可表示为:,得到二阶行列式的所有项(不包括符号),共为2!=2项.,(1)二阶行列式表示所有位于不同行不同列的二个元素,为2级排列,当,取遍了2级排列(12,21)时,即,(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然,数顺序排列后,则此项取正号,+,-,如果对应的列标构成的排列是偶排列,是奇排列则此项取负号.即:,元素乘积的代数和,三个元素的乘积可表
9、示为:,312,321,213,132)时,得到三阶行列式的所有项(不,(1)三阶行列式表示所有位于不同行不同列的三个,为3级排列,当,取遍了3级排列(123,231,(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然,数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶,排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.,包括符号),共为3!=6项.,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然,数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶,排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.,二、n 阶行列式的定义,定义,称为n阶行列式,乘积的代数和,n个元素
10、的乘积可表示为:,时,即得到n阶行列式的所有项(不包括符号),共为n!项.,(1)n阶行列式表示所有位于不同行不同列的n个元素,为n级排列,当,取遍了n级排列,(2)每一项的符号是:当这一项中元素的行标按自然,数顺序排列后,如果对应的列标构成的排列是偶,排列则此项取正号,是奇排列则此项取负号.即:,行列式常简记为:,说明,1、行列式是一种特定的算式.,2、 n 阶行列式是 n!项的代数和;,3、 n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积，每行每列必有且只有一个元素在此项中。,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、 的符号为,例1 计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式
11、是,所以不为零的项只有,解,不为零的项中必有：,1,例1 计算对角行列式,分析,所以不为零的项只有,解,1,其不为零的项必具有n个不为零的元素。,这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个,第一行只可能取,第二行只可能取,第n行只可能取,没有n个不为零的元素，D=0,分析,所以不为零的项只有,解,1,其不为零的项必具有n个不为零的元素。,这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个,第一列只可能取,第二列只可能取,第n列只可能取,例2 计算上三角行列式,没有n个不为零的元素，D=0,例2 计算上三角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,不为零的项中必有：,
12、例3,解:,可以计算出 上三角行列式,下三角行列式,和对角行列式一样.,都是主对角线上元素之积.,例4 计算行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以行列式不为零的项中 只能等于4 ,同理可得,解：,从而这个项为零，,所以 只能等于3 ,即行列式中不为零的项为,例4 计算行列式,分析,解：,所以不为零的项只有,其不为零的项必具有n个不为零的元素。,这n个不为零的元素来自不同行不同列，每行（列）一个,第一行只可能取,第二行只可能取,第四行只可能取,第三行只可能取,证明:,证毕,例4 证明行列式,定理1.3,证:,相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化,因此()项的符号不改
13、变.,设经过了有限次交换()元元素的位置,()变为:,(),例如:四阶行列式中:,即:两项是一致的,可使用在行标没排序的情况下,行标自然数序,行标乱序,定理1.3,(),定理1.3,证:,相应的,行列标排列的逆序数奇偶性同时发生变化。,因此()项在其元素任意变换次序时符号不改变.,设经过了有限次交换()元素的位置：,()变为:,(),带动着行标排列与列标排列同时进行一次对换。,书P10例3:,是五阶行,列式,的一项,则,应为何值?此时该项的符号,是多少?,解:由行列式的定义,每一项的元素都来自于不同行,不同列,故有j=3, i,k一个为1,另一个为5.,(1)当j=3,i=5 ,k=1时,该项
14、的符号为正,(2)当j=3,i=1 ,k=5时,该项的符号为负.,书P11例3:用行列式定义计算行列式,解:考虑此行列式的非零项.在每项中的元素,一定是来自不同行不同列的,同项中不能出,现两个以上的同行同列元素.,书P11例3:用行列式定义计算行列式,解:考虑此行列式的非零项.,第一列只可能取,第三行只可能取,第四行只可能取,（第四行如取,则第一行取不到合适的元。）,第一行只可能取,例:用行列式定义计算行列式,解:考虑此行列式的非零项.,例:用行列式定义计算行列式,解:考虑行列式的非零项的元素行标按自然数,顺序对应的列标排列可能:,1 2 4,1 3,2 3,1 2 4,=1-1-1+1=0,定理1.3,(),上三角行列式,下三角行列式,对角行列式,都是主对角线上元素之积.,定理1.2 n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半。,定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。,n级排列的逆序数、奇偶性，对换。,