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1、二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,其边长由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 : 函数
2、,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,基本初等函数的微分公式 (见 P115表),又如,机动 目录 上
3、页 下页 返回 结束,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,三、 微分在近似计算中的应用,当,
4、很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解: 设,取,则,例4. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解:,例5. 计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、 微分在估计误差中的
5、应用,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积 ,解:,计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差 .,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(mm),内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几
6、何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 设,由方程,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,确定 , 求,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,1. 已知,求,解：因为,所以,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边求微分, 得,已知,求,解：,2.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,