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1、高二数学竞赛辅导第三讲,立体几何解题的基本策略,一、点、线、面间关系的转化,立体几何的知识告诉我们，最核心的内容是线面间的的垂直、平行关系，而它们又通过判定定理、性质定理而相互转化。定理的应用过程实质上就是下述诸关系的联系与转化。,例1 (如图) 二面角 AB 的平面角为 300，在上作ADAB，AD=10，过D作 CD于D,若ACB = 600，求AC与BD的 距离。,解,作BEAC，CEAB,连EC,ED，则AC面BCE，直线AC到面BDE的距离就是AC到BD的 距离.这时，AC上任一点到面BDE的距离就是所求.,由DC知，DCAC;又AD AB，根据三垂线定理 ，AC AB.但ABAC,
2、故AC CE.从而AC 面CDE 。又 BEAC ,得BE 面CDE, 进而面BDE面CDE，,三个步骤:,一、线线距离转化为线面距离,E,二、再转化为点面距离,三、计算距离,解法二 用体积法计算 VD-BCE=VC-BDE.,解法三 外接于一个长方体用补形的方法解决,二、 平 面 化 的 思 考,在空间,选取一个恰当的平面,使问题在这个平面上获得突破性的进展,甚至全部解决,是一种自然而重要的思考,怎样选取平面呢?有以下几个主要方法,1、 截面法 2、隔离法 3、展平法 4、投影法,例2、 在正方体ABCDA1B1C1D1中，设C1 D1 B 所在的半平面为 ，C D1 B所在的半平面为 ，B
3、D1 所在的直线是 与 的交线。求二面角 BD1 的度数,M,N,因为二面角的平面角的度数是由相应平面角的来表示的，所以解题的一个方向是找平面角。,分析,解,在平面 A B C1 D1 上，由点 A 向 B D1 引垂线，与BD 1 交于M,与BC1 交于N，连CM，由于正方体关于面BB1D1D的对称性，必有CMBD1 ，因此， NMC就是二面角的平面,设正方体的棱长为，则AC2,=CD12 =2a2 ，AM2 =MC2 = a2 ,在 AMC中，由余弦定理得 AMC=1200 ，从而 MAC=600 ，即二面角BD1 的度数为600。,例5、若空间四边形的两组对边相等，则两条对角线的中点连线
4、垂直对角线。,三、 图 形 变 换,证明 如图，空间四边形ABCD中，M,N是对角AC,BD的中点，现将A与C交换,B与D交换，得到同一位置的空间四边形，而这个四边形又可看作一个绕着某一轴（轴对称）旋转1800 得到另一个，由A与C关M于对称，B与D关于N 对称知，对称轴必经过MN，从MNAC，MNBD。,图形变换包括,1、空间的对称 2、空间的旋转 3、空间的折叠 4、空间的展平,直观上补充成为长方体，则MN是上下底面中心的连线，它与上下底面都垂直，当然是同时垂直于AC,BD.,例4、 如图，已知给一个长方体，其共顶点的3条棱互不相等，现在要由一顶点沿表面到对角顶点，求最短的线路。,分析：,
5、将长方体各面展于同一平面上（可省去底面ABCD）由两点间距离最短知，,有三条相对短的走法，设三条共点棱长为AB=a, AD=b， AA1 =c，且由勾股定理可算 得AFC1最短。,F,F,四、 体 积 法,用两种方法计算同一体积，从而得出未知数的等量关系，这是平面几何的面积法的直接推广，用这种方法求点到平面的距离时，可免去找距离线段或论证垂直关系的推理过程，在种方法多用于四面体和长方体，因为它们对底面的选择有很大的自由度，可以方便地“换底”,例5 如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F 分别是 AB ,AD 的中点，CG 垂直于 ABCD 所在的平面，且 CG=2，求 B 点到平面 GE
6、F 的距离。,H,解,连BF，BG ,有,=2,记 H 为AC与EF的交点，由CG为平面AC的垂线，ACEF知，,CHEF,且由,， 知，,根据等积关系 ，有,得到 B 到平面 GEF 的距离是 .,五、 基 本 图 形 法,立体几何中的基本图形是正方体，熟练掌握正方体的基本性质和各类线面关系，对于解题是非常有益的，一旦遇到新问题，我们或者补充为一个正方体，或者分割成几个正方体，“能割善补”是学习立体几何的诀窍。,例6 有三个边长为的正方形，分别将每一个正方形的一个角按两邻边中点连线剪下，按图分别接在边长为 a的 正六边形各边上，然后沿正六边形各边将其余部分折起，如图，求所成立体图形的体积。,解法一 （分割）将,立体图形分割为一个正六棱锥PABCDEF与三个三棱锥PGAF, PHBC,PKDE之和。,解法二 （补充）将立体图形补充为一个正方体如图，,得,V = a3,则所求的立体图形体积是正方体体积的一半,六、 投 影 法,投影是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广泛空间问题的一个通法.,A2,B2,C2,谢谢合作,再见,