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1、第三章 平面问题的直角坐标解答,要点, 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。,3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答,3-2 矩形梁的纯弯曲,3-3 位移分量的求出,3- 楔形体受重力和液体压力,3- 简支梁受均布载荷,主 要 内 容,应力函数法求解平面问题的基本步骤,（常体力情形）,应力函数的求解方法：,（1）逆解法；,（2）半逆解法。,应力函数 求解方法,（1）逆解法,（1）,先设定各种形式的、满足相容方程（2-27）的应力函数(x,y) ；,（2）, 主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式（2-26），求出 ；,（3）,再利用应力边界条件，来考察这些应力函数(x,y)
2、对应什么样的边界面力，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。,(2-27),3-1 逆解法和半逆解法 多项式解答,(2-26),（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,（2）半逆解法,(2-27),(2-26),下面用逆解法，将应力函数(x,y)取为一些简单的多项式函数，考察能解决什么样的问题。,其中： a、b、c 为任意常数。,检验(x,y) 是否满足双调和方程：
3、,显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。,（1）,1. 一次多项式,（2）,（3）,对应的应力分量（设体力为零）：,即有：,（1）,结论：,（2）,一次多项式对应于无体力、无面力、无应力状态；,在应力函数上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,2. 二次多项式,（1）,其中： a、b、c 为待定系数。,（设 fx = fy = 0 ）,检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数 ),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,2c,2c,2a,2a,结论：,二次多项式对应于均匀应力分布。,假设：a 0 , b 0, c 0,试求图示板的应力函数。,例：,
4、3. 三次多项式,（1）,其中: a、b、c 、d 为待定系数。,检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数 ),(设 fx = fy = 0 ),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,结论：,三次多项式对应于线性应力分布。,4. 四次多项式,（1）,检验(x,y) 是否满足双调和方程,（2）,代入：,得,可见，对于函数：,其待定系数须满足下述关系才能作为应力函数：,总结：,（多项式应力函数 的性质）,（1）,多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 。,多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 。,多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条
5、件越多。,（2）,一次多项式，对应于无体力、无面力、无应力状态；在任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。,（3）,可得：,则边界受力：,可见：, 对应于梁的纯弯曲问题应力分布。,常数 a 与弯矩 M 的关系：,(1),由梁端部的边界条件：,(2),可见：此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,3-2 矩形梁的纯弯曲,其中：,说明：,(1),仅当梁端的法向面力线性分布，且在端面形心处为零，而切向面力亦为零时，结果才是精确解。,(2),若按其它形式分布，如：,则按圣
6、维南原理，此结果仅在两端误差较大，而离端部较远处误差较小。为“圣维南意义下的精确解”。,按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，下一步如何由 求出形变分量、位移分量？,问题：,位移分量的求解：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量的,表达式；,由位移边界条件确定表达式中的常数，得最终结果。,的表达式；,3-3 位移分量的求出,以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？,1. 形变分量与位移分量,由前节可知，其应力分量为：,平面应力情况下的物理方程：,（1）形变分量,(a),将式（a）代入得：,(b),（2
7、）位移分量,将式（b）代入几何方程得：,(c),将式（c）前两式积分，得：,(d),将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：,整理得：,（仅为 x 的函数）,（仅为 y 的函数）,要使上式成立，须有,(e),式中：为常数。,积分上式，得,将上式代入式（d），得,(f),（1）,(f),讨论：,式中：u0、v0、 由位移边界条件确定。,当 x = x0 =常数,即铅垂方向微段 dy 的转角。,说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。,横截面保持平面, 材力中纯弯曲“平面假设”成立。,（2）,将 v 对 x 求二阶导数得：, 材料力学中的挠曲线近似微分方程,2. 位移边界条件的利用,（1）两端简
8、支,其边界条件：,将其代入(f)式，有,将其代回(f)式，有,(3-3),梁的挠曲线方程：, 与材力中结果相同,（2）悬臂梁,边界条件,由式（f）可知，此边界条件无法满足。,边界条件改写为：,（中点不动）,（轴线在端部不转动）,代入式（f），有,可求得：,(3-4),挠曲线方程：,与材料力学中结果相同,说明：,（1）,求位移的过程：,（a）将应力分量代入物理方程：,（b）再将应变分量代入几何方程积分求位移；,（c）最后利用位移边界条件，确定积分常数。,（2）,若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。,（3）,若取固定端边界条件为：,（中点不动）,得到：,求得：,此结果与前面情形相同。,（
9、为什么？）,半逆解法思路：,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,(2-27),(2-26),3-4 简支梁受均布载荷,1. 应力函数的确定(半逆解法),(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(a),(b), 待定函数,(a),(b),待定函数,(3),由 确定,代入相容方程：,方程的特点：,关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。,由“高
10、等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：,对前两个方程积分：,(c),此处略去了f1(y)中的常数项,由第三个方程得：,积分得：,(d),(c),(d),(a),(b),将(c) (d) 代入 (b) ，有,式中含有9个待定常数。,(e),2. 应力分量的确定,(f),(g),(h),3. 对称条件与边界条件的应用,（1）对称条件的应用：,由 q 对称、几何对称：, x 的偶函数, x 的奇函数,由此得：,要使上式对任意的 y 成立，须有：,（2）边界条件的应用：,(a) 上下边界（主要边界）：,由此解得：,代入应力公式,(b) 左右边界（次要边界）：,（由于对称，只考虑右
11、边界即可。）, 需借助于圣维南原理。,静力等效边界条件：,自动满足。,(p),截面上的应力分布：,4. 与材料力学结果比较,(p),4. 与材料力学结果比较,材力中几个参数：,截面宽度：b=1 ,截面惯性矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式 ( p ) ，有,（3-6）,（3-6）,比较得：,（1）,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当 h / l1 时，该项误差很小，可忽略；而当 h / l 较大时，必须考虑该修正项。,（2）,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。,（3）,与材力结果相同。,注意：,按式（3-6），仅当梁的左右边界存在法向面力：,及抛物线分布的切向面力
12、时，才为精确解，否则为“圣维南意义下的精确解”。,解题步骤小结：,（1）,（2）,（3）,根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（含有待定函数）。,（4）,（5）,将含有待定函数的应力函数 代入相容方程 确定 中的待定函数形式（含有待定常数） 。,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力分量 。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解弹性力学平面问题的基本步骤：,补充：,应力函数确定的“材料力学方法”,要 点：,利用材料力学中截面上应力与梁内力的关系
13、，假设某个应力分量的函数形式。,适用性：,直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。,应力函数常可表示为：,设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数。,材力中，截面上应力分量与梁内力的关系为：,式中：,M(x) 弯矩方程；,Q(x) 剪力方程。,当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，,同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力 也产生影响。,应力分量与梁内力的关系可表示为：,然后由：,确定应力函数 的具体形式。,例：,悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：应力函数 及梁内应力。,解：,(1) 应力函数的确定,取任意截面，其内力如图：,取
14、 作为分析对象，可假设：,（a）, f(y)为待定函数,由 与应力函数 的关系，有：,（b）,对 x 积分一次，有：,对 y 再积分一次，有：,其中：,（c）,（c）,由 确定待定函数：,（d）,要使上式对任意的x，y成立，有,（e）,（f）,由式（ e）求得,（g）,由式（ f）得,（h）,（i）,积分式（ h）和（i）得,（j）,（k）,( l ),包含9个待定常数，由边界条件确定。,(2) 应力分量的确定,( m ),(3) 利用边界条件确定常数,( o ),代入可确定常数为：,代入式（m）得,注：,也可利用 M（x）= 0，考虑,进行分析。此时有：,为待定函数，由相容方程确定。,剪力：
15、,可假设剪应力：,利用,下列问题的应力分量 形式：,例：,图示矩形截面简支梁，长为 l ，高为 h ，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其应力分布。,解：,（1）应力函数形式的确定,梁截面上弯矩和剪力为：,由材料力学方法可确定应力分量的分离变量形式：,取应力分量 分析，,取应力分量 与应力函数的关系：,对此式积分：,为待定函数,（2）由相容方程确定待定函数,代入,要使上述方程对任意的 x 成立，有,(a),(b),(c),积分式（a），得,将上式代入（b）积分，得,积分式（c），得,(d),(e),(f),将求得的,代入应力函数，有,（3）计算应力分量,(g),(h),（4）利用边界条件确
16、定待定常数,上边界：,(i),(j),(k),下边界：,(l),(m),(n),左边界：,右边界：,(o),(p),(q),(r),(s),(t),联立求解式（i）（t）,可得具体的应力分量。,注：位移边界条件转化为应力边界条件。,例：,图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k为常数。,解：,(1),应力分量：,边界条件：,显然，上下边界无面力作用。,上下边界,(2),左边界,右边界,结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。,3-5 楔形体受重力和液体压力,要点,半逆解法（因次或量纲分析法）,问题的提出：,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水
17、压作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形体的容重）；,求：楔形体应力分布规律 。,1. 应力函数及应力分量,(1) 分析：,(a), 的量纲为：,的量纲为：,(b),由 可推得：,应为 x、y 的纯三次函数。,显然，上述应力函数满足相容方程。,(2) 应力分量,考虑到：fx = 0，fy = （常体力）,(a),2. 边界条件的利用,(1) x=0 （应力边界）：,代入式（a），则应力分量为：,(b),(2) （应力边界）：,其中：,将 (b) 代入，有,代入，可求得：,(b),代入式（b），有：,(3-7), 李维（Levy）解答,沿水平方向的应力分布,与材力结果比较：, 沿水平方向不变
18、，在材力中无法求得。, 沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。, 沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。,(3-7), 李维（Levy）解答,沿水平方向的应力分布,结果的适用性：,（1）,当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。,（2）,假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。,（3）,实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。, 三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。,工程应用：, 求使坝体内不出现拉应力的角度 。,课堂练习：,1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问
19、题的应力函数(x，y) 。,3. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。,2. 试问 f(x)、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数(x，y) 。,1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数(x，y) 。,(1),(2),(3),解：,(1),将其代入相容方程，有,满足相容方程，1可作为应力函数。,(2),将其代入相容方程，有,不满足相容方程，2不可作为应力函数。,1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数(x，y) 。,(1),(2),(3),解
20、：,(3),将其代入相容方程，有,当D = 0时，满足相容方程，3可作为应力函数；,当D0时，不满足相容方程，3不可作为应力函数。,2. 试问 f(x)、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数(x，y) 。,解：,将应力函数代入相容方程，有,上述方程中，要使对任意的 x、y 成立，有,积分得,3. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且 h b。试确定其应力和位移分量。,解：,分析截面内力：,积分得：,代入相容方程，有：,要使对任意的 x、y 成立，有,积分，得：,1 确定应力函数,（1）,2 计算应力
21、分量,（1）,（2）,3 由边界条件确定常数,左右边界：,（3）,上边界：,（3）,（4）,代入式（1）和（4），有：,（8）,（9）,下边界：, 满足。,4 求位移,由物理方程，得：,积分前2式，得：,代入式（10）中第3式，得：,为常数。,对上式积分，得：,代入式（11），得：,常数、u0、v0由位移边界条件确定。,（10）,（11）,（12）,位移边界条件：,求得：,代入位移表达式，有：,弹性力学平面问题的基本理论小结,一、两类平面问题及其特征,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不变化。,z 方向的尺寸远小于板面内的
22、尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）,二、平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程,（2-2）,（假定：小变形、连续性）,（2）几何方程,（2-9）,（假定：小变形、连续性）,（3）物理方程,(2-15),（平面应力）,(2-16),（平面应变）,（假定：连续性、线弹性、均匀性、各向同性）,三、平面问题的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-20）,用位移表示的平衡微分方程,（2-21）
23、,（2-17）,用位移表示的应力边界条件,位移边界条件,（2）按应力求解,思路：,以应力 为基本未知量， 得到只有 的3个基本方程，从中求出 ，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-2）,平衡微分方程,（2-23）,相容方程,基本控制方程,（平面应力情形）,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,边值条件,（3）两类平面问题物理方程的互相转换：,平面应力问题,平面应变问题,平面应变问题,平面应力问题,（4）边界条件,（2-17）,（2-18）, 位移边界条件, 应力边界条件,（5）按应力求解的应力函数法基本方程：,(2-27),(2-26),（1）对多连体问
24、题，还须满足位移单值条件。,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函数表示的应力分量,（对常体力情形）,说明：,（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。,四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）,（2-22）,（2-23）,（2-24）,(平面应力情形),(平面应变情形),（2-25）,(2-27),形变表示的相容方程,应力表示的相容方程,应力函数表示的相容方程,(基本形式),(常体力情形),适用情形：,小变形、任意弹塑性材料。,(常体力情形),五、边界条件与圣维南原理,位移边界条件,应力边界条件,圣维南原理的要点：,（1）小部分边界（次要边界
25、）；,（2）静力等效；,（3）结果影响范围：,近处有影响，远处影响不大。,圣维南原理的应用：,（1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等；,（2）位移边界（次要边界）；,六、其它,（1）常体力情况下简化,将体力转化为等效的面力：,（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。,（3）任意方向的正应变计算。,（1）,（2）,1. 试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）,课堂练习：,2 . 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。,1.,图示矩形板长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题。式中q为常数。,作 业,2. 试问 f(x)、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数(x，y) 。,习题：3 -1，3 2，3 3，3 -4,例：,试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。,上边界：,下边界：,代入边界条件公式，有,右边界：,由圣维南原理，有,