《二维随机变量及其联合分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二维随机变量及其联合分布.ppt（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、,3.1 二维随机变量及其联合分布,一、二维随机变量的概念 在射击时，弹着点是目标上的一个位置，它与横坐标和纵坐标有关，弹着点受两个变量的影响. 在工程结构设计中，出于可靠性的考虑，需要考察构件的抗拉力与荷载效应，可靠性也受着两个变量的影响 与一维随机变量类似，一般地我们可定义二维随机变量如下：,定义3.1 设是一个随机试验， 和 是定义在其样本空间 上的随机变量， ，由它们构成的向量 称为定义在样本空间 上的二维随机变量或二维随机向量，简记为 、 依次称为二维随机变量 的第1个分量（或坐标）、第二个分量（或坐标） 一般地，设是一个随机试验， 是定义在其样本空间 上 n维随机变量或n维随机向量
2、，简记为 ， 称为第 个分量（或坐标）， .,二、二维随机变量的联合分布,在研究随机向量的概率特征时，除每个随机变量的概率特征外，还要研究它们的联合概率特征：后者可以完全决定前者，但是前者一般不能完全决定后者因此，只研究单个随机变量的分布是不够的，还必须研究随机向量作为一个整体的联合分布 对于二维随机变量， 作为整体的分布称为二维随机变量 的联合分布,（Joint Distribution）与一维情形类似，为了研究二维随机变量的联合分布，我们引入二维随机变量的分布函数的概念 定义3.2 设 是定义在样本空间 上的二维随机变量，对于任意的实数 ，称函数 （31） 为二维随机变量 的联合分布函数（
3、Joint Distribution Function），简称 的分布函数,以后, 将（31）中的表达式简记为 显然，分布函数 在平面上任意点 处的函数值就是随机 点 落在点 左下方的整个无穷区域内的概率，如图3.1所示,联合分布函数具有下列性质 由定义3.2和图3.2易知， 对任意的 （ ），有 1. （32） 从而, 0 （33）,2. 是和的单调非降函数；（证略） 3. 对于平面上的任意点 ， ； 且对任意固定的 ， ， 对任意固定的 ， ， , （34） 这可借助于几何直观进行说明 4. 关于 和 均右连续，即 ,三、 二维离散型随机变量及其联合分布律,与一维随机变量的情形类似，我们这
4、里讨论的也是离散型和连续型这两种类型的二维随机变量 定义3.3 若二维随机变量 的所有可能取值只有有限或可列无限个，则称 为二维离散型随机变量 显然，若 是二维离散型随机变量，则其分量 和 都是一维离散型随机变量. 通常, 我们用联合概率分布律（列）,定义3.4 设 是二维离散型随机变量，它所有可能的取值为 , ， 则称 （35） 为 的联合分布律（列）或联合概率分布(Joint Probability Distribution)，简称分布律 分布律一般用表格形式表示: （36）,显然，二维离散型随机变量的分布列 满足： 1. （非负性） 2. （规范性） （37） 其联合分布函数为 （38）
5、,四、二维连续型随机变量及联合概率密 度函数,与一维情形类似，我们有如下定义： 定义3.5 设二维随机变量 的分布函数 为，若存在非负可积函数， 使得对于任意实数 和 ，有 （39） 则称 为二维连续型随机变量， 称 为 的联合概率密度函数（Joint Probability Density Function），,简称的概率密度 类似地，的联合概率密度函数具有性质（证略）： （1） （非负性） ； （2） （规范性） ；（310） （3） 对于平面上任意可积的区域 有 ；（311） （4） 若除可数点外 的二阶混合偏导数处处连续,则,(3-12) 是 的一个联合概率密度函数 由性质（3）知：在几何上 ，表示空间的一个曲面， 的值等于以 为底、以曲面 为顶的曲顶柱体的体积 设 是平面上的某个区域，其面积为 ，若 (X,Y) 的概率密度函数 （313）,则称 服从区域 上的均匀分布，记为 若的概率密度函数为 其中 均为常数， ，则称 服从参数为（ ）的二维正态分布，记为 ,