二节二重积分的计算.PPT

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1、第二节 二重积分的计算,一、二重积分在直角坐标系下的计算 二、二重积分在极坐标系下的计算,一、二重积分在直角坐标系下的计算,二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，简称为化为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.,在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个 小块 从而 有,由定积分的几何应用：设一立体满足 ，,在区间a,b上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面 与所给立体相截，若截面面积为S(x)，则所给立体体 积,设区域D的边界曲线与平行于y轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为,(1),在a,b上取定一点x，过该点作垂直于x轴

2、的平面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投影到Oyz坐标面，它是区间y1 (x),y2 (x)上，以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面的面积可以由对变元y的定积分来表示.,故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为,(2),将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.,为了简便常记为,需要指出，计算 时，应将x视为常 量，按定积分的计算方法解之.,同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为,(3),在c,d上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则,所给立体体积,

3、因此,(4),即化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.,先对x积分时， 中的y应视为常量，按定积分的计算方法解之.,在上述讨论中，我们假定f(x,y)0，但是实际上，上述结论并不受此限制.,如果积分区域D的边界曲线与平行于坐标轴的直线相交，其交点多于两个，则先将区域D划分为几个子区域，其中每个子区 域的边界曲线与平行于 坐标轴的直线相交时， 交点不多于两个，用前 述方法及重积分的可加 性可求区域D上的二重 积分.,为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：,(1) 画出积分区域D的图形.,(2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确

4、定关于y积分限的方法是：,作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线，作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称之为出口曲线，作为积分上限.,而后对x积分时，其积分区间为区域D在Ox轴上投影区间a,b，a是下限，b是上限，即,如果所作出的平行于y轴的直线与区域D相交时，在不同的范围内，入口曲线或出口曲线不同，则应该将积分区域D分为几个部分，在每个部分区域上，所作出的直线与区域D的入口曲线与出口曲线唯一确定.,例1 用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.,解 即求以z=62x3y为顶，以AB

5、C围成区域D为底的柱体体积.也就是计算二重积分,解法1 积分域D的图形如图9.5(b)所示，先对y积分.,作平行于y轴的直线与区域D相交，入口曲线为y=0，作为积分 下限.出口曲线为 ， 作为积分上限.,解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D 相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积 分下限，出口曲线为 ，作为积分上 限.积分区域D在y轴上投影区间为0,2，,这个结果与我们熟知的四面体的体积 是一致的.,例2 计算积分 ，其中D是正方形区域：,解 像这样的正方形区域可以不必画，即得,例3 计算积分 ，其中D是由y=x，y=0和 所围成的三角形区域.,解法1 先对y积分. 作平行

6、于y轴的直线与积分 区域D相交，沿着y的正方 向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为 .,解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴的正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为 .D在y轴上的投影区间为 .故,例4 计算积分 ，其中D由 y0确定.,解法1 先对y积分， 作平行于y轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线y=0；出口曲线为 ，因此,解法2 先对x积分. 作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为 ，因此,比较两种解法可知，解法1比解法2简便些.说明将二重积分化为二次积分时，应注意选择积分次序.

7、,例5 计算积分 ，其中D是由不等 式： 所确定的长方形区域.,解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即,例6 计算 ，其中D由不等式 及 所确定.,解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.,作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为y=x，因此,x轴上的积分区间为1,2.,解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分.,作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子区域.,在y轴上的积分区间为,当 时，平行于x轴的直线与区域D相

8、交时，沿x轴正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为x=2.,当 时，平行于x轴的直线与区域D相交时,沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.,显然解法1较简便.因此选择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题.,例7 计算积分 ，其中区域D由直线y=x，y=0与x=1围成的区域.,解 由不定积分可知 不能用初等函数表示出来，因此，所给积分不能化为先对x积分后对y积分的积分次序.,欲化为先对y积分后 对x积分的二次积分.作平 行于y轴的直线与区域D 相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=0，出口曲线为y=x，因此,将积分区域D投影到x轴上，投影区间为0,1.故,例8 计算二次积分,解 由

9、不定积分可知 其被积函数 的原函数不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序不能计算出此二重积分.对此类问题常考虑采用交换积分次序的方法来解决.其一般步骤为：,(1) 先依给定的二次积分限，定出积分区域D的范围，并依此作出D的图形.,(2) 再依区域D的图形，依前述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限.,由给定的积分限可知积分区域D的范围为,依上述不等式组可作出区域D的图形，,再化为先对y积分后对x积分的二次积分.,例8通常又称为交换二重积分次序问题.,例9 交换二次积分 的符号分次序.,解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域Di用不等

10、式表示：,如果转换为先对y积分，后对x积分，只需作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方向看，入口曲线为y=x，出口曲线为y=2x，因此 在D中 ，,例10 交换二次积分,的积分次序.,解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.,而 的解为(1,1),如果换为先对x积分，后 对y积分，作平行于x轴 的直线与D相交，沿x轴 正方向看，入口曲线为 ，出口曲线为x=2y，因此 .在区域D中 ,于是,由于 的解为(1,1)，,二、二重积分在极坐标下的计算,若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为 ，则有如下关系：,在极坐标系中，我们 用r=常数和 =常数来分割 区域

11、D.设 是由半径为r 和 的两个圆弧与极 角等于 和 的两条射线所围成的小区域.这个小 区域近似地看作是边长为 和 的小矩形，所以 它的面积,因此，在极坐标系中,于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为,这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.,公式(6)区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.,现在分三种情形讨论：,(1)若极点在区域D之外. 为了确定的变化范围，过原点作两射线：=和=，使D恰好被夹在 此二射线之间，且. 那么，便知取值范围是 ；再确定r的 取值范围.则D可以记为,从而有,(2) 极点在区域D的边界线上，D的边界曲线为 ,

12、又设射线 刚好夹住区域D，且 , 则D可以表记为,则有,(3) 若极点在区域D的内部，D的边界曲线为 .则D可以记为,则有,如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.,通常出现下面两类问题：,1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：,(1) 将 代入被积函数.,(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限.,(3) 将面积元dxdy换为 .,2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.,例11 计算二重积分 区域D为由x2+y2=2y及x=0

13、围成的第一象限内的区域.,用 代换，可得极坐标表达式 .此时D可以表示为,例12 计算二重积分,其中D为,区域D的边界曲线为 ，将 代换，得极坐标系下的表达式r=1.因此D可以表示为,例13 求 ，D是由y=x，y=0，x2+y2=1在第一象限内所围成的区域.,区域D可以表示为,例14 计算二重积分 ，其中D是单位圆域：,例15 计算积分,解 积分域是圆环， D可以表示为：,例16 用极坐标计算例4中的二重积分.积分区域同例4中的D.,解 显然D可以表示为：有 故,例17 计算二重积分 ，其中D是由不等式 所确定的区域.,解 积分区域D由y=x和x2+y2=2x所围的弓形区域 . 半圆的极坐标方程是 ，故,例18 计算积分 ，其中D是由不等式 所确定的区域.,例19 设f(x)为区间a,b上的连续函数，证明：对任意 ，总有,作平行于x轴的直线与区域D相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=b.因此 区域D上有 .可得知,故原命题成立.,