高数学习指导一.ppt

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1、高等数学（1）学习方法指导（二） 内容 第三章 导数与微分； 第四章 导数的应用,基本要求 一、导数概念 1、理解导数由具体的变化率问题抽象而产生的概念，知道导数值与导数的联系与区别。 2、理解函数的导数与变化率的关系，导数的几何意义，掌握求曲线在一点的切线的方法。 3、理解函数可导与连续之间的关系。 4、能利用定义求函数在一点处导数的方法，会求分段函数在分段点处的导数。,二、初等函数求导数,1、熟记求导的四则运算法则，导数的基本公式，熟练掌握利用四则运算和导数基本公式求导数。 2、熟练掌握复合函数求导法则，会求隐函数和反函数的导数，会利用对数求导法则求导数。 3、理解高阶导数的定义，掌握求二

2、阶导数的方法，会求一些简单函数（如 等）的n阶导数。,三、函数的微分,1、理解微分的定义，明确可导与微之间的关系。 2、理解一阶微分形式的不变性，会熟练地求出函数的微分。 3、记住利用微分近似计算函数改变量和函数近似值的公式，会用微分计算函数的近似值,四、中值定理,1、会叙述罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西定理，掌握三定理的条件和结论。 2、了解三定理之间的关系、作用，罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义。,五、罗彼塔法则,1、掌握罗彼塔法则的条件，会熟练准确地运用罗彼塔法则求“”、“”型未定式的极限。 2、会将“0”，“”，“1”，“”，“0”等未定式化为“”或“”型，再用罗彼塔法则求极限。

3、,六、函数的单调性和极值,1、掌握利用导数判别函数单调区间的方法。 2、知道如何运用函数单调性证明不等式。 3、理解函数的极值和极值点的概念，掌握求函数极值和极值点的方法和步骤，会熟练地求解。 4、会解决简单的最大（小）值实际问题。,七、曲线的凹性、拐点、渐近线，函数作图,1、理解曲线上凹、下凹和拐点的概念，会利用导数讨论曲线的凹向，求拐点。 2、理解水平和垂直渐近线的定义，并会求曲线的水平和垂直渐近线。 3、掌握函数作图的方法和步骤，会描绘简单函数的图形。,八、导数的几何应用,1、熟练掌握求解以几何问题为主的简单实际应用问题中最大值和最小值的方法。,内容提要 一、导数概念,导数是由具体的变化

4、率问题（变速直线运动的瞬时速度和曲线的切线的斜率）抽象而产生的，它以极限为基础，是极限概念的具体应用。,1、定义：设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得改变量，函数f(x)取得相应的改变量=f(+)-f()，如果当0时，极限存在. 存在，则称此极限值为函数f(x)在点处的导数，并称函数f(x)在点处可导.,说明：,（1）记+=x,则导数定义可记为 这种形式在=0时计算可简化。 （2）导数的实质是函数在某一点的变化率，导数是函数改变量与自变量改变量之比的极限，是“”型极限。 （3）函数f(x)在处不可导有以下几种情况： 10,（3）函数f(x)在处不可导有以下几种情况：,10

5、lim0yx= 20 x lim0+yx与xlimyx存在但不相等； 30 或 至少有一个不存在。,。 2、左导数和右导数,若=存在，称之为f(x)在点处的左导数，记作； 若=存在，称之为函数f(x)在点处的右导数，记作。 函数y=f(x)在点处可导的充分必要条件是f(x)在点处的左、右导数都存在且相等。,3、导数与导函数，如果函数f(x)在区间（a,b）内可导，则对于该区间内每一点x ，都有。 对应的导数值，故是x的函数，我们称这个函数为f(x)的导函数,函数f(x)在一点处的导数是导函数在该点处的函数值，记作。,4、导数的几何意义，函数y=f(x)在点x0处的导数f(x) 表示曲线y=f(

6、x)在点M（x0, y0）处切线的斜率，即tan=f(x0)(a。2)过曲线y=f(x)上点（x0,y0）处的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0),5、利用导数定义求导数（导函数）的步骤：,（1）求y=f(x+x)-f(x) （2）作比值yx。 （3） 求x0时yx的极限，即 Lim f(x)= f(x+x0)-f(x)x x0 分段函数在分段点处的导数的求法是：用导数定义求出分段点的左、右导数后确定。,6、可导与连续的关系，若函数f(x)在点处可导，则它在点处必连续；若函数f(x)在点处连续，但在该点未必可导，也就是说，函数连续是可导的必要条件，但不是充分条件。,二、导数的基本公式与

7、运算法则,1、基本导数公式： （1）c=0（c为常数）； （2）(xa) ,=ax a-1（a为任意实数）； （3）(logax),=1/x logae(a0,a1)，特例：(ln x)=1/x。 （4）(ax),=ax ln a(ao,a1)特例(ex),=ex （5）(sin x),=cosx （6）(cos x),=-sinx （7）(tan x),=1/cos2x=sec2x （8） (cot x),=-1/sin2x=-csc2x,(9)(secx),=secxtenx (10)csc(x),=-csc x cot x (11)(arcsinx),=1/_1-x2(-1x1) (12

8、)(arccosx),=1/_1-x2(-1x1) (13)(arctamx),=1/1+x2 (14)(arc cotx),=-1/1+x2,对导数基本公式的记忆要准确熟练，它是求导数的基础，并由它们可推导出微分公式和积分公式，公式中带“余”字的三角函数、反三角函数均有负号,3、复合函数求导法则，若函数y=f(u)及u=均可导，则 dy/dx=f,(u) 即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。 法则适用于有限次复合的函数。,即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。 法则适用于有限次复合的函数。 4、隐函数求导法则。若y=f(x

9、)是由方程F（x.,y）=0确定的可导函数，则其导数可由方程,求得，即隐函数求导法则是：把方程两边对x求导，注意y是x的函数，然后从求导后得到的等式中解出。5、对数求导法则。若u(x)、v(u)分别可导，则幂指函数y=u可用对数求导法求出。对数求导法则是：先将函数两边取对数，然后化成隐函数求导数，它适用于幂指函数和含有多个因子等较复杂的函数。,6、高阶导数。函数y=f(x)的导数一般仍是x的函数，它的导数称为此函数的二阶导数，记为，或，即,一般地，函数y=f(x)的n-1阶导（函）数的导数称 为f(x)的n阶导数，即 （n=2,3,4,）,三、函数微分 1、定义：对于自变量在点x处的改变量可表

10、示为,其中A为不依赖于的常数，则称函数y=f(x)在点x处可微，称A为函数y=f(x)在点x处的微分，记为dy，即dy=A。,规定自变量的微分就是它的改变量：dx=x,2、函数可微的充要条件，函数y=f(x)在点x处可微的充分必要条件是它在该点处可导，且dy= (x)dx,因此求微分dy，只要求出导数（x），再乘以dx即可。从而根据导数的基本公式和四则运算法则，可以得到函数微分的基本公式及其运算法则。,3、微分形式的不变性，对函数y=f(u)来说，不论u是自变量还是中间变量。函数微分dy=(u)du的形式是完全一样的，这就叫微分形式的不变性。,利用一阶微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分，

11、进而得到函数的导数。 4、微分的几何意义，函数y=f(x)的微分dy，在几何上就是过点M（x,y）的切线的纵坐标的改变量。,5、微分在近似计算中的应用 （1）求函数增量的近似值公式 （2）求函数在某点附近的函数值的近似公式： f(x),四、中值定理 1、罗尔定理、条件：如果函数f(x)满足；（1）在闭区间a,b 上连续；（2）在开区间（a,b） 内可导；（3）且两端点函数值相等，即f(a)=f(b),结论：在（a,b）内至少存在一点，使得 =0 罗尔定理在确定方程的根中的作用： 若f(x)满足定理条件，则方程f(x) =0的两个根之间必有方程 的一个根。,2、拉格朗日中定值定理，条件：如果函数

12、f(x)满足：（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导。,（a ）成立，或f(b)=f(a)+ （称中值公式）。,说明：罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件是严格的，条件不满足，结论就不一定成立；但条件仅是充分条件，即若定理条件不满足，结论也有可能成立,3、柯西中值定理，条件：如果函数f(x)与g(x)满足： （1） 在闭区间a,b上连续； （2） 在开区间（a,b）内可导； （3） 在（a,b）内任何一点处不等于零。 结论：在（a,b）内至少存在一点，使得,4、三个定理之间的关系：,推广 特例,五、罗彼塔法则,罗彼塔法则是确定未定式极限的简便有效的法则，是极限计算中常用的解法，

13、但它不是万能的，注意有失效现象。 1、型未定式，条件：设函数f(x)与g(x)满足。,（2）,a可以除外）可导，且,；,（1）,（3）,（3）,（3）,在点a的某个邻域内（点,结论：必有,（）,结论：必有,（2）在点a的某个邻域内； （3）,（点a可以除外）可导，且,结论：必有,3、其他类型的未定式，如 0型都可以采取一定方法通过恒等变形转化成两种基本类型，再用罗彼塔法则求解。,（3）若u（x）v(x)是幂指函数型，如等未定式的极限。一般可用取对数法先转化成0 型，再转化成二种基本类型，用罗彼塔法则求解。,（,f(x) g(x)= 或 ，转化为 （或 ）,(x)-g(x)属 型，可采用“通分”

14、的方法转化为 。,（2若f,（3）若u（x）v(x)是幂指函数型，如 等未定式的极限。一般可用取对数法先转化成0型，再转化成二种基本类型，用罗彼塔法则求解。,需要指出的是，对于不是“ ”或“ ”型的未定式，是不能用罗彼塔法则计算极限的。 六、函数的单调性 1、函数单调性的判别法：设f(x)在区间a,b上连续，在（a,b）内可导，若,（1）在（a,b）内 ，则f(x)在a,b上单调增加；,（2）在（a,b）内 ，则f(x)在a,b上单调减少。,证明：判别法中的闭区间可以换成其他各种区间，包括无穷区间。 2、利用函数的单调性证明不等式。 七、函数的极值和最值,1、定义：设函数f(x)在点x= 的一

15、个邻域内有定义，,如果当x (x0一 ,x0)Y( x0 ,x0 ),+,时总有f(x)f( )，则称f( )为函数的极大值（或极小值)。,称为f(x)的一个极大值点（或极小值点）。 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。极值点是对函数的自变量而言，极值是对函数值而言，不可混淆。,2、函数取得极值的必要条件和充分条件。 （1）必要条件：若f(x)在处可微，且在处f(x)达到极值，则。 使导数为零的点叫做函数f(x)的驻点，驻点不一定是极值点。,（2）极值的第一充分条件：设f(x)在点的某邻域内连续且可导，或 不存在。 10 若x0，而x时时，0，则函数f(x)在点极小值

16、f()。,简单地说，在过时两侧变号，则函数f(x)在点处取极值，在过时两侧不变号，则函数f(x)在点处不取极值。 可见，可导函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点，有可能取极值的点除驻点外还需注意判断不可导点。 （3）极值的第二充分条件（判别法）：设=0，且存在： （1）当0时函数f(x)在取得极大值；,（2）当0时函数f(x)在取得极大值。 注意：当=0时，不能判定f(x0)是否为极值，这时仍需用第一判别法。 3、函数的最值，连续函数f(x)在a,b上的最大值与最小值一定存在，可以由区间端点函数值f(a)、f(b)与区间内所有驻点不存在点的函数值比较得到。 注意：函数极值是一个局部性概念，

17、函数最值是对所讨论的整个区间而言，是一个整体性的概念，因而某一个极小值大于另一个极大值就不足为怪了。 对于应用问题来说，极大多数是下述情形：f(x)在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且仅有一个驻点，当是极大值点时，就是函数f(x)在a,b上的最大值；当是极小值点时，就是f(x)在a,b上的最小值。,八、曲线的凹向与拐点的判别 1、设函数f(x)在区间（a,b）内具有二阶导数，则： （1） 在（a,b）内0时，曲线弧是上凹的； （2） 在（a,b）内0时，曲线弧是下凹的； 2、拐点的充分条件，设f(x)在x=的某个邻域内具有二阶导数，且=0，若在的左右两侧邻近取值是异号的，则点（，f()）是

18、曲线y=f(x)的一个拐点；如果在的左右两侧邻近不变号，则点（，f()）不是曲线的拐点。 注意：10若函数在处连续，而一、二阶导数不存在时，点（，f()）也可能是曲线y=f(x)的一个拐点，视在的左右两侧是否变号而定。 20 拐点是曲线上的点，如（，f()）是拐点，不能说是曲线的拐点，应该说是曲线拐点的横坐标。,九、曲线渐近线的求法，函数作图 1、曲线渐近线的求法，函数作图 （1）若，则y=b是曲线y=f(x)的水平渐近线。 （1） 若，则x=是曲线y=f(x)的垂直渐近线（称点C为函数f(x)的无穷间断点）。 说明：x可改成x,x;x或改成x，x。求渐近线时,此法也适用。 2、函数作图。首先

19、要确定函数的定义域、曲线的对称性，然后利用阶导数判定函数的单调性和极值，利用二阶导数判定曲线的凹性与拐点（宜列表），再求曲线的渐近线，最后作图。根据函数的定义域和极值等确定坐标原点的位置，描写极值点对应曲线上的点和拐点等重要的点，画出渐近线，再根据单调性、曲线凹性用光滑曲线连接（必要时需补充一些点）。 十、导数的几何应用 1、根据实际问题列出函数关系式y=f(x)。 2、求f(x)在区间a,b上最大值步骤：（1）找出f(x)的所有驻点，找出f(x)的所有不可导点；（2）将所有这些点的函数值与两个端点的函数值一起比较大小；（3）最大者为最大值，相应点为最大值点，求最小值的步骤类似。,学习重点 一

20、、导数与微分 1、导数与微分的概念，导数的几何意义。 2、导数与微分的基本公式。 3、导数的计算（四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数的求导法、参变量函数的导数）。 4、求显函数的二阶导数。 二、导数的应用 1、用洛必塔法则求极限。 2、用一阶导数求极值，单调区间。 3、用二阶导数求凹凸区间，拐点。 4、求几何问题为主的最值问题。,典型例题分析 例1、设函数f(x)可微，则（ ） A、- B、 C、2 D、3 分析：导数是极限的具体应用，利用导数定义可以计算极限。 解： =2 故应选（C）,例2、设f(x)=（x-a）(x)，其中（x）在x=处可导，则=（ ）。 分析：由题设知（x）仅在x=

21、处可一点可导，并未指明（x）在x=的一个邻域内可导，因而不能运用乘积导数法则求，而得，而需应用导数在一点的定义直接计算。 解：根据导数定义，,= 说明：最后一步等式是由已知(x)在x=处可导，则一定连续，括号内填。 常见错误解法是：=（x-）= = 结果出一律，但求挥过程不符合题设条件。,例3，函数f(x)=在点x=0处的导数是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、不存在 解：=1 根据导数存在的充要条件是函数在该点的左、右导数存在且相等，故f(x)=在点x=0处不可导。,例4，设f（x）= 则f(x)在点x=1（ ） x-1,x1 A、不连续 B、连续但不可导 C、 D、 解：f(x)在x

22、=1可导等价于存在，分别考察左、右导数。 =lne=1 =,按号内应填D。 说明：考虑函数f(x)在x0点连续与可导问题，一般先考虑在x0 点的可导问题。若在x0 处不可导，再考虑在x0 处连续问题。函数f(x)在某一点x0 可导，则在x0 处一定连续；反之，,则不然。 例题小结：利用定义求导数值主要用于： （1）讨论分段函数分段点处的可导性（或导数值）； （2）在不能运用求导法则求导函数时计算导数值。 例5：若函数y=f(x)在点x0 处可导，且曲线y=f(x)在点（x0， f(x0)）处的切线平行于x轴，则（x0）（ ）。 A、等于零 B、小于零 C、大于零 D、不存在 解：应选A。,例6

23、：与曲线y=x3+3x2-5相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程是（ ）。 A、x+3y+6 B、3x+y+6=0 C、3x-y+6=0 D、x-3y+6=0 分析：曲线y=x3+3x2-5在点（x,y）处的切线斜率为。 直线6x+2y-1=0，得：y=-3x+1的斜率为。如果满足已知条件，应有，亦即3x2+6x=-3x=-1，并代入曲线方程y=，得切点（-1，-3），于是直线的点斜式方程，切线方程为y=-3x-6。 解：应选B。 例7：求曲线y=sinx在点x=处的法线方程 解： 故法线方程为：y=x-,得x-y-=0 例题小结：求曲线在某一点处切线方程和法线方程的步骤,（1）求导数

24、，计算导数值，得切线斜率或法线斜率 k切=，k法= （2）求该点函数值，用点斜式建立切线方程为法线方程。 L切：y-f()=;l法：y-f()=（x-x0）,例8，设函数y=x(x-1)(x-2)(x-3)，则=（ ） A、0 B、1 C、3 D、-6 解：=(x-1)(x-2)(x-3)+x (0)=(-1)(-2)(-3)=-6 应选D。 例9、设y=，则=（ ）。 A、 B、 C、 D、,解：先将函数化简： 应选B。 例题小结：初等函数求导数的关键是： （1） 熟练掌握求导的基本公式和法则，并能灵活、准确地运用。 （2） 求导数前要尽量注意将函数化简，减少复杂的计算。 例10若y=lns

25、inx，则=（ ）。,A、 B、cotx C、cotx D、tanx 解：= 应选B。 例11设f(x)=则=( ) 解：f(x)=(x+1)2-3(x+1)+2 =2(x+1)-3=2x-1 =(2x-1)1x =-1,应填-1。 例题小结： 求复合函数的导数时，首先要明确复合函数的复合过程，明确各个中间变量，然后由外层向内层逐一对中间变量求导数，再乘以中间变量的导数，切勿遗漏，为了防止出差错，宜每次划出中间变量，最后的结果整理化简（若引入中间变量，计算得到的最后结果不应留有中间变量）。 例12 设y-x,则( ) 解：将方程两边对x求导，得： 得： 应填答案,例13 设y是由方程sin(x

26、y)-所确定的函数，求 解：令x=0代入已知方程，得：0-，y(0)=1 将已知方程两边对x求导： cos(xy)(y+x)+=0,令x=0，y(0)=-1，代入得：（-1+0）cos0+=0 =2 说明：隐函数求导数常见的错误是将方程两边对x求导时，有的项漏乘，导数计算错误；计算导数值时有的没有将y(x0)确定，致使中含有未知数y。 例题小结：隐函数求导方法 由方程F（x,y）=0所确定的隐函数求导数时，只要将两边对x求导，必须视y是x的函数，然后解出。的结果中允许含y。,例14 已知f(x)=，求 分析 这是幂指函数求导数，一定要用对数求导方法。 解：对已知函数取对数，得 lnf(x)=x

27、ln(1+)=xln(x+1)-lnx 两边对x求导，得： ln(1+)+x() 得: =ln(1+) 所以 说明：常见的错误是用幂函数或指数求导公式直接计算： 或ln（1+）,例15 已知y=，求。 解：两边取自然对数： lny=ln(x-1)+ln(2-x)-ln(x-3)-ln(x+4) 两边对x求导数： （）,于是=（） 例题小结：对数求导法常适用于以下两种情况： （1）幂指函数y=u求导 （2）由若干简单函数的积、商或根式组成的初等函数。 例题16 求由参数方程 x=1+2t- 所确定的函数的导数。 y=2-3t+ 解： 故 =-（t+1） 说明：在参数方程 x=(t) 确定的函数中

28、，求导时要注意区分自变量与因变量。 y=(t),例17 设y=xn(n为正整数)，则（1）=（ ） A、0 B、1 C、n D、n! 分析：求简单函数的n阶导数，要通过一阶、二阶导数，找出规律得到。 解：, 每求导一次，幂函数次数降低一次，一般地有 =n(n-1)3.2.1=n! 故应选D。 例18 已知xy-sin(y2)=0,求(0,1),(0,1) . 解：将方程两边对x求导数，y+x=0 令x=0,y=1,得到(0,1)=- 再将方程两边对x求导，得 -cos()2()=0,将x=0,y=1, (0,1)=-代入上式，得 (0,1) . =- 说明：对隐函数求二阶导数时，宜对含一阶导数

29、的方程两边再对x求导，然后解出 ，式中要用已得的结果代入。而计算二阶导数值时，不必先解，可将x0,y0,代入方程，化简得。,例19 =（ ） A、 B、 C、 D、 解：= 应选B。 例20 设f(x)可微，则d()=( ) A、 B、 C、 D、 分析：求函数的微分，可利用导数和一阶微分形式不变性计算。 解法一，先求函数y=的导数， 所以 dy= 解法二，根据一阶微分形式的不变性 d()=df(x)= 应选C。 例21 求函数y=1+x的微分 解：对方程两边求微分 dy=dx+xd=dx+xdy 所以 dy= 说明：求微分过程中注意不要漏写dx或少写dy，例如 dy=或dy=dx+x都是错误

30、的。 例题小结：求函数的微分的方法有 （1）初等函数求微分，可利用微分法则和一阶微分形式的不变性直接计算。 （2）利用微分与导数的关系，先求，再写出微分dy=dx。 例22 下列函数中在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ） A、f(x)= B、f(x)=x,0.1,C、f(x)= x+2,x5 D、f(x)=,0,1 1,x,0,5 分析：函数在给定区间上是否满意罗尔定理要逐条验证三个条件，缺一不可， 解：f(x)= 是初等函数，-1，1在其定义域内，因而函数： （1）在-1，1上连续 （2）在-1，1内可导 （3）f(-1)=f(1)=1 满足罗尔定理条件，应选A。 例23 对于函数f(x)

31、=，满足罗尔定理全部条件的区间是（ ） A、-2，0 B、0，1 C、-1，2 D、-2，2 分析：已知函数是初等函数，在其定义域（-）内连续可导，故常由第三个条件来确定区间。 解：f(x)是偶函数，所给区间应是对称区间才满足f(a)=f(b),或计算区间端点函数值来确定 故选D。,例24 若函数f(x)在（ ）内可导，则（a,b）内至少存在一点，使f(b)-f(a)=(b-a)成立。 A、（a,b） B、a,b C、a, D、b 分析 拉格朗日中值定理要求函数在a,b上连续，（a,b）内可导，若条件加强了（便于使用），结论当然成立，可导必连续，就可选取答案。 解 应选（B） 例25 设y=x

32、3在闭区间0，1上满足拉格朗月中值定理，则定理中的=（ ）。 A、- B、 C、- D、 分析 根据中值公式， （a,b）, 先求，将a=0,b=1代入公式，得 3=1,= 因为（0，1），负值舍去，应选择D。 例36 设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-2)，则方程=0有（ ）。 A、一个实根 B、二个实根 C、三个实根 D、无实根 分析 如何确定的实根个数，可以利用罗尔定理。由罗尔定理可以推得：若,f(x)满足定理条件，在方程f(x)=0的两个根之间至少有方程的一个实根，从而可以确定的根的范围。 解 容易知道函数f(x)有三个零点； =1，x2=2，x3=3，在1，2，2，3上分别满

33、足罗尔定理三个条件，因而至少存在一点（1，2），使=0；至少存在一点（2，3）， 使=0，所以，是方程=0的两个实根，又因为=0是二次方程，至多有两个实根，应选（B）。 说明：本题考查了罗尔定理在确定代数方程根的数目的应用。注意函数与方程的区别。 例题小结 验证罗尔中值定理和拉格朗日中值定理必须掌握定理中所有条件，若条件加强了（便于使用），结论当然成立。 罗必塔法则解题方法：,应用罗必塔法则求极限，是一次函数极限的重要方法之一。计算极限问题中一类是确定型的，另一类是未定型的，对于未定型的极限都可以直接或变化后用罗必塔法则去试求，但应用时要注意： （1）验证定理成立的条件，确定为“”型或“”型未

34、定式后才能使用法则。 （2）只要符合定理中的条件，法则可以连续使用。若出现循环或愈做愈复杂的情况，则应改用其他方法或型式；若用法则求不出极限（或极限不存在）时，并不等于该极限不存在，应改用其他方法计算。 （3）对于其他类型的未定式“0，”、“”、“”、“”“”等类型，应先用对数变换成其他代数变换化成“”型或“”型，再运用罗必塔法则计算。 （4）在运用法则求极限过程中，应及时化简和利用极限运算法则，必要时可作变量替换。 （5）对于数列极限，是不能直接应用法则，但可以用法则先求出相应的连续变量的极限，然后得到数列的极限。,题结果不变形，盲目使用法则，会出现无限循环状态，而得不出结果。而“变形”后的

35、解法也不一定只有一种。 例29求（） 解：原式= = 例题小结：从此例可以看出，对于未定式（）型总可以通过变形使其化为“” 或“”型，再使用罗必塔法则求极限。,例31求 解：原式 = = 例31求 解：原式 =1 例题小结：对于“”型，“”型及“0”型也都属于y=f(x)g(x)这类函数，采用的方法是利用对数恒等式=x（也可以用取对数的方法），使原非指非幂函数变为复合函数，再利用连续函数极限运算性质，将极限过程运用到指数部分，再将指数部分表达式变型为“”或“”型，经使用罗必塔法则后，便可得到极限结果。 例32 求 错误解法：属“”型极限计算，采用罗必塔法则计算： （1）原式=1 （2）因极限不

36、存在，所以原函数极限不存在。,分析：（A）罗必塔法则不仅适用于未定型极限的计算，因而（1）中第二步等式不成立，导致结果错误。 （B）罗必塔法则是在三个条件都满足的情况得到结果，因条件之三不满足，故不能用法则计算。正确解法如下： 解：=1 注意：在极限计算过程中适当的恒等变形是关键，变量替换常常可以简化计算。 例33函数y=(x+1)3在（-1，2）内（ ）。 A、单调增加 B、单调减少 C、不增不减 D、有增有减 解：因为=3(x+1)20， x(-1,2)，函数单调增加，应选A。 例34求函数y= 的增减区间。,00) 说明：本题主要检查利用导数证明不等式的知识及逻辑推理能力，证明 （一）是

37、须掌握的基本方法；证明（二）是利用微分中值定理来证明。 例36求函数y=x-ln的单调区间和极值。 解：利用一阶导数的正负求单调区间，判别极值点 ，令得驻点x=2，在定义域（-）（0，+）内没有不可导点。 列表讨论：,所以函数的单调递增区间为（-）（2，+），单调递减区间为（0，2），函数的极小值f(2)=2(1-ln2) 例题小结：求函数极值的一般步骤： （1）求导数，令，找出函数的所有驻点和不可导点。 （2）利用极值充分条件确定极值点，（找出驻点后一定要加以判别）。 例37求函数y=2x+的极值。 解：函数定义域为D=（-，+） =2+ 不可导点x=0,所以，极大值为1，极小值为0。 例3

38、8函数y=x2+1区间（-1，1）内的最大值是（ ） A、0 B、1 C、2 D、不存在 解：应选D。 说明：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，而在开区间内不一定。 例39求函数y=x4-2x2+5在-2，2上的最大值与最小值。,解：=4x3-4x=4x(x-1)(x+1) 令=0，得驻点x=0,1,-1，没有不少导点，计算的所有驻点和区间端点的函数值； f(0)=5 f(1)=4 f(-1)=4 f(2)=13 f(-2)=13 比较得函数在-2，2上最大值为13，最小值为5。 说明：求函数最大小值，不必判别极值点，只要将驻点，不可导点和区间端点处的函数值加以比较大小来确定。 例40曲

39、线y=的拐点是（ ）,A、（2，0） B、（1，-1 ） C、（0，-2 ） D、不存在 解：因，6（x-1）,令0，得x=1，且在x=1的两侧异号，故点（1，-1）是曲线的拐点。应选B。 例41 对于函数f(x)=，下列结论正确是（ ）。 A、x=0是极大值点 B、x=0是极小值点 C、（0，0）不是拐点 D、（0，0）是拐点 解：， 且x0时，时， 点（0，0）是曲线的拐点。因这是单项选择，正确答案只有一个，应选D，对A、B不再讨论。,说明：本题考查极值点和拐点的概念。若末指明是单项选择，需对A，B进行讨论；f(0)=0,x=0驻点，在x=0的两侧均大于0，f(x)单调增加，x=0不是极值

40、点。 例42 求曲线y=ln(1+)的凹凸区间和拐点。 解：，= 令=0，得x=，没有不存在的点，列表讨论如下：,所以曲线在（-）（1，+）是凸的，在（-1，1）是凹的；曲线有两个拐点：（1，ln2）和（-1，ln2）。 注意：判别凹凸性和判别极值的方法应加以区别，前者是判断二阶导数在某区间的符号，后者是讨论当=0时，在x0处的值的符号，不可混淆。,例题小结：曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点的求法： （1）先求，找出=0和不存在但函数f(x)连续的点。 （2）将函数的定义域用（1）所指明的点划分成小区间，根据小区间内的符号确定曲线的凹凸性，并判别（1）中的点是否为拐点。 例43曲线y=的垂直渐

41、近线方程是（ ）。 A、仅为x=3 B、仅为x=1 C、x=-3和 x=1 D、不存在 解：， = 曲线有二条垂直渐近线x=-3和x=1，应选C。,例44曲线y=的不平渐近线为（ ）。 A、y=0 B、y=1 C、y=3 D、不存在 解：= =+ =0 曲线有水平渐近线y=0，应选A。 说明：为求渐近线计算极限时，若双侧极限不存在要计算单侧极限，本题表明曲线在x轴正向有水平渐近线y=0，在x轴负向无渐近线。,例45 曲线y=( ) A、 只有水平渐近线 B、只有垂直渐近线 C、没有渐近线 D、在水平渐近线也有垂直渐近线 解：=0，曲线有水平渐近线y=0; 又=，曲线有垂直渐近线x=2。 应选D

42、。 例题小结曲线y=f(x)渐近线的求法： 1、水平渐近线，若（也可以是单侧极限存在），则y=b是曲线的水平,2、垂直渐近线，找出函数f(x)的间断点x0,计算极限，（x0 称为无穷间断点，也可以是单侧的），则x= x0 是曲线的垂直渐近线（曲线有无垂直渐近线就是函数是否有无穷间断点）。对于有理分式函数，使分母等于零，而分子不等于零的点，就是函数的无穷间断点，所以x= x0 是函数的垂直渐近线。 例46 已知函数y=，试求其单调区间、极值、图形的凹向、拐点、渐近线并作出函数图形。（题解的方程代表解题的步骤） 解：D（f）(-) 非奇非偶函数f(-x)f(x),f(-x),令或x=1为一阶导数不

43、存在的点。 令或x=1为二阶导数不存在的点。,从表中结果可知：曲线拐点为（- ，），极小值为0；单调减区间（-）和（1，+）单调增区间（0，1）； 曲线在（-，-）为下凹区间，在（-，1）和（1，+）为上凹区间； 渐近线： =2，故y=2为曲线的水平渐近线； 故 x=1为曲线的铅垂渐近线。,特殊点的坐标：（0，0）、（）、（-1，）、（，2）、（2，8） 描点作图的顺序： A、 首先画作坐标（要求方向、起点、单位长度）； B、 画渐近线； C、 将特殊点描在坐标上； D、连线（要求光滑、连续）。,特殊点的坐标：（0，0）、（）、（-1，）、（，2）、（2，8） 描点作图的顺序： A、 首先画作

44、坐标（要求方向、起点、单位长度）； B、 画渐近线； C、 将特殊点描在坐标上； D、连线（要求光滑、连续）。,例题小结： 函数的作图是函数性质讨论的一种综合体现，作图的步骤如下： A、 确定函数的定义域及间断点； B、 判别f(x)的对称性，也即奇偶性。奇函数关于原点对称，偶函数关于Y轴对称。 奇函数的判别方法： f(-x)=-f(x); 偶函数的判别方法：f(-x)=f(x) 利用对称性可以给作图或列表带来方便，如果函数个有对称性，只需从对称点（轴）列出一半表格，作出一半图形，另一半图形可利用对称性画出即可； C、确定函数的增减区间，极值点、凹向、拐点； D、确定函数是否有渐近线，以便更准

45、确地描述函数变化的趋势； E、选出特殊点作为描点，一般包括曲线与轴的交点、极值点、拐点； F、画完整的坐标（方向、起点、单位长度）并描点作图。 注描点作图应保证曲线的连续性与光滑；切忌画成折线图形。,例47 欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸应该怎样设计和能使总造价最低？ 分析：这是极值应用题，要解决的问题是在一定条件（容积已定）下总造价最低，总造价是因变量，它取决于水池的底面积和侧面积，即水池的底圆半径和圆柱高度（池深），这两个变量又受容积已知的约束，因而只有一个独产变量。这样，就可以确定一元函数关系。再求它的最小值点和最小值。

46、 解：设水池底圆半径为r，深度为h，池底单位面积造价为2k(元)，总造价为y(元)，则 h=300, y=2kh+k2rh, 所以 y=2k+k(0r+) =4kr-600k 令=0,得r=(米) ，在定义域内仅有唯一驻点，根据实际问题的性质，一定存在,最低造价，因而这个驻点就是使总造价最低的点，故当r0=时水池总造价最低，这时水池深度 h=2=2r 是底半径的两倍，即该水池深度与池底直径相同时总造价最低。 例48 设计一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做可以使其用料最省。 解：设底边长为x,高为h，用料为y，V=108，h= y=x2+4xh=x2+4x= x2+ yx

47、=2x+= 由极值原理：令得x=6m(唯一) 当x6时，,当x6时， x=6为最小值点 于是h=3m，故当正方形边长为6米，高为3米时长方形容器用料最省。 例题小结： 这是一类通过几何公式，解决实际应用中的诸如路程最短，运费最省、用料最省等问题，常涉及的几何公式有：直角三角形的勾股定理，长方形面积，周长公式，圆的面积公式，圆柱体的体积与表面积公式等。其解题步骤归纳如下： （1）分析题意，明确要求的是那个量的最值，这个量是因变量。再分析这个量与那些量有关，利用简单的几何知识确定变量之间的关系。在一次函数中，独立变量只有一个，即问题中确定条件的变量作为自变量。 （2）求函数的驻点，用极值的充分条件判别极值，对于实际问题，根据问题的性质确定有最值，则唯一的驻点就是最值。,高等数学（1）学习指导（三）,内容 第五章 不定积分 第六章 定积分及其应用 基本要求 一、原函数和不定积分的概念 1. 理解原函数和不定积分的定义，搞清两者之间的关系;理解原函数在经济活动方面的意义。 2. 掌握不定积分的基本性质。 3. 理解不定积分的几何意义，能根据初始条件来确定积分常数的值。 二、基本积分公式 1. 熟记基本积分公式. 2.