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1、1,3.3 高斯-赛得尔迭代法,迭代公式(3-10,即Jacobi迭代)用方程组表示为,其中,2,因此，在Jacobi迭代法的计算过程中，,要同时保留,两个近似解向量,和,在迭代收敛时,因,比老值,更准确些, 求出新值,后用,代替前一次的,继续进行计算,这种充分利用新值,建立起来的迭代公式,p4,3,即每算出新近似解的一个分量,再算下一个,分量,时，用新分量,代替老分量,进行计算。,这样，在整个计算过程中，,只需用n个,单元存储近似解分量。,选初始向量,用迭代公式（3-13）产生近,似解序列,这种方法叫Gauss-Seidel迭代法，,式（3-13）为 Gauss-Seidel迭代法的计算公式
2、。,4,公式(3-13)用矩阵表示为,其中,0,5,0,移项可得,6,因为,故,存在,上式可改写成,如果用矩阵A来表示,记,0,(3-15),7,0,则,于是,8,将式(3-16)代入式(3-15)得,这是Gauss-Seidel迭代公式的矩阵表示,式中矩阵,为迭代矩阵。,(3-15),(3-16),9,算法3.2,1.输入,维数n,最大容许迭代次数N。,2.置 k=1,3. 计算:,10,4.若,输出,停机;否则转5。,5.若kN,置,转3;,否则输出失败信息,停机。,定理,若方程组,的系数矩阵A是对称正定矩阵,则 Gauss-Seidel迭代法收敛.,11,例 用Gauss-Seidel迭
3、代法求线性方程组,解 由Jacobi迭代法的计算公式,有,12,用Gauss-Seidel迭代法解例1。,仍取,按式(3-13)计算得,Jacobi迭代法,13,如此计算下去,计算结果见表3-2。,14,表 3-2,15,计算结果表明,用Gauss-Seidel迭代法求解例1中,的方程组比Jacobi迭代法效果好,迭代5次,所得到的结果与例1中迭代9次所得到的结果相仿。,事实上,对有些问题Gauss-Seidel迭代法确实比,Jacobi迭代法收敛得快,但也有Gauss-Seidel迭,代比Jacobi迭代收敛得慢,甚至还有Jacobi迭代,收敛, Gauss-Seidel迭代发散的情形。,1
4、6,3.4 松弛法,为了加速迭代过程的收敛,我们通过引入参数,在Gauss-Seidel迭代的基上得到一种新的迭代法.,记,其中,由式(3-13)(即高斯-赛德尔迭代公式)算出。,于是有,17,若将,看作修正项,则Gauss-Seidel迭代的第k次,近似解,以此项修正后得到新的近似解,松弛法是将,乘上一个参数因子,作为修正项而得到新的近似解,18,其具体公式为,即,按式(3-19)计算方程组(3-1)的近似解序列的方法称为,松弛法,称为松弛因子。,19,算法3.3,1.输入,参数,误差限,最大容许迭代次数N.,2. 置,3.计算,当,时称为低松弛,时是Gauss-Seidel,迭代,时称为超
5、松弛,简称SOR法,(Successive Over- Relaxation).,20,21,例2 取,用超松弛法求解方程组,解: 由迭代公式(3-19),有,22,如此继续下去，计算结果如表3-3：,将,代入上式得,23,24,所以，方程组有解,与精确解,比较,误差为,松弛法的迭代公式(3-19)的矩阵表示为,25,松弛法的迭代矩阵为,因为,故,存在,从而有,存在, 式(3-20)可以写为,p30,27,松弛因子的选取对收敛速度影响极大，,但目前尚,无可供实用的计算最佳松弛因子的方法。,实际,计算时，,通常是根据系数矩阵的性质及实际计,算经验，,通过试算来确定松弛因子的值。,特别当,28,为
6、提高计算效率，改善收敛性，,又产生了对称超松,弛法，简称SSOR法。,对称超松弛法实质上是将,L,U同等看待 ，连续两次使用SOR迭代公式得到 。,它的优点是对某些使用SOR法不收敛问题，,可以构,造出收敛的SOR法 ；,松弛法对松弛因子十分敏感，,SSOR法则不敏感；充分利用内外存交换时所得到,的信息，提高计算效率。,29,1978年，Hadjidimas提出快速松弛法，,简称AOR法。,这种方法引进了两个松弛因子,迭代的收敛速度。,当,时，,AOR法就是松弛法，,时，为Gauss-Seidel,方法，,时，为Jacobi,方法。,因此, AOR法是前面,所介绍方法的推广，,可望通过松弛因子的适当选取提高,30,例 试分别用Jacbi迭代法,Gauss-Seidel迭代法和超松弛,法(取,)解线性方程组,当,时迭代终止,方程组的精确解为,31,解 由Jacobi迭代法的计算公式,有,(a),取,代入上式得,迭代24次后得方程组的近似解,Gauss-Seidel迭代公式:,32,迭代14次后得方程组的近似解,松弛法迭代公式为,取,迭代8次后得方程组的近似解,33,