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1、第五章 动态元件与 动态电路导论,包含动态元件的电路称为动态电路。,深圳大学信息工程学院,返回目录,5.1 电容元件 5.2 电感元件 5.3 动态电路导论 5.4 动态电路的初始状态与初始条件 5.5 一阶线性常系数微分方程的求解 5.6 二阶线性常系数微分方程的求解 5.7 例题,5.1 电容元件,5.1.1 （理想）电容元件的定义 5.1.2 电容元件的伏安特性 5.1.3 电容元件的储能 5.1.4 电容元件的特点 5.1.5 电容元件的串、并联 5.1.6 电容器的参数和电路模型,5.1.1 （理想）电容元件的定义,电容元件的符号：,其中：q电荷，单位：库仑（c） u电压，单位：伏特
2、（v） C电容（正常数），单位：法拉（F）,线性时不变电容元件的定义式：,电容元件的定义式：,5.1.2 电容元件的伏安特性,*若 u 与 i 取关联参考方向， 有,其中 t0 为初始时刻，u(t0) 为初始电压。,*若 u 与 i 取非关联参考方向， 则,5.1.3 电容元件的储能,关联参考方向下，,电容吸收的电功率为：,请点击查看关于电容元件的储能分析,若取尚未充电时刻为初始时刻，可得 t 时刻电容的储能为：,从 t0 时刻到目前时刻 t，电容吸收的电能（即电场能量的增量）为：,例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容的 电流、功率及储能 。,解：,或,5.1.4 电容元件的特点,*电
3、压有变化，才有电流。,*具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容 可视作开路。,*电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为,*电容电压具有记忆性和连续性。,5.1.5 电容元件的串、并联,*串联 n个电容相串联的电路，各电容的端电流为同一电流 i。,Ceq可称为n个电容串联的等效电容。,式中,由KVL，端口电压,根据电容的伏安关系，有,Ceq为n个电容并联的等效电容。,由KVL，端口电流,式中,根据电容的伏安关系，有,例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零， 给定 试求ab间的等 值电容C,解：,ab间等值电容为,5.1.6 电容器的参数和电路模型,电容器的两个主要参数：电容，额定电
4、压。,电容器的电路模型：,5.2 电感元件,5.2.1 （理想）电感元件的定义 5.2.2 电感元件的伏安特性 5.2.3 电感元件的储能 5.2.4 电感元件的特点 5.2.5 电感元件的串、并联 5.2.6 电感线圈的参数和电路模型,5.2.1 （理想）电感元件的定义,电感元件的符号,（取 i(t) 与 (t) 的参考方向符合右手螺旋则。）,电感元件的定义式：,其中： 磁通链，单位：韦伯（Wb） i电流，单位：安培（A） L电感（正常数），单位：亨利（H）,（线性时不变）电 感元件的定义式：,5.2.2 电感元件的伏安特性,*若 u 与 i 取关联参考方向， 根据电磁感应定律，有,其中 t
5、0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。,*若 u 与 i 取非关联参考方向，则,5.2.3 电感元件的储能,关联参考方向下，电 感吸收的电功率为：,从 t0 时刻到目前时刻 t，电感吸收的电能（即磁场能量的增量）为：,若取尚未建立磁场时刻为初始时刻，可得 t 时刻电感的储能为：,例：已知电感两端电压波形 如图所示，i(0)=0，求 电感的电流及功率 。,其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。,解：,方法1：分段积分求表达式 。,方法2：求面积法 。 求出特殊时间点上的电流值，再绘制其波形图。,用求面积法，易于求得：,由于,5.2.4 电感元件的特点,*电流有变化，才有电压。,*在直
6、流稳态电路中，电感可视作短路。,*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为,*电感电流具有记忆性和连续性。,5.2.5 电感元件的串、并联,*串联,Leq的倒数表示式为,解：在t=0-，应用KCL于A点，得L1 中的初始电流为,图中,5.2.6 电感线圈的参数和电路模型,电感器,电感器的电路模型：,电感器的两个主要参数：电感，额定电流。,5.3 动态电路导论,包含至少一个动态元件（电容或电感）的 电路为动态电路。,含有一个独立的动态元件为一阶电路。（电路方程为一阶常系数微分方程）,含有二个独立的动态元件为二阶电路。（电路方程为二阶常系数微分方程）,含有三个或三个以上独立的动态元件为高阶电路
7、。（电路方程为高阶常系数微分方程）,动态电路（只讨论线性非时变动态电路）,换路、暂态与稳态的概念,换路：电路结构或参数发生突然变化。,稳态：电路微分方程解中的暂态分量已衰减到零。有两类稳态电路：,暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。,过渡过程产生的原因： 外因换路；内因有储能元件。,5.4 动态电路的初始状态与初始条件,t0+ 和 t0- 若电路 在 t0 时刻换路，则 t0- 为换路前的一 瞬间， t0+ 为换路后最初的一瞬间（称为换 路后的初始时刻）。,原始状态 电容电压和电感电流为电路的状态变量。 t0- 时刻的电容电压和电感电流值为电路的原始状态，它们反映了换路前电路所储
8、存的能量。,电路的换路定则,证：由于有限电流 ic 在无穷小区间内的积零，因此,电容的换路定则 若换路瞬间电容电流 ic 为有限值，则,电感的换路定则 若换路瞬间电感电压 uL 为有限值，则,根据换路前的电路求出 uc(t0-) 和 iL(t0-)。,初始状态与初始条件的确定,对 t0 等效电路求解，求出所需初始电流和电压。,根据下述方法画出 t0 时刻的等效电路： 换路后的电路； 每一电感用一电流源替换，其值为 iL(t0)； 每一电容用一电压源替换，其值为 uc(t0)； 若独立源为时间函数，则取 t0 时刻的函数值；,依据换路定则确定 uc(t0) 和 iL(t0)。,例1：电路如图，已
9、知 电路换路前已达稳态， 求 uc(0) 和 ic(0)。,解：,由于换路瞬间 ic 不可能为无穷大（否则电阻上有无穷大电压，KVL将不成立。），因此,由0等效电路可求得,例2：电路如图，已知电路换 路前已达稳态，求 uL(0) 、 i (0)、 i1(0) 和iL(0)。,解：,由于换路瞬间 uL 不可能为无穷大（否则4电阻有无穷大电流，KCL将不成立。），因此,由0等效电路可求得,5.5 一阶线性常系数微分方程的求解,一阶齐次方程的求解,其中 x(t) 为待求变量，A 及X0 均为常数。,方程和初始条件,（16）式为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的特征根或固有频率。可求得,求通解 （
10、满足（11）式且含有一个待定常数的解。）,确定待定常数K 将初始条件（12）式代入通解（13）式，得,即,于是得到原问题的解。,例：求解方程,其中 x(t) 为待求变量，w(t) 为输入函数，A、B 及X0 均为常数。,方程和初始条件,一阶非齐次方程的求解,求 xh(t) 前已求得 其中 s 为微分方程的特征根。,求 xp(t) 特解 xp(t) 的 形式与输函数 w(t) 的形式有关,确定待定常数K,求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解（23）式，可确定待定常数K，从而得到原问题的解。,5.6 二阶线性常系数微分方程的求解,二阶齐次方程的求解,其中 x(t) 为待求变量，
11、a、b、A 1及A2 均为常数。,方程和初始条件,（满足（11）式且含有二个待定常数的解。）特征方程,设特征根（固有频率）为 s1和 s2 ，根据 s1和 s2 的不同情况，（11）方程有如下形式的通解。,求通解,确定待定常数,将初始条件（12）式代入通解中，可求得待定常数（K1，K2 ）、（K，）或（K，），从而 得到原问题的解。,二阶非齐次方程的求解,方程和初始条件,其中 x(t) 为待求变量，w(t) 为输入函数，a、b、c、A 1及A2 均为常数。,求通解 （21）式的通解由两部分组成,其中 xh(t) 为（21）式对应齐次方程的通解，xp(t) 为（21）式的一个特解。,xh(t)的
12、求解如前所述， xp(t) 的形式与 w(t) 有关。,将假定的xp(t) 代入（21）式，可求得特定常数Q、(Q1，Q2)、(Q，)或(Q，)。,求原问题的解,求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解（23）式中，可确定其中的两个待定常数，从而得到原问题的解。,线性常系数微分方程解的结构为,其中 xh(t) 的形式决定于微分方程的特征根，称为自由分量； xp(t) 的形式决定于输入函数，称为强制分量。,5.7 例题,例1：如图所示为一电容的电压和电流波形。 （1）求C； （2）计算电容在 0t1ms 期间所得到的电荷； （3）计算在 t=2ms 时吸收的功率； （4）计算在
13、t=2ms 时储藏的能量。,解： （1）0t1ms期间，由电容的电压、电流 波形可得,（2）由电压波形得到 u(1)=2V,u(0)=0 t=1ms时，电容的电荷,可得,由电容元件的VAR,t=0时，电容的电荷 q(0)=0,0t1ms期间得到的电荷,(3) t=2ms时，电容电流为0。 所以，电容吸收的 功率为,(4),（1）求uL(t),并绘波形图； （2）求电源电压us(t)。,mA,V,t0 uR(t)=0 i(t)=0 uL(t)=0,电感电压波形如下图所示,(2) 由KVL uR+ uL- us=0 us = uR+ uL,V,求uL(t)用两种不同的方法。,V,V,V,求电容C左侧的含源一端口电阻网络的等效 戴维南支路的参数。,求开路电压 ，求短路电流,则,根据一阶电路的三要素求解法公式，可求得,求得电容电压 后，可以方便地求得,换路后的电路为常态网络，,由于两个r、L并联支路一样，初始状态也一样， 显然,于是,则其数值方程为,消去变量I可得一阶微分方程式,解之可得,