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1、1. 有理式的不定积分,3-3 有理式的不定积分与有理化方法,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,若干部分分式之和,其中部分分式的形式为,部分分式:,有理函数积分法,如果 有一个 重实根 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和:,如果 中包含因子 时 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和:,例如 将真分式 分解成部分分式.,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,例1 求,解,第一种方法: 待定系数法，,可以用如
2、下的方法求出待定系数.,上式通分后得,比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：,从而解得,故有,于是,化简并约去两端的公因子 后为,得,例 2 求,两端去分母,得,或,比较两端的各同次幂的系数及常数项，有,解之得,解,补例,解,例 3 求,解,即有,即,或,总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分 都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说 ,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的 乘积,从而把有理函数 分解为多项式与部分分式之和.因此, 有理函数的原函数都是初等函数.,但是,用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁 ,只是在没有
3、其它方法的情况下,才用此方法.,例4 求,解,补例 求,解 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,(1) 三角有理式：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数三角函数有理式可记为,2. 三角函数有理式的不定积分,(2) 三角有理式的积分法：,令,万能替换公式：,例 4 求,解,令,，则,注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；,（2）万能代换不一定是最好的；,（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非“万能的”）：,1）若 R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=cosx 为积分变量；,2）若 R(sin
4、x, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=sinx 为积分变量；,3）若 R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取 u=tanx 为积分变量.,例 5 求,解,例 6 求,解,例 7 求,解,注,3. 某些根式的不定积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例 8 求,解 令,则,原式,例 9 求,解 令,则,原式,补例 求,解 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,习题 3-3 7,9,13,19,21,25,31,33.,