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1、2 第二型曲面积分,教学目的： 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式 教学内容： 曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式 (1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式 (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系,曲面的侧 第二型曲面积分概念 第二型曲面积分的计算 两类曲面积分的联系, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),一、曲面的侧,设连通曲面 S 上处处有连续,设 M0 为曲面 S 上一点，确定,方向为正方向，另一个方向为负方向.,L 为
2、S 上任一经过点 M0 且不超出 S 边界的闭曲线.,设点 M 从 M0 出发，沿 L 连续移动， M 在 M0 点与M0,变动的切平面（或法线）,曲面在M0 点的一个法线,有相同的法线方向，,当点 M 连续移动时，其法线方向,也连续变动，最后当 M 沿 L 回到M0 时，若这时 M 的,法线方向仍与 M0 点的法线方向一致，则称此曲面 S 为,双侧曲面；若与 M0 的法线方向相反，则称 S 为单侧曲,面,1. 问题的提出,从给定曲面 S 的负侧流向正侧，,设某流体以一定的速度,求单位时间内流经曲面 S 的流量 E,如果流体的流速是不变的常向量 v ，,S 是平面，其正侧的单位法向量为,no
3、,时间内流经曲面 S 的流量 E 为：,E = v no S,S 的面积记为 S ，则单位,二、第二型曲面积分的概念,将曲面 S 任意分成 n 块,设该点的单位法向量为：,流经该点的流速为,在小曲面块 Si 的正侧上,任取一点,Si i = 1, 2, . . . , n,则单位时间内流经小曲面 Si的流量近似地等于,其中 Si 为小曲面Si 的面积.,记,它们是 Si 的正侧分别在坐标面,面积的近似值，于是单位时间,yz , zx 和 xy 上投影区域,内流经小曲面 Si 的流量,也近似地等于,故单位时间内由曲面 S 的负侧流向正侧的 总流量,第二型曲面积分的定义,设 P , Q , R 为
4、定义在双侧曲面 S 上的函数，在 S 所,指定的一侧作分割 T ，把 S 分为 n 个小曲面 S1 , S2,. . . , Sn , 记,分别表示 Si 在三个坐标轴上的投影区域的面积, 在 Si,上任取一点,若,存在，则称此极限为函数 P , Q , R 在曲面 S 所指定,一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分,或,记作,常简记为,若令,则第二型曲面积分也记作向量形式：,由第二型曲面积分的定义，流体以速度,从曲面 S 的负侧流向正侧的总流量,称为P 在有向曲面S上对坐标 y, z 的曲面积分;,称为Q 在有向曲面S上对坐标 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面S上对坐标 x
5、, y 的曲面积分;,若以 -S 表示曲面 S 的另一侧，则由定义可得,3. 第二型曲面积分的性质, 若曲面 S 由两两无公共内点的曲面,Si i = 1, 2, . . . , n 所组成，则,定理22.2,取上侧,是 S 上的连续函数, 则,设光滑曲面,三、第二型曲面积分的计算,注：,积分,的计算，必须先将曲面,表示成：,再代公式计算,证:,S 取上侧,说明:,如果积分曲面 S 取下侧, 则,若曲面 S 是母线平行于 z 轴的柱面（垂直于 xy 坐,标面）,则,(前正后负),将曲面 S 表示为,若曲面 S 是母线平行于 x 轴的柱面（垂直于 yz 坐,标面）,则,积分,的计算方法：,(右正
6、左负),若曲面 S 是母线平行于 y 轴的柱面（垂直于 zx 坐,标面）,则,积分,的计算方法：,将曲面 S 表示为,解,例1. 计算曲面积分,其中 S 为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,把 S 分为上下两部分,思考：,例. 计算,其中 S 是以原点为中心, 边长为 2 的正立方,体的整个表面的外侧.,解,其中 S1 是 S 的顶部,取上侧,S2 是S 的底部,取下侧,由对称性，有,例. 计算,其中 S 是由平面 x = y = z = 0 和 x + y + z = 1 所围的四面,体表面的外侧.,解:,设 S1 是,取上侧,S2 是S 的底部,取下侧,在 xy 坐标面上的投影区域为 Dxy,先计算积分,由对称性,例. 计算,其中 S 是球面,取外侧为正向.,解:,设 S1 是上半球面,取上侧,S2 是下半球面,取下侧,在 xy 坐标面上的投影区域,先计算积分,同理可得,所以,设光滑曲面 S ，其指定一侧的法方向余弦为：,则沿曲面 S 指定一侧的曲面积分,四、两类曲面积分的联系,一般地有,其中,为曲面 S 指定一侧的法方向余弦.,向量形式：,其中,内容小结,1. 定义,2. 性质,3. 计算,设,上正下负,两类曲面积分的联系:,