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1、平面向量的数量积,走进高考第一关 基础关,教 材 回 归 1. 向量的夹角 (1)已知两个_向量a和b,作 =a, =b,则AOB=叫做向量a与b的夹角. (2)向量夹角的范围是_,a与b同向时,夹角=_;a与b反向时,夹角=_. (3)如果向量a与b的夹角是_,我们说a与b垂直,记作_.,非零,0,0,90,ab,2. 向量的投影 _(_)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)投影. 3. 平面向量数量积的定义 ab=_(是向量a与b的夹角),规定:零向量与任一向量的数量积为_.,|a|cos,|b|cos,|a|b|cos,0,4. 向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的
2、单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=_=_. (2)ab=_. (3)当a与b同向时,ab=_; 特别地,aa=_或|a|=_.,a e,|a|cos,a b=0,|a|b|,|a|2,(4)cos=_. (5)|ab|_|a|b|. 5. 向量数量积的运算律 (1)ab=_.(交换律) (2)(a)b=_=_.(数乘结合律) (3)(a+b)c=_.(分配律) 6. 平面向量数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=_. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与b的夹角,则cos= .,b a,(a b),a (b),a c+b c,(3)
3、若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|a|=_,这就是平面内两点间的距离公式. (4)设a=(x1,y1),b=(x2,yy2),则ab_.,a b=0,x1x2+y1y2=0,考 点 陪 练 1. 设abc是任意向量,mR,则下列等式不一定成立的是( ) A. (a+b)+c=a+(b+c) B. (a+b)c=ac+bc C. m(a+b)=ma+mb D. (ab) c=a(b+c),答案:D,2. P是ABC所在平面上一点,若 = = ,则P是ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心,答案:D,3. 已知a 5b均为单位向量,它们的
4、夹角为60,那么|a+3b|等于( ),答案:C,4. 非零向量 =a, =b,若点B关于 所在直线的对称点为B1,则向量 为( ),答案:A,5. (2010福建福州质检)(基础题,易)直角坐标系xOy中, =(2,1), =(3,k),若三角形ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,答案:B,解析: - = =(-1,1-k), (1) =0k=-6, (2) =0k=-1, (3) =0k2-k+3=0, 由0得无解.,解读高考第二关 热点关,类型一:数量积的性质及运算,解题准备:1. |a|b|cos叫做向量a和b的数量积(或内积),记作
5、ab,即ab=|a|b|cos. 2. 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ab=a1b1+a2b2. 3. 向量的数量积是历年高考命题的热点,涉及到本知识点时,主要考查平面向量数量积的运算、化简、证明问题.,(1)设abc是任意的非零向量,且互不共线. 给出以下命题:(ab)c-(c a)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(c a)b不与c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命题的是_.,类型二:利用数量积解决长度垂直问题,解题准备:常用的公式与结论有:|a|2=a2=a a或|a|= = ; |ab|= = ; 若a=(x,y),则|a|=
6、 .其中两个公式应用广泛,需重点把握.abab=0(a,b均为非零向量);设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.,解析对于只有当向量b,c的方向相同时,二者才相等所以错;考虑式对应的几何意义,由三角形两边之差小于第三边知正确;由c)a-(ca)bc=0知(bc)a-(ca)b与c垂直,故错;向量的乘法运算符合多项式乘法法则,所以正确.所以正确命题的序号是.,分析利用|a|= 及abab=0即可解决问题.,典例2已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120. (1)计算|a+b|,|4a-2b|; (2)当k为何值时,(a+2b)(ka-b)?,解由已知,a
7、b=48(- )=-16. (1)|a+b|2=a2+2ab+b2 =16+2(-16)+64=48, |a+b|=4 . |4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464=3162. |4a-2b|=16 . (2)若(a+2b)(ka-b),则(a+2b)(ka-b)=0, ka2+(2k-1)ab-2b2=0. 16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.,评析(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: |a|2=a2=aa; |ab|2=a22ab+b2; 若a=(x,y),则|a|= . (2)非零向量abab=0是
8、非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.,类型三:利用数量积解决夹角问题,解题准备: 1. 涉及到与夹角有关的问题,往往利用向量的夹角公式解决,这也是平面向量数量积的一个重要考点. 2. cos= ;设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 cos= . 3. 在应用上述公式求夹角时,要考虑夹角的取值范围.,典例3已知ab都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角. 分析由公式cos= 可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的
9、充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.,评析(1)求两个向量的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是00,1800.正确理解公式是关键. (2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.,笑对高考第三关 成熟关,名 师 纠 错,误区:向量的模与数量积的关系不清致误,典例已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-kb|= |ka+b|,其中k0. (1)试用k表示ab,并求出ab的最大值及此时a与b的夹角的值; (2)当ab取得最大值时,求实数,使|a+b|的
10、值最小,并对这一结果作出几何解释.,剖析本题可以通过对已知条件两端平方解决,容易出现的问题是对向量模与数量的关系不清导致错误,如认为|a-kb|=|a|-|kb|或|a-kb|2=|a|2-2k|a|b|+k2|b|2等都会得出错误的结果.第二个易错之处就是在得到ab=- 后,忽视了k0的限制条件,求错最值.,评析向量的模与数量积.向量的模与数量积之间有关系式|a|2=a2=aa,这是一个简单而重要但又容易用错的地方,由这个关系还可以得到如|ab|2=|a|22ab+|b|2,|a+b+c|=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2bc+2ca等公式,是用向量的数量积解决向量模的重要关系式.在
11、解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条件,用好向量的模与数量积之间的关系.,变式:设非零向量a,b的夹角为60,是否存在满足条件的向量a,b,使得|a+b|=2|a-b|?无论是否存在都请说明理由.,解:假设存在向量a,b满足|a+b|=2|a-b|,则 |a+b|2=4|a-b|2, 即|a|2+2ab+|b|2=4(|a|2-2ab+|b|2),3|a|2-10ab+3|b|2=0, 由于ab=|a|b|cos60= |a|b|,故3|a|2-5|a|b|+3|b|2=0, |b|0,3( )2-5 +3=0,注意到 为实数,对于上述以 为未知数的方程, =(-5)2-433=-1
12、10,上述方程无实数解,故满足|a+b|=2|a-b|的向量a,b不存在.,解 题 策 略,1. 注意类比平行垂直关系的联系与区别,对于两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)有 (1)abab=0x1x2+y1y2=0; (2)abab=|a|b|x1y2-x2y1=0.,2. 向量的长度距离和夹角公式 已知a=(a1,a2),则|a|= ,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.如果A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= . 事实上这就是解析几何中两点间的距离公式. 已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量的夹角为cos= . 用坐标表示向量,利用向量的
13、数量积可以解决有关垂直的问题,还可以求向量的长度夹角, 从而可以发现向量与解析几何三角函数有密切的联系.,快 速 解 题,典例求向量c,使它与向量a=( ,-1)和b=(1, )的夹角相等,且|c|= .,解题切入点设c=(x,y),由题意,cos=cos,解下去便可,分析思维过程本题思路清楚,设出向量c=(x,y),使c与a夹角的余弦等于c与b夹角的余弦即可.又由|c|= ,联立两方程,解之即得.,快解如图,由题设知,以a,b为边的三角形为等腰直角三角形,直角边长为2,斜边AB长为2 ,斜边上的中线OC长恰 为 .且OC平分直角AOB,点C为AB的中点,由中点坐标公式得c=( , ),且-c
14、也满足题意或c=(- ,- ).,方法与技巧详解是求向量的夹角求模,属最基本的知识运用.而快解却准确地抓住了题设条件,只运用中点坐标公式就可以获解了.普通情况下,解题技巧运用的并不多,主要是发现题目的特点.,得分主要部分夹角公式的运用,由题设得两个方程,解方程组.,易丢分原因详解中,解方程时,分母有理化不出错就不会丢分.而快解却很容易丢分,图中OC很明显,但- 从图中反映不出来,做题时应十分注意.,教 师 备 选,定比分点公式的应用,定比分点坐标公式关键是分清起点终点分点,要记准公式形式.,典例(青岛联考)已知A(3,-4),B(-9,2),若点P满足 =- ,求点P的坐标.,分析这是利用线段
15、定比分点分式,求点的坐标的基本题目.由于AB哪个点都可以做分点,所以就有不同的做法. 由 =- ,知 和 共线.,评析(1)前两种解法都是利用线段定比分点坐标公式.在使用此公式时,一定要分清始点分点终点,注意 = ,这始分终顺序一旦确定,其相应的值也就确定了.解法1是始(A)分(P)终(B),P是外分点,0,计算时比解法1好,尤其解法2中的=3是正整数,前两种解法以解法2较好. (2)点B点P点A可任选一个为起点(当然选择时以最有利于解题为准),选好起点终点定比分点后,要确定好,并由内(外)分点判断的正(负)号.,(3)解法3并没有用定比分点公式,而是直接根据已知条件 =- ,由“向量相等则其
16、坐标相等”,经过坐标的计算而求得P的坐标,解法并不比用公式繁琐,而且紧扣向量的坐标运算法则.,课时作业二十六 平面向量的数量积,一选择题 1. (能力题,中)已知,在ABC中,若 2= + + ,则ABC是( ) A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形,答案:C,2. (2010高邮模拟)(能力题,中)已知向量 =(2,1), =(1,7), =(5,1),设M是直线OP上的一点(O为坐标原点),那么 的最小值是( ) A. -16 B. -8 C. 0 D. 4,解析: = =(2,), =(1-2,7-), =(5-2,1-), =5(-2)2-8-8,故选
17、B.,答案:B,3. (能力题,中)已知向量ae,|e|=1满足:对任意tR,恒有|a-te|a-e|,则( ) A. ae B. a(a-e) C. e(a-e) D. (a+e)(a-e),答案:D,4. (能力题,中)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于P点,一分钟后,其位置在Q点,且POQ=90,再过两分钟后,该物体位于R点,且QOR=60,则tan2OPQ的值等于( ) A. B. C. D. 以上均不正确,答案:C,解析:以O为原点,OP为x轴,OQ为y轴建立直角坐标系,设P(m,0),Q(0,n),则有 =2 ,得R(-2m,3n),由QOR=60,得cos
18、QOR= = = ,得 27n2=4m2,即tan2OPQ= . 故选C.,答案:B,6. (2010济南模拟)(能力题,中)在ABC中, =3,ABC的面积S ,则 与 夹角的取值范围是( ),答案：B,二填空题,7. (2010济钢模拟)(基础题,易)已知|a|=2,|b|= ,a与b的夹角为45,要使b-a与a垂直,则=_.,2,解析:由b-a与a垂直,(b-a)a=ab-a2=0,所以=2.,8. (经典题,中)在ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则 ( + )的最小值是_.,-2,解析:令| |=x且0x2,则| |=2-x. ( + )= 2 =-2(2-x)x=2
19、(x2-2x)=2(x-1)2-2-2. ( + )最小值为-2.,9. (能力题,中)已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=( ,-1),n=(cosA, sinA).若mn,且 acosB=bcosA=csinC,则角B=_.,解析:mn= cosA- sinA=0,tanA= ,A= . 又由正弦定理和acosB=bcosA=c sinC可知 sinAcosB+cosA sinB= sin2C即 sin(A+B)= sinC= sin2C, sinC=1或sinC=0(舍). C= ,B= .,三解答题,10. (易错题,中)已知|a|= ,|b|=1,a与b的夹角为
20、45,求使向量(2a+b)与(a-3b)的夹角是锐角的的取值范围.,故使向量2a+b和a-3b夹角为0的不存在. 所以当2或-3时,向量(2a+b)与(a-3b)的夹角是锐角.,评析:由于两个非零向量a,b的夹角满足0180,所 以用cos= 去判断分五种情况:cos=1,=0; cos=0,=90;cos=-1,=180;cos0且cos1,为锐角.,11. (2010东营一模)(经典题,中)已知a=( ,1),b= ,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,试求 的最小值.,由xy知a+(t2-3)b(-ka+tb)=0,即 -ka2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)ab=0, -k22+(t3-3t)12+(t-t2k+3k)0=0,12. (综合题,中)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ) 且0, . (1)求 的最值; (2)若|ka+b|= |a-kb|(kR),求k的取值范围.,分析:应用向量数量积的运算转化成关于为变量的函数,可求出第(1)问,第(2)问通过模的关系,建立与k的关系式,通过三角函数的有界性求k的范围.,