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1、8.6 多元函数微分法在几何中的应用,8.6.1 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,解,切线方程,法平面方程,情形1.空间曲线方程为：,法平面方程,特殊地：,切线方程,情形2.空间曲线方程为,视x为自变量，方程组确定的隐函数为y(x),z=z(x),两边对x求导,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,8.6.2
2、 曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,切平面方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：如果空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程,曲面在M处的法线方程,令,曲面的法向量,8.63 全微分的几何意义,空间曲面方程形为二元函数：,曲面在M 处的切平面方程,切平面上点的竖坐标的改变量,因为曲面在M处的切平面方程为,全微分的几何意义：,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）,（求法向量的方向余弦时注意符号）,小 结,思考题,思考题解答,设切点,依题意知平面法向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,