《10组合变形.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《10组合变形.doc（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、10 组合变形10.1 组合变形的概念和实例图10.1起重机构ACB梁受力分析 图10.2传动轴受力分析分析组合变形问题时，通常是先把作用在杆件上的载荷向杆件的轴线简化，即把构件上的外力转化成几组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形。工程中，常见的组合变形主要有斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲的组合、弯曲与扭转的组合。下面讨论这三种组合变形的强度计算问题。10.2 斜弯曲图10.4 斜弯曲分析参考图10.2.1 斜弯曲时横截面上的应力外力简化 内力： 式中是集中力P在横截面m-n上所引起的弯矩，在计算中可取绝对值。应力: 任意截面m-n上任意点C（y，z）处的应力可采用叠加法计算。在xy
2、平面内的平面弯曲（由于的作用）产生的正应力为 由于在xz平面内的平面弯曲（由于的作用）产生的正应力为 C点处的正应力，即 （10.1）10.2.2 斜弯曲时的强度计算强度条件为 （10.2）对于有棱角的矩形截面，根据图10.4所示的应力分布，公式（10.2）还可写成 （10.3）若材料的抗拉强度和抗压强度不同，则应分别对点和点都进行强度计算。 因为，所以有 （10.4）此即斜弯曲时的中性轴方程。设中性轴与z轴的夹角为，根据公式（10.4）有 （10.5）由式（10.5）可得出以下两点结论：(1) 对于的截面，则。这表明此种梁在发生斜弯曲时，其中性轴与外力P所在的纵向平面不垂直（图10.5b）。
3、(2) 对于圆形、正方形及其他正多边形截面，由于，故可由式（10.5）得：，这说明中性轴总是与载荷所在的纵向面垂直，即此类截面的梁不会产生斜弯曲。10.2.3 斜弯曲的变形计算图10.6斜弯曲变形示意图 （10.6）设总挠度与y轴的夹角为（图10.6b），则有 （10.7）关于挠度、中性轴及外力P的位置之间的关系，现作进一步讨论：(1) 由式（10.7）知，若梁的横截面，则，这说明梁在变形后的挠曲线与外力P所在的纵向面不共面，因此，称为斜截面。(2) 对于的横截面（如圆形、正方形），则，即挠曲线与外力在同一纵向平面内。这种情况仍是平面弯曲。实际上，对于的横截面，过截面形心的任何一个轴都是形心主
4、惯性轴。因此，外力作用将总能满足平面弯曲的条件。(3) 由式（10.5）及式（10.7）知：中性轴与z轴的夹角等于挠度与y轴的夹角。即和平面弯曲一样，斜弯曲时，中性轴仍垂直于挠度所在的平面。【例题10.1】例10.1图所示结构的梁为16号工字钢，材料为Q235-A钢，=160MPa，E=200GPa，载荷P与y轴的夹角，P=7kN梁的跨度l=4m。试校核梁的强度及计算梁中点的挠度。解：外力分析 将P沿y轴和z轴分解，得和将分别使梁在xy和xz平面内产生平面弯曲。内力计算 任一横截面上，由和作用产生的弯矩分别为和，其内力图见图（b）和（c）。显然，在梁中点C处，和同时取得最大值，故为危险截面。例
5、10.1图 工字钢结构梁强度计算 在作用下，截面C的下边缘拉应力最大，上边缘压应力最大。在作用下，前侧边缘产生最大拉应力，后侧边缘产生最大压应力。应力叠加后，两边缘的交点和点分别产生最大拉应力和最大压应力（图d）。查型钢表，对于16号工字钢，。由公式（10.3）故满足强度条件。若载荷不偏离y轴（），C截面弯矩最大 故最大正应力为 挠度计算 在和作用下，C截面形心沿y方向和z方向的挠度分别为所以，总挠度为 =挠度与y轴的夹角（图d）为 10.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形10.3.1 拉（压）与弯曲组合时的强度计算图10.7 拉（压）与弯曲组合变形分析图10.7（a）所示为一等直杆，两端铰支，
6、载荷为作用在梁跨度中点C截面上的横向力，而为作用于杆两端的轴向拉力。我们以此为例，说明杆在拉（压）与弯曲组合时的强度计算问题。 外力分析 内力分析应力分析 在C截面上，与轴力N对应的正应力在横截面上均匀分布（图10.7c）其值为： 而与对应的弯曲正应力在横截面上沿截面高度线性分布（图10.7d），其值为 最大弯曲正应力在C截面的上、下边缘，其值为 强度计算 强度条件可表示为 （10.8）【例题10.2】例10.2图所示为一悬臂式吊车架，在横梁AB的中点D作用一集中载荷P=25kN，已知材料的许用应力=100Mpa，若横梁AB为工字型梁，试选工字钢型号。例10.2图 悬臂式吊车架解：横梁AB受力
7、分析 取横梁AB为研究对象，如图（b）所示，由静力平衡条件解得 将T沿梁的轴线及梁轴线垂直的方向分解，分别为和，则有可见，在和作用下，梁承受轴向压缩；在P、和作用下，梁发生弯曲变形。因此，横梁AB承受的是压缩与弯曲的的组合。 内力分析 横梁AB的轴力图及弯矩图如图（c）和（d）所示。显然，危险截面是D截面。其轴力和弯矩值分别为 截面设计 对于工字形梁，抗拉强度与抗压强度相同。在D截面的上边缘。叠加后的正应力绝对值（压应力）达到最大值，故为危险点，所以强度条件为 上式中，有两个未知量，即横截面积A和抗弯截面模量W。所以，仅由上式无法确定工字钢型号。工程中一般采用试算法。即先不考虑轴力N的影响，只
8、根据弯曲强度条件初选工字钢型号，然后再根据拉（压）弯组合的强度条件进行强度校核。由弯曲正应力强度条件 查型钢表，选取18号工字钢，。 强度校核 将以上数据及已求得的N和值代入拉（压）与弯曲组合的强度条件=94.9MPa故选取18号工字钢满足强度条件。试算中，若初选出的工字钢型号，拉（压）弯组合的危险应力大于许用应力，则应重新选取工字钢。10.3.2 偏心压缩（拉伸）现通过例题说明此类问题的强度计算。【例题10.3】小型压力机的铸铁框架如例10.3图（a）所示。已知材料的许用拉应力=30MPa，许用压应力MPa，载荷P=42kN，立柱的截面尺寸如图（b）所示。试校核立柱的强度。例10.3图 压力
9、机铸铁框架解：截面几何性质计算 外力分析 内力分析 强度计算 与弯矩对应的正应力沿z轴线性分布，并由公式 计算。最大弯曲拉应力和压应力分别是从图（d）看出，叠加以上两种应力后，在截面的内侧边缘上发生最大拉应力，且在截面的外侧边缘上，发生最大压应力，且 故立柱满足强度条件。【例题10.4】如例10.4图所示，短柱受载荷P和H的作用，试求固定端截面上角点A，B，C和D处的正应力。解：外力分析：立柱承受的是斜弯曲与压缩的组合。内力分析 固定端截面为危险截面，内力为 应力计算 与轴力N，对y轴的弯矩及对z轴的弯矩对应的正应力在横截面的分布如图（b）所示。与轴力N对应的应力值为例10.4图 短柱的组合变
10、形与弯矩和对应的最大应力分别为故四个角点A，B，C和D的应力分别为10.4 扭转与弯曲组合变形下面以图10.9（a）所示机床传动轴为例，来说明处理弯扭组合问题的方法。图10.9 机床传动轴受力分析外力的简化 把外力P和向C截面形心处简化，因径向力过形心，故简化后仍为，而周向力P向形心处简化时，将有附加力偶矩（D为齿轮直径）。简化后的力学模型见图10.9（b）。内力计算 圆轴在作用下，将在xy平面内发生弯曲变形，横截面上存在弯矩；在P力作用下，将在xz平面内发生弯曲变形，横截面上存在弯矩。而在外偶矩作用下，圆轴产生扭转变形，横截面上存在着扭矩T，圆轴内力图如图10.9（c）、（d）、（e）所示。
11、由内力图看出危险截面为C截面，该截面的内力值分别为对于截面为圆形的轴，包含轴线的任意纵向面都是纵向对称面，所以，把，矢量合成后，合成弯矩M的作用面仍然是纵向对称面，故产生的变形仍为平面弯曲。，的合成弯矩为M（图10.10a） 合成弯矩M作用的平面垂直于矢量M。 应力计算及强度条件 在危险截面上与扭矩T对应的剪应力在边缘各点上达到极大值，其值为： 与合成弯矩M对应的弯曲正应力沿线（图10.10b）线性分布，点正应力达到最大值，其值为 所以在危险截面上，、弯曲正应力、扭转剪应力同时达到最大，这两点就是危险点。点的应力状态如图10.10（c）所示。图10.10 合成弯矩的方向及危险点应力分析由于（或
12、）点处于二向应力状态，所以需要采用强度理论来进行强度计算。工程中，承受弯扭组合的杆件常为塑性材料，故应采用第三或第四强度理论。由第九章例9.8图10.10（c）所示的应力状态相当应力分别为： （10.9） （10.10）对于圆形截面因为，所以，将分别代入上两式得所以圆轴弯扭组合变形由第三强度和第四强度理论建立的强度条件为： （10.11） （10.12）【例题10.5】在例10.5图（a）所示的传动轴AB上，C处皮带轮作用着水平方向的力，D处皮带轮作用着铅垂方向的力。已知皮带张力=2kN，=3kN，皮带轮自重=300N，=200N，轴的直径d=76mm，许用应力=80MPa，试用第四强度理论校
13、核轴的强度。 解：外力简化 将两个皮带轮的张力向轮心简化，可知，在C截面处有铅垂方向的力和水平方向的力3，以及外力偶，这些值分别为在截面D处有铅垂方向的+3和外力偶矩，它们的值分别为 +3=在这些外力作用下，A、B两处的支座反力分别设为，和。根据平衡条件，求得这些值为=2233N，=6000N，=4276N，=3000NAB轴的受力简图如图（b）所示。可见，轴AB承 例10.5图 皮带轮传动轴受的是两个平面内的弯曲与扭转的组合。作内力图 外力偶和使轴AB产生扭转，而铅垂方向的外力、+3、和等使轴产生xy平面内的弯曲，水平面的外力3、使轴在xz平面内产生弯曲。在这些外力作用下，轴的内力图如图10
14、.15（c）、（d）、（e）所示。C、D两截面处对y轴和z轴的弯矩分别为C截面： D截面： 确定危险截面 将轴的各个横截面上所得的弯矩和按矢量合成为一个合成弯矩M，大小为M沿轴线的变化情况如图（f）所示，称作合成弯矩图。由合成弯矩图可见，C截面的合成弯矩值最大，因为在CD段内，扭矩T为常数，故C截面为危险截面，该截面的合成弯矩值为校核强度故该轴满足强度条件。【例题10.6】矩形截面曲拐水平放置并在自由端 例10.6图 矩形截面曲拐受力分析承受铅直向下的集中力P的作用（例10.6图a）。已知：P=2kN，曲拐的横截面尺寸皆为h=6cm，b=4cm，曲拐的各段长度皆为a=0.5m，材料的许用应力=
15、100MPa。试按第三强度理论校核曲拐强度。解：外力分析 根据曲拐的受力情况，知BC段只产生平面弯曲。为了分析AB段受力情况，可将P力向曲拐B处平移。平移的结果得到一个力P和一个附加力偶矩m=Pa，它们分别使AB杆产生弯曲和扭转变形，即AB杆承受的是弯曲和扭转的组合。内力计算 根据以上外力分析，作出曲拐的弯矩图和扭矩图如图（c）和（d）所示，在曲拐B处的1-1截面上，弯矩值为 此值为BC段内的最大弯矩值。在AB段内，固定端截面A处，弯矩和扭矩值分别为 由此可见，在固定端A截面上，弯矩和扭矩值同时达到最大，即此截面为危险截面。 危险点的判定 在危险截面A上，弯曲正应力和扭转剪应力的分布如图（e）
16、和（f）所示。由应力分布图可见，在危险截面的上边缘（或下边缘）的中点点1处，弯曲正应力为最大值，而点1处的扭转剪应力在上边缘的诸点中也为最大值，故点1是一个危险点。在中性轴上的点2处，虽然弯曲正应力为零，但该点处的扭转剪应力却为最大值，此值大于点1处的剪应力，况且在点2处还存在有最大的弯曲剪应力，故点2也是一个危险点。强度计算 在危险截面A上，点1和点2的应力计算如下点1 点2 围绕着点1和点2截取单元体，其应力状态如图（g）所示，可见点1为二向应力状态，点2为纯剪应力状态。所以，利用公式（10.9）进行强度计算。对于点1 对于点2 可见，曲拐满足强度条件。10.5 组合变形的普遍情况图10.
17、11组合变形普遍情况分析等直杆在任意载荷作用下，一般情况杆的任意横截面上的内力分量共有六个（图10.11），即沿轴线和形心主惯性轴的内力分量N，和三个内力矩T，其中N为轴力，和分别为y方向和z方向的剪力，T为扭矩，和分别为对y轴和z轴的弯矩。这些内力分量分别引起拉压，剪切，扭转和弯曲变形，是组合变形的最普遍情况。在这六个内力分量中，如有某些内力分量为零，就可得到见几节讨论的某一种组合变形。对于上述的六个内力分量，可以按照解决基本变形的方法，分别计算每一个内力所对应的应力，即轴力N对应的正应力可按轴向拉伸（压缩）计算（参看第二章）。和对应的剪应力可按横力弯曲时的弯曲剪应力计算公式计算（参看第七章）。扭矩T对应的剪应力可按扭转时的剪应力计算公式计算（参看第四章）。弯矩和对应的正应力可按弯曲理论计算（参看第七章）。叠加上述内力分量所对应的应力，即为组合变形时的应力。其中与N，和对应的是正应力，可按代数相加。与、和T对应的是剪应力，一般它们的方向不同，应按矢量相加，例如。 对杆件进行简化，即转化成几组静力等效的载荷，其中每一种载荷对应着一种基本变形； 作每一种基本变形的内力图，由内力图判定危险截面； 根据危险截面上的各种基本变形的应力分布，确定危险点的位置 ，并根据叠加原理计算危险点的应力； 确定危险点的应力状态，根据构件的材料，选用适当的强度理论进行强度计算。