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1、第5章 不 定 积 分,5.1 不定积分的概念与性质,5.2 基本积分公式,5.3 换元积分法,5.4 分部积分法,目 录,5.3 换 元 积 分 法,一、 第一类换元法（凑微分法）,.,先看下例：,例1 求,解,设,则,一般地，如果,是,的一个原函数，则,而如果,又是另一个变量,的函数,且,可微，那么根据复合函数的微分法，有,由此得,是具有原函数,于是有如下定理：,定理1 设,可导，则,有换元公式,（5-2）,由此可见，一般地，如果积分,不能直接,利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式,能表示为,的形式，且,较易计算，那么可令,代入后有,这样就得到了,的原函数.这种积分称为第一类换元法.,
2、由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分,因子,因此第一类换元法也称为凑微分法.,例2 求,解,再以,代入，即得,例3 求,解 被积函数,可看成,与,构成的复合,函数，虽没有,这个因子，但我们可以凑出这个因子：,，,如果令,便有,，,一般地，对于积分,总可以作变量代换,，把它化为,，,例4 求,解 令,则,，,例5 求,解 令,则,有,凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式在,比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤,例7 求,例6 求,解,解,解,例8 求,例9 求,解,类似地可得,例10 求,解,例11 求,解,例12 求,解,类似地可得,(由例17),类似地可得,例
3、13 求,解,例14 求,解,第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),二、 第二类换元法,第一类换元法是通过变量代换,，将积分,化为积分,第二类换元法是通,过变量代换,，将积分,化为积分,在求出后一个积分后,再以,反函数,代回去,这样换元积分公式可表示为:,上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边,的不定积分要存在，即被积函数,的,有原函数；其次,的反函数,要存在.我们有下面的定理,定理2 设函数,连续,单调、可导，并且,，则有换元公式,(5-3),下面举例说明公式(5-3)的应用,例15 求,解 遇到根式
4、中是一次多项式时，可先通过适当的换,元将被积函数有理化，然后再积分,令,则,，故,例16 求,解 令,，则,则有,例17 求,解 为使被积函数有理化利用三角公式,令,则它是,的单调可导函数，,具有反函数,且,因而,例18 求,解 令,则,于是,其中,例19 求,解 被积函数的定义域为,令,，这时,故,其中,当,时,可令,类似地可得到相同形式的结果,以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为,三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数,的有理因式一般地，若被积函数中含有,时，可,作代换,或,；含有,时，可作,代换,；含有,时，可作代换,利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换,即,等,例20 求,解 令,则,因此,当,时，,有,当,时，,有,综合起来，得,在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到,的所以它们通常也被当作公式使用这样,常用的积分,公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中,常数a0).,(14),(15),(16),(17),(18),(19),(20),(21),例21 求,解,利用公式(18)，可得,例22 求,解,利用公式(21)，可得,