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1、傅里叶变换,第七章,7.1 傅里叶变换,一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间-L/2,L/2上连续，那么在-L/2,L/2上可以展开成傅里叶级数 其中 一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL(t)傅里叶级数.,傅里叶级数的复指数形式,记,设非周期函数F(t)在区间 内连续、可积，且绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三角级数表示,其中系数为,定义一个周期为L的函数FL(t)，在区间(-L/2,L/2)内等于F(t)，而在区间端点-L/2, L/2处的值可能等于F(t)在这两点的平均值；,当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期
2、函数FL(t)的极限为F(t)，即是,对任意的 ，有,当L时， ，令 ，则有,以及,记 ，有,其中对实数，函数 定义为,当L趋向无穷时， 自然趋向于一个函数 ，称为函数F的傅里叶变换，,随着L趋向无穷时， 趋向于零，而 所对应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到，,称为 的傅里叶逆变换.,定理7.1 若F(t)在(-, )上满足下列条件： 1) F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点； 2) F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点； 3) F(t)在区间(-, )上绝对可积，即是积分 收敛.则F的傅里叶变换 存在，且有,例7.1 求函数 的傅里叶变换， 并验证傅里叶逆变换.
3、,解:,除了两个单极点 外是一个解析函数,如果 ，考虑在下半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理，有,当 ，考虑在上半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理得,验证傅里叶逆变换,计算,由奇偶性知道，虚部为一奇函数，积分为零，因此有,所以,例7.2 求函数 的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到的一个函数.,解:,上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换,傅里叶逆变换,例7.3 求函数 的傅里叶变换和逆变换的积分表达式，其中 .这个函数叫做钟形函数，又称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一
4、.,解:,令 ，则上式变为一复变函数的积分，,为复平面s上的解析函数，取如图闭曲线：正方形ABCD，由哥西积分定理得,当正方形边长R时，,同理可得，当R时，有,.,故有,即是,高斯函数的傅里叶变换为,的傅里叶逆变换,此即为,7.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换,定义狄拉克(Dirac)函数：,函数表达式为 它表示一个矩形脉冲电流.,即是矩形面积为1，称为脉冲强度.,在脉冲强度不变的条件下，随着s减小，矩形脉冲电流就变得越来越陡，因此有 即是,表示的物理意义是 是一个宽为0、振幅为、强度为1的理想单位脉冲.,电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记
5、Q(t)为进入上述电路的电荷函数，那么,当t0时，I(t)=0；当t=0时，因为Q(t)不是一个连续函数，不存在通常的导数.,电流强度I(t)= (t) .,考虑函数集合：D= ; 是定义在(-,)上无穷可导、性质很好的函数.不仅可以在(-,)上展开成幂级数，而且当 时，函数快速地趋向于零.设,D，k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D成为一个向量空间.,固定s0，对任意的D，积分 定义一个从向量空间D到实数或复数的一个线性映射.,因为D当然是一个连续函数，所以有,最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性映射：对任意的D，有,函数的傅里叶变换,例7.4 证明单位阶跃函数 的傅里叶变
6、换为 .,证明,由函数的奇偶性，有,当t=0时，显然有,当t0时，有,当t0时，有,当t0时，得,函数 的傅里叶逆变换等于函数u(t)，命题得证.,若 时，则其傅里叶逆变换为 所以， 1是 的傅里叶逆变换.,例7.5 求函数F(t)= 的傅里叶变换.,解,和 互为傅里叶变换和傅里叶逆变换的关系.,例7.6 求正弦函数F(t)= 的傅里叶变换.,解,7.3 傅里叶变换的性质,对函数f(t)，记其傅里叶变换为Ff，即是,函数的傅里叶逆变换记作F-1(g)，即是,对单位脉冲函数，,单位阶跃函数u(t)，,正弦函数 ，,定理7.2 设函数f, g的傅里叶变换分别为Ff, Fg，则有下面的结论成立. (
7、1)(线性性质) 对任意的常数, ，有 (2) (位移性质) 设t0为一个常数，则有 (3) (微分性质) 如果 在 上连续，或只有有限个可去间断点，且当 时 ，则有 (4) (积分性质) 如果当 时，有 ，则有,证明(2),作变量替换，令t+t0=s，则有,对于傅里叶逆变换，有一个类似的性质成立，即是,证明(3),如果 在 上连续或只有有限个可去间断点，且 ，则有,例7.7 求常系数线性常微分方程 的解，其中 ，a0,a1,.,an-1均为常数.,解 函数y和f的傅里叶变换分别记为 和,所以有,记函数,则有 ，再求傅里叶逆变换，可得,定理7.3* 设f, g为实函数，记 ， , 则有 其中
8、, 分别为函数 的共轭函数.,证明 由傅里叶逆变换公式有,又 ，而函数f是实函数，所以有,因此，得,定理7.4* 设 ，则有 称为帕塞瓦尔(Parseval)等式.,证明 在定理(7.3)中，取f(t)=g(t)，有,同理有, 7.4 卷 积,1. 卷积定义,设函数f, g定义在 上.若任意的 ，积分 收敛，则称该积分为函数f与g的卷积，记为f*g，即,卷积满足交换律，即是,例7.8 证明卷积满足乘法对加法的分配律，即是,证明 根据卷积定义，有,例7.9 设函数 函数 求f与g的卷积.,解 从卷积定义，有,当且仅当 ，函数f(s)g(t-s)0.,若t0时，此时有 ，所以f=0，因此f(s)g(t-s)=0；,若t0，此时只有当 时，有f(s)g(t-s)0，所以有,2.卷积定理,定理7.5 设函数f, g满足傅里叶变换定理7.1中的条件，则 考虑傅里叶逆变换，则有,证明 由傅里叶变换的定义，有,