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1、第四节复合函数与隐函数的微分法,一.复合函数的微分法,定义,设,是,的函数,而,又分别是,的函数,则称,是,的复合函数,记作:,其中,称为中间变量.,定理,若函数,和,在点,的偏导数存在,而函数,在,对应于,的点,处可微,则复合,函数,在点,存在偏导数,且,证,因为,可微,所以,令,则有,故,附证:,证,建议按关系图记公式:,(1)从因变量到自变量有几条路,公式中就,有几项相加;,(2)每一条路上有几段,对应项中就有几个,因子相乘;,(3)每个因子都是相应段上的偏导.,注 遇一元函数时写一元函数导数符号.,例1 已知,求,解法一,1.具体复合函数求偏导,例1 已知,求,解法一,例1 已知,求,
2、解法二,例1 已知,求,解法二,例2,设,而,求,解,例3,设,其中,求,解,令,例4,求,的偏导数.,解,令,则,2.抽象复合函数求偏导,例4,求,的偏导数.,解,新 的 书 写 形 式,补充,(2007年考研真题4分),设,是二元可微函数,则,解,例5,设,可导,求,解,令,1.具体复合函数求偏导,2.抽象复合函数求偏导,原始法则或多元复合法则都行.,建议:如果没令按原始法则求;,如果已经令好(包括没令完整的,没令,只能按多元复合法则求.,用逗号隔开的每一部分令一个变量,完整要补充完整)按多元复合法则求.,也可用数字1、2来代替变量.,总 结,二.隐函数的微分法,1.一元隐函数求导数,已知
3、,求,方程两边作为,的函数同时求导,故,例6 已知,求,解,令,则,故,解,方程两边作为,的函数同时求导,故,例7 设,解,故,有连续偏导数,分别由方程,所确定,求,令,则,和,令,则,故,代入即可.,Review,定理,若函数,和,在点,的偏导数存在,而函数,在,对应于,的点,处可微,则复合,函数,在点,存在偏导数,且,课堂练习:,已知,求,解,2.复合函数微分,设,均可微,例3,解：,求,例4,求,的偏导数.,解,记,则,例4,求,的偏导数.,解,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式), 具有连续的偏导
4、数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :,则还有,2.二元隐函数求偏导,已知,求,方程两边作为,的函数同时求偏导,故,例8 求,确定的隐函数的,偏导数,令,则,故,解,例9 设函数,的函数,其中,解,故,方程,确定,是,可微;,连续,且,求,令,则,例10,确定的隐函数的,偏导数,故,求,令,解,例.,设F( x , y)具有连续偏导数,解法1 利用偏导数公式.,确定的隐函数,则,已知方程,故,对方程两边求微分:,解法2 微分法.,设,确定,求,解,例,记,故,例4,证明由方程,确定的隐函数,满足,证明:,(方法一),记,则,(方法二),方程,两端分别对,求偏导:,得,例: 设,由关系式,确定,证明:,证明:,记,则,上式两端分别对,求偏导:,故,设,由关系式,确定,其中 可微,求,课堂练习:,解,关系式两端对 求导可得:,所以,同理可得:,(补充: 2008年考研真题10分),所确定的函数,其中,解,是由方程,具有2阶导数且,求,设,求,所以,从而,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,( 2001考研 ）,3. 设,作业题,习题八(A) 11、12、20.,