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1、第四章 矩阵力学基础 表象理论,复旦大学 苏汝铿,第四章 矩阵力学基础 表象理论,本章目的： 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等方案表象 找出不同表象之间的相互关系和变换规则么正变换 建立一套用态矢量描述量子态的方案Dirac算符 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子,4.1 态和算符的表象表示,表象：态和力学量的一种具体表述方式 给定一个线性厄米算符找出它的本征函数系Un(r) Un(r)具有正交、归一、完备、封闭性，可以作为Hilbert空间的一组基底表象 态的表象,4.1 态和算符的表象表示,坐标表象：,4.1 态和算符的表象表示,动量表象：,4.1 态和算符的表象表示,任意表象：,
2、4.1 态和算符的表象表示,4.1 态和算符的表象表示,说明： 列矩阵是在Q表象中的波函数 Hilbert空间与普通空间的不同在于：复矢量、可以是无穷维、空间维数本征函数系中本征函数的个数 若某波函数刚好是Q的本征态，则将它按Q本征态展开式中只有一项,4.1 态和算符的表象表示,连续谱表示,4.1 态和算符的表象表示,算符的表象：,4.1 态和算符的表象表示,4.1 态和算符的表象表示,4.1 态和算符的表象表示,4.1 态和算符的表象表示,4.1 态和算符的表象表示,Q表象中的算符F 矩阵，矩阵元F_nm是第m个新基在第n个旧基上的投影 连续谱：,4.1 态和算符的表象表示,厄米算符厄米矩阵
3、,4.1 态和算符的表象表示,算符在自身表象中对应对角矩阵,4.1 态和算符的表象表示,结论： 量子态Hilbert空间中的态矢量 波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或波函数表示 Q的本征函数系Q表象的基底 不同表象不同基，不同坐标系,4.1 态和算符的表象表示,结论： 本征函数基矢 厄米算符的本征函数系完备基 算符矩阵,4.2 矩阵力学表述,波函数,4.2 矩阵力学表述,算符,4.2 矩阵力学表述,平均值公式,4.2 矩阵力学表述,平均值公式,4.2 矩阵力学表述,归一条件,4.2 矩阵力学表述,归一条件,4.2 矩阵力学表述,本征值方程,4.2 矩阵力学表述,4.2 矩阵力学表述,
4、4.2 矩阵力学表述,矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求本征值和本征函数的方案： 1)求解本征方程 2)使算符对应的矩阵对角化,4.2 矩阵力学表述,薛定谔方程：,4.2 矩阵力学表述,4.2 矩阵力学表述,4.2 矩阵力学表述,将求解偏微分方程的问题变为算矩阵元F_nm，及求解线性偏微分方程组的问题 若F厄米，则久期方程的根必为实根(但可能有重根),4.3 么正变换,问题： F的本征值是否与表象有关？ 从表象A表象B，波函数、算符怎么变？ 坐标空间的变换：平移旋转，正交变换(实空间) 不同表象的变换：么正变换,4.3 么正变换,4.3 么正变换,4.3 么正变换,4.3 么正变换,4.3
5、 么正变换,4.3 么正变换,4.3 么正变换,算符,4.3 么正变换,波函数,4.3 么正变换,4.3 么正变换,本征态,4.3 么正变换,一种新的求本征值的方案通过么正变换使矩阵对角化？并不简易,4.3 么正变换,4.3 么正变换,么正变换不改变矩阵F的阵迹,4.3 么正变换,演化算符，含时间的么正变换,4.4 狄拉克符号,目的：引入一套矢量运算方法，不依赖于具体的表象 符号： ket bra 的共轭矢量,4.4 狄拉克符号,4.4 狄拉克符号,4.5 线性谐振子和占有数表象,目的： 用矩阵力学方法求解线性谐振子 建立占有数表象，引入产生、湮灭算符 给出一套在谐振子表象中计算坐标矩阵元和动
6、量矩阵元的最方便的方案,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,产生、湮灭(波色)算符的性质,4.5 线性谐振子和占有数表象,4.5 线性谐振子和占有数表象,本章小结,本章小结,本章小结,本章小结,本章小结,