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1、第六讲 解析函数与调和函数的关系,在3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。,内 容 简 介,3.7 解析函数与调和函数的关系,定理,证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则,上面定理说明：,由解析的概念得：,现在研究反过来的问题：,如,定理,公式不用强记！可如下推出：,类似地，,然后两端积分得，,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。,例1,解,曲线积分法,故,又解,凑 全 微分 法,又解,偏 积分 法,又解
2、,不定 积分 法,1. 复数列的极限 2. 级数的概念,第 四 章 级 数,CH44.1 复数项级数,1. 复数列的极限,定义,又设复常数：,定理1,证明,2. 级数的概念,级数的前面n项的和,不收敛,例1,解,定理2,证明,由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。,性质,定理3,证明,?,定义,由定理3的证明过程，及不等式,定理4,解,例2,例3,解,练习：,1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质,4.2 幂级数,1. 幂级数的概念,定义,设复变函数列：,级数的最前面n项的和,若级数(1)在D内处处
3、收敛，其和为z的函数,特殊情况，在级数(1)中,2. 收敛定理,同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：,定理1 (阿贝尔(Able)定理）,证明,(2)用反证法，,3. 收敛圆与收敛半径,由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况：,(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处 处收敛。,(ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。,显然， ,否则，级数(3)将在处发散。,将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，逐渐变大， 在c内部都是红色,逐渐变,小，在c外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故,播放,(i)幂级数在收敛
4、圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题 要具体分析。,(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R 的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.,4. 收敛半径的求法,定理2 (比值法),证明,定理3 (根值法),定理3 (根值法),定理2 (比值法),例1,解,综上,例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:,解 (1),p=1,p=2,该级数在收敛圆上是处处收敛的。,综上,该级数发散。,该级数收敛，,故该级数在复平面上是处处收敛的.,5. 幂级数的运算和性质,代数运算,-幂级数的加、减运算,-幂级数的乘法运算,-幂级数的代换(复合)运算,幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用.,例3,解,解,分析运算,定理4,-幂级数的逐项求导运算,-幂级数的逐项积分运算,作业,P103 30(1)(2),31 P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3),