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1、二、伯努利模型中的一些分布,一、伯努利模型,三、直线上的随机游动,第2.3节 伯努利试验与直线上 的随机游动,四、推广的伯努利试验与多项分布,一、伯努利模型,1 n 重伯努利试验,伯努利资料,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.,2 n 重伯努利试验的特征,(1) 每次试验只有两种结果之一：A或,(2) 每次试验事件A的概率都为p;,(3) 各次试验相互独立；,(4) 共进行n次试验.,3 n 重伯努利试验的样本空间,每次试验只有两种结果，因此n 重伯努利试验共 有 样本
2、点. 样本空间为,而其样本点为,其中,例如,等等都是样本点，其概率分别为,为了简单上述两个样本点简记为,，其他情形可以类似标记,4 可列重伯努利试验,在n重伯努利试验中，当 时，这样就构成了可列重伯努利试验记做,而其样本点为,其中,二、伯努利模型中的一些分布,(1) 伯努利分布(两点分布）,一次伯努利试验只有两种结果之一，则其概率为,(2) 二项分布,且两两互不相容.,称上式为二项分布.记为,经计算得,例(p76例1) 若N件产品中有M件废品，现进行n次有 放回的抽样检测，问共抽到k件废品的概率是多少？,解 n次有放回的抽样可以看作n重伯努利试验，,设A=每次抽到废品, 则,设B=进行n次有放
3、回的抽样,共抽到k件废品,(3) 几何分布,称上式为几何分布.记作,注意到几何分布恰好是几何级数的一般项，这也是 几何分布名称的来历。同时,说明 在几何分布里面，其涉及到可列次伯努利试验，其样本空间是不可列的，因此不能将它的一切子集都看作事件。,(4) 帕斯卡分布,帕斯卡分布将主要研究出现第r次成功与试验次数的关系的概率。,帕斯卡资料,注意到,德 梅尔问题,甲乙两个赌徒按照某种约定进行赌博，规定先胜t 局者赢得全部赌注，但进行到甲胜r局，乙胜s局（ rt, st),因故中断比赛，试问如何公平合理分配赌注？,（第k+n次甲胜，前k+n-1甲胜n-1次。乙胜k次）,(第m+k次乙胜，前k+m-1甲
4、胜k次,即乙胜之前，甲已胜),(在n+m-1次比赛中，甲获胜次输不少于n,乙获胜次数不大于m),同一个事件不同的角度来理解，但可以证明结论是 一样的,例(p80例4) 数学家的左、右衣袋里各放由一盒装有N根火柴的火柴盒，每次抽烟时，任取一盒用一根，试求发现一盒用光时，另一盒有r根的概率。,巴拿赫火柴盒问题,解 设A=左边空而右边剩r根,事件A等价于取过左边N+1次，其中前N次用了N根火柴，第N+1 次摸到空盒，取过右边N-r次，即前2N-r次中取到左边N次，取到右边N-r次，第2N-r1次取到左边，,而所求事件的概率为,三、直线上的随机游动,1 随机游动,在x轴上有一质点，它只在整数点上，t=
5、0时，它位于a点，之后每隔单位时间它会受到外力的作用，分别以概率为p与1-p向右左方向移动一个单位，这样的移动称为质点在直线上的随机游动,在随机游动中，当t=n时，质点在某一位置的概 率是多少？,随机游动问题可以用伯努利试验进行描述，因为 每次试验只有两种可能， t=n相当于n重独立试验.,2 无限制随机游动,若质点可以在整个数轴的整数点上游动，称这种 随机游动为无限制随机游动.,当n与k的奇偶性不同时，概率为o,3 两端带有吸收壁的随机游动,在随机游动中，在某一点处有一吸收壁，则质点到 达该点时，质点被吸收，不在游动，这样的随机游 动称为有吸收壁的随机游动,设t=0时，质点位于x=a, 而在
6、x=0以及x=a+b处各有 一个吸收壁，问质点被x=0或x=a+b吸收掉的概率 是多少？,被x=a+b点吸收掉的概率,当此随机游动为对称时，即p=q，则,当此随机游动为不对称时，即 ，则,而,因此,类似的我们也可以讨论质点被x=0吸收的情况,当此随机游动为对称时，即p=q，则,当此随机游动为不对称时，即 ，,4 赌徒输光问题,甲、乙两个人进行赌博，他们的赌资分别为a与b， 设定每局赌注为1，而甲乙两人赢的概率分别为p与q，试求甲或乙输光赌本的概率。,显然上述问题可以归属为两端带有吸收壁的随机游动问题，当两人赌技相当时，即p=q,则甲输光的概率为,而甲赢取全部赌资的概率为,即赌资越大，赢取的可能
7、性更大。,四、推广的伯努利试验与多项分布,1 多项分布,设每次试验结果为r个，分别为,将这样的试验独立重复进行n次，则在n次试验中，,例(p85例5）人类血型分为O, A, B, AB四型，假定某 地区的居民中有这四种血型人的百分比为0.4, 0.3, 0.25, 0.05，若从此地区居民中随机的抽取5个人，试求两个 为O型，其他三个分别为A,B,AB型的概率。,解 此问题可以归结到多项分布问题，因此它的概率应为,作业,习题二 28、29、31、32、36,帕斯卡资料,帕斯卡 (1623-1662) 帕斯卡 法国数学家、物理学家、近代概 率论的奠基者。他提出一个关于 液体压力的定律，后人称为帕斯 卡定律。他建立的直觉主义原则 对于后来一些哲学家，如卢梭和 伯格森等都有影响。,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,