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1、二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极值与,最大值最小值,第三章,一、函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 (P146例4),为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理
2、1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放暂停,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,证: (1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;
3、,又,故需用第一判别法判别.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3 (判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点 ;,是极大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 .,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,利用 在 点的泰勒公式 ,可得,例如 , 例2中,极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .,例如:,为极大值 ,但不满足定理1, 定理3 的条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最大值与最小值问题,则其
4、最值,只能在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此也可通过,例3. 求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相
5、同 ,由于,令,( 自己练习 ),在闭区间,上的最大值和最小值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( k 为某一常数 ),例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 把一根直径为d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高 h
6、和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用开始移动,例6. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作,解: 克服摩擦的水平分力,正压力,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 ., 为多少时才可使力,设摩擦系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的大小最小?,令,解得,而,因而 F 取最小值 .,解:,即,令,则问题转化为求,的最大值问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,清楚(视角 最大)
7、 ?,观察者的眼睛1.8 m ,例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .,问观察者在距墙多远处看图才最,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,(4) 判别法的推广 ( Th.3),定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点
8、应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,(L. P500 题4),2. 连续函数的最值,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,(A) 不可导 ;,(B) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(D) 取得极小值 .,D,提示: 利用极限的保号性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设,是方程,的一个解,若,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P160 1 (5), (9); 2 ; 3 ; 5 ; 10; 14; 15,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,备用题 1.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解:,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,