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1、广义测量平差论文 班级：测绘B093 姓名：刘璐 学号：200905064324 指导老师：赵亚红由最小二乘配置分析 极大验后估计和最小二乘估计华北科技学院建筑工程学院测绘B093班 刘璐摘要： 通过对最小二乘配置方法的研究，应用该方法对极大验后估计和最小二乘估计进行分析。首先，对最小二乘配置的具体解法进行了讨论。其次，对极大验后估计和最小二乘估计进行了论述。最后，讨论了利用最小二乘配置进行估值的方法。关键词：最小二乘配置，极大验后估计，最小二乘估计，估值1 序言在近代测量平差理论中，最小二乘配置占有重要的地位。该方法集经典测量平差、滤波、推估于一体，应用十分广泛。很多学者都对该方法进行过深入
2、的研究，特别是对协方差经验函数的研究大大简化了该方法的应用。但当该方法应用于时间序列时却有其特殊性，具体表现为方程组过大问题、当观测信号协方差矩阵的构建不当可能出现方程组病态问题、提取不同频段信息时如何构建协信号方差阵问题等。但是由于我们目前所学的知识有限，所以我们所探讨和研究的问题也是有所限制的，因此，本文中仅仅探讨了由最小二乘配置分析极大验后估计和最小二乘估计的相关知识和问题。2 最小二乘配置的定义配置也成为拟合推估，最初是指组合各种资料来研究地球形状与重力场的一种数学方法，其理论由Trarup于1969年提出。最小二乘配置法是根据最小二乘原理，按一种特定的拟合法则，对随机参数和非随机参数
3、进行推估的数据处理方法，而最小二乘配置法最初应用于物理大地测量。在地球形状重力场的研究中，配置的普遍形式是在其函数模型中除包含随机部分外，还包含非随机的系统部分（也称为倾向）。这种兼有求定信号和倾向参数估值的情况在其他测量平差问题中也往往会出现，用广义最小二乘原理平差这类问题，故称为最小二乘配置，简称配置法。此外，在地球形状重力场以及其他平差问题，常需要求定的是推估信号X的最佳估值和倾向参数的最佳估值，而倾向参数又往往是某种拟合函数的系数，因此配置法又称为拟合推估。3 最小二乘配置的基本原理和解算方法最小二乘配置在文献【1】中有详细的理论，下面公式（1）直接给出其误差方程： 在公式1中包含两个
4、误差方程，第一个为真实的误差方程，第二个为描述信号的虚拟观测值。公式中符号的含义如下：为信号的系数阵(观测点部分为单位阵，推估点部分为0阵)，为随机信号估值(包括观测点和推估点)，G为经典平差问题的系数阵，为经典平差问题需要求解的待定参数，L为观测值，为信号的虚拟观测值(一般为信号的数学期望)。根据间接平差理论和矩阵反演理论求解公式(I)的方法有两种：第一种为整体解算，如公式(2)所示；第二种为分别解算如公式(3)所示。 （2） （3） 公式(2)和公式(3)中新引进的符号含义如下：为已测点信号部分系数阵(通常为单位阵)，为已测点信号的协方差阵，为已测点信号的虚拟观测值，为所有点信号的协方差阵
5、，为所有点信号的权矩阵(为的逆阵)，为观测值的协方差阵，为观测值的权阵(为的逆阵)。由于和的特殊形式，公式(2)和公式(3)还可以进一步简化，如公式(3)可以简化为文献1-3中给出的形式。对于的验后协方差阵的获取，可参阅文献6。下面，从两方面对公式(2)和公式(3)进行比较。第一，从计算量上对2种解法进行比较。由于矩阵求逆运算在整个求解过程中所占的比重最大，下面只分析该部分运算量。公式(2)中首先要获得和，其中需要由求逆得到。而解方程并评定精度又需计算一次逆阵，所以其求逆的工作量为2次，且矩阵的阶数相当(都比较大)。公式(3)表面J!二看也是求2次逆，但求解|r时其矩阵阶数一般较小(如处理时间
6、序列问题时，一般只为2阶)。第二，从方程组病态的角度对两种解法进行分析。由于在获取时间序列低频信息时需要信号的协方差衰减的十分缓慢，而，所以在求时即使采用全选主元的稳定算法，利用公式(2)方程仍然可能病态。而公式(3)在求逆前把已测点信号和观测值的协方差阵求和，由于通常观测值的协方差为一对角阵，使求逆操作前矩阵的主元素得到增强，所以公式(3)方程的病态程度得以大大减弱。经过比较可知公式(3)的解法优于公式(2)，所以在处理时间序列问题时应尽量采用公式(3)。从获取时间序列不同频段信息的角度对最小二乘配置进行分析。处理时间序列时遇到的第一问题是数据插值，相关文献对插值都有相应的论述，而最小二乘配
7、置处理时间序列能同时完成插值和滤波操作。对于不同频段信息的提取，只要给定不同衰减的信号协方差矩阵，就可以获得相应频段的信息。并且在协方差阵给定的条件下，该结果是最优估值。4 极大验后估计4.1 极大验后估计概念和原理极大验后估计是以(x/)=max为准则的估计方法，这个准则的含义在直观上比较明显，它的含义是：给定了L的一组子样观测值l可以按一定的概率取的参数X的不同估计其中最佳估计的条件概率密度(x/)应为最大值，一般用MA或MA（L）表示有极大验后估计得到的最佳估值，称之为极大验后估值，显然，MA应满足=0次方程称为验后方程因为(x/)=将上式对x求导，则有=由此可知，极大验后估计的准则式等
8、价于4.2 极大验后估计特点由于极大验后估计考虑参数X的先验统计特性，因此，当参数的先验期望和先验方差DX已知时，极大验后估计改善了最小二乘估计，此时，极大验后估计值的误差方差要小于其最小二乘估值的误差方程。5 最小二乘估计5.1最小二乘估计概念和原理被估计量是t维未知的参数向量X，观测向量为(n1),其观测误差向量为 ，观测方程L=BX+式中的秩rk（B）=t，E（）=0，D()=,设X的估值为,则有V=B-L所谓最小二乘估计，就是要求估计值使下列二次型达到最小值，即（）=VTPV=(B-L)TP(B-L)=min其中是一个适当选取的对称正定常数阵，称为X的最小二乘估值，记为LS最小二乘估计
9、量的估计误差为=X-=X-(BTPB)-1BTP(BX+)=-(BTPB)-1BTP由此式按协方差传播律可得X的误差方差阵为D()=(BTPB)-1BTPPB(BTPB)-1将正定对称阵表示为=RTR(R为可逆矩阵)，并令a=BTR-1b=RPB(BTPB)-1则得：ab=BTR-1RPB(BTPB)-1=E且由“矩阵形”许瓦茨不等式可得：D()=bTb(ab)T(abT)-1(ab)= (abT)-1有时将P取为或时的估计称为马尔科夫估计，此时应将该式写为VTV=min5.2 最小二乘估计性质（1）最小二乘估计是一种线性估计，即X的估计量LS是观测值的线性函数。（2）当观测误差的数学期望为E
10、()=0时，因E(L)=BX所以E(LS)= (BTPB)-1BTPE(L)= (BTPB)-1 BTPBX=X即LS具有无偏性。（3）当观测误差的方程阵为,而取P=或P=时LS误差方差阵达到最小值。（4）最小二乘估计不需要X的任何先验统计信息，当X是非随机量，或X虽然是随机量，但完全不考虑其先验统计信息时，由观测方程协方差传播定律可知DL=D=D() 6 最小二乘配置的估值公式：用、表示被当作虚拟观测值的先验期望、，将信号X、X当作非随机参数，按广义最小二乘原理。可写出观测方程： 相应有误差方程： 此时观测值、的方差阵为 先考虑，的情况，此时最小二乘配置的估值公式为：最小二乘配置估值的方差公
11、式为：当、时此时最小二乘配置的估值公式为：估值的方差公式： 极大验后估计是以f（xl）=max为准则的估计方法。这里，f（xl）是随机参数向量在观测向量的条件下的条件概率密度，l仍然表示L的观测值。这个准则的含义在直观上是较明显的。它的含义是：给定了L的一组子样观测值l，由这组l可以按一定的概率取得参数X的不同估值，其中最佳估值的条件概率密度f（xl）应为极大值。一般用或表示由极大验后估计得到的最佳估值，称之为极大验后估值，显然，应满足此方程称为验后方程。在最小二乘配置中的数学模型中，既包含有倾向参数Y，又包含有信号，它是一种同时求定不考虑随机性的倾向参数Y和具有随机性信号的最优估值的方法。而
12、在极大验后估计中，具有随机参数向量，最后取参数的最佳估值的条件概率密度。由此可见，最小二乘配置和极大验后估计具有某些相通的地方 ，在解求函数思想上是一致的，都是根据随机参数求函数极大值的过程。由此可知极大验后估计的准则式也等价于设被估计量是维未知的参数向量X，观测向量为，其观测误差（或称为噪声）向量为，观测方程 式中的秩rk（B）=t，E（）=0，设X的估值为，则有 所谓最小二乘估计，就是要求估值使下列二次型达到最小值，即 其中是一个适当选取的对称正定常数阵，称为X的最小二乘估值，记为或（L）。最小二乘估计实际上并没有考虑参数的随机性质，在求最小二乘估值时，虽然将参数X作为随机向量，但并不需要
13、知道X的先验期望和先验方差。 在最小二乘配置中，当倾向参数时，即最小二乘配置的模型。由此可知，最小二乘估计函数模型是最小二乘配置的特例，不需要求定倾向参数Y，而只求函数最小值。他们都是利用最小二乘法来求函数最优值，而且特定条件下，最小二乘估计还可以由极大验后估计导出，所以他们之间都有共通性。 以上分析可知，最小二乘配置可作为一种基本方法分析极大验后估计和最小二乘估计。7 结论由于我们在此方面的学习还是存在很多的不足，所以此论文还是有很多的缺陷，由于对于相关的知识点掌握的不是很透彻，因此也参考了很多相关方面的书籍以及文献。此次论文相关总结为：在最小二乘配置中的数学模型中，既包含有倾向参数Y,又包
14、含有信号X,它是一种同时求定不考虑随机性的倾向参数Y和具有随机性信号大的最优估值的方法，当倾向参数Y=0时，既是最小二乘配置的模型。而在极大验后估计中具有随机参数向量，最后取参数X的最佳估计值的条件概率密度。由此可见最小二乘配置和极大验后估计在解求函数思想上时一致的，都是根据随机参数求函数极大值的过程。在最小二乘配置中，最小二乘估计函数模型是最小二乘配置的特例，不需要求定向参数Y，而只求函数最小值。他们都是利用最小二乘法来求函数最优值，而且在特定条件下，最下二乘估计还可以由极大验后估计导出，所以他们之间有共同性。参考文献 【1】崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰。广义测量平差。北京：测绘出版社，1982【2】崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰，于正林 广义测量平差（第二版）北京：测绘出版社，1992【3】武汉大学测绘学院测量平差学科组，误差理论与测量平差基础，武汉：武汉大学出版社，2003【4】于正林，於宗俦，测量平差原理。武汉：武汉测绘科技大学出版社，1990【5】陶本藻。自由网平差与变形分析。北京：测绘出版社，1984