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1、选修2-1 第一章常用逻辑用语 学案 虢镇中学 高二年级 数学备课组 2充分条件与必要条件(学案)J学习目的1正确理解充分条件、必要条件的意义；掌握判断p是q的充分条件、必要条件的方法与步骤。2正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义；并能正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件J自主整理1.“若p则q”为真命题,它是指当p成立时,q一定成立.换句话说,p成立可以推出q成立,即pq,此时我们称p是q的 条件.2.我们学过如下定理:若四边形的对角线相互平分,则它是平行四边形.我们把这样的定理称作平行四边形的判
2、定定理,判定定理是数学中一类重要的定理.在判定定理中,条件是结论的 条件_.3.“若p则q”为真命题是指:当p成立时,q一定成立,即pq,q必须成立,我们称q是p 的 条件.4.在数学中,我们还常常讨论一类事物有什么性质.例如,函数y=x2有什么性质等,我们把这样的定理称作性质定理,性质定理也是数学中一类重要的定理.在性质定理中,“定理的结论”是“定理的条件”的 条件.5.“若p则q”为真命题,即pq,那么p是q的 条件,q是p的 条件.6.如果“pq”,并且“qp”,通常记作 pq,我们称p是q的 条件,简称 条件.7.我们常用“当且仅当”来表达充要条件.p是q的充要条件也可以说成:p成立当
3、且仅当q成立.如果p、q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们通常称命题p和命题q是两个 命题.K例题讲解【例1】在下列各题中,判断A是B的什么条件,并说明理由.(1)A:|p|2,pR, B:方程x2+px+p+3=0有实根;(2)A:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切, B:c2=(a2+b2)r2.解析:变式训练1.设曲线C1和C2的方程分别为F1(x,y)=0和F2(x,y)=0,则点P(a,b)(C1C2)的一个充分条件是_.【例2】若p:ABS,q:(B)(A),则p是q的什么条件?变式训练2.已知p是q的充分条件,r是q的必要条件,s是r的必要条件,那么s是p的什
4、么条件?【例3】求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m2.变式训练3.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【例4】设x、yR,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy0.变式训练4.已知p:0mq:方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根,证明p是q的充要条件.基础练习1.已知、是不同的两个平面,直线a,直线b.命题p:a与b无公共点;命题q:,则p是q的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.设甲为0x5,乙为|x-2|0 D.b04.设甲、乙、丙是三个命题
5、,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件5.“m=是直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂 直”的( )A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件6.设、为平面,m、n、l为直线,则m的一个充分条件是( )A.,=l,ml B.=m, C.,m D.n,n,m7.设定义域为R的函数f(x)=,则0,x=1,则关于x的方程f2(x)+bf(
6、x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )A.b0 B.b0且c0 C.b0且c=0 D.b0且c=08.已知、为锐角,若p:sinsin(+),q:+1,q:x21;(3)p:ABC有两个角相等,q:ABC是正三角形; (4)p:|ab|=ab,q:ab0.12.是否存在实数p,使“4x+p0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围.13.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.14.已知ab0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.15.已知二次函数y=-x2+mx-1和点A(3,0),B(0,3),求二次函数图象与线段AB
7、有两个不同交点的充要条件.16.在下面电路图1-2-3中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件?课后总结一、充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系.1.从逻辑推理关系上看.(1)若pq,但qp,则p是q的充分而不必要条件;(2)若qp,但pq,则p是q的必要而不充分条件;(3)若pq,且qp(或pq且pq),则p是q的充要条件;(4)若pq,且qp,则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.对充要条件的理解和判断,要搞清楚其定义实质:若pq,则p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立足够了;若qp,则p是q的必要条件,所谓“必要”,
8、即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可!例如:“学生”是“中学生”的必要条件,而“中学生”是“学生”的充分条件.2.从集合与集合之间关系上看. (1)若AB,则A是B的充分条件;(2)若AB,则A是B的必要条件;(3)若A=B,则A是B的充要条件;(4)若AB是BA,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件. 设A=x|xp,B=x|xq,即x具有性质p,则xA,若x具有性质q,则xB.如果AB,就是说若xA,则xB,即x具有性质p,则x必具有性质q,即pq;类似地,A=B与pq等价.二、一般地,关于充要条件的判断主要有以下几种方法:(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)等价法:“pq”
9、表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立.这里要注意“原命题逆否命题”“否命题逆命题”只是等价形式之一,对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法.(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q都是集合,那么若pq,则p是q的充分条件;若pq,则p是q的必要条件;若p=q,则p是q的充要条件. 2充分条件与必要条件(学案)J学习目的1正确理解充分条件、必要条件的意义；掌握判断p是q的充分条件、必要条件的方法与步骤。2正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义；并能正确判断充分不必要条
10、件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件J自主整理1.“若p则q”为真命题,它是指当p成立时,q一定成立.换句话说,p成立可以推出q成立,即pq,此时我们称p是q的充分条件.2.我们学过如下定理:若四边形的对角线相互平分,则它是平行四边形.我们把这样的定理称作平行四边形的判定定理,判定定理是数学中一类重要的定理.在判定定理中,条件是结论的充分条件_.3.“若p则q”为真命题是指:当p成立时,q一定成立,即pq,q必须成立,我们称q是p 的必要条件.4.在数学中,我们还常常讨论一类事物有什么性质.例如,函数y=x2有什么性质等,我们把这样的定理称作性质定理,性质定理也是数学中一类重
11、要的定理.在性质定理中,“定理的结论”是“定理的条件”的必要条件.5.“若p则q”为真命题,即pq,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件.6.如果“pq”,并且“qp”,通常记作 pq,我们称p是q的充分且必要条件,简称充要条件.7.我们常用“当且仅当”来表达充要条件.p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立.如果p、q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们通常称命题p和命题q是两个相互等价的命题.K例题讲解【例1】在下列各题中,判断A是B的什么条件,并说明理由.(1)A:|p|2,pR, B:方程x2+px+p+3=0有实根;(2)A:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0
12、相切, B:c2=(a2+b2)r2.解析:A是条件,B是结论.若AB,则A是B的充分条件,若BA,则A是B的必要条件,借助方程和不等式及解析几何的知识来判断.答案:(1)当|p|2时,例如p=3,则方程x2+3x+6=0无实根,而方程x2+px+p+3=0有实根,必有p-2或p6,可推出|p|2,故A是B的必要不充分条件.(2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,所以c2=(a2+b2)r2;反过来,若c2=(a2+b2)r2,则=r成立,说明x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,即圆x2+y2=
13、r2与直线ax+by+c=0相切,故A是B的充分必要条件.小结对于涉及充要条件的判断问题,必须以准确、完整地理解充要条件的概念为基础,有些问题需要转化为等价命题后才容易判断.变式训练1.设曲线C1和C2的方程分别为F1(x,y)=0和F2(x,y)=0,则点P(a,b)(C1C2)的一个充分条件是_.解析:P点不在C1与C2中至少一条曲线上,或C1C2=.答案:F1(a,b)0或F2(a,b)0或F1(a,b)0且F2(a,b)0或C1C2=等(答案不唯一)【例2】若p:ABS,q:(B)(A),则p是q的什么条件?解析:与集合有关的问题可用韦恩图分析说明.答案:利用集合的图示法, 如图1-2
14、-2,ABS(B)(A),(B)(A)ABS. 图1-2-2p是q的充分条件,也是必要条件,即p与q互为充要条件. 小结 本题采用的是从条件直接推结论的方法,其中突出了数形结合的数学思想方法(图示法).变式训练2.已知p是q的充分条件,r是q的必要条件,s是r的必要条件,那么s是p的什么条件?答案:由题意可知:pq,rq,sr,所以ps,即s是p的必要条件.【例3】求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m2.解析:本题的条件是p:m2,结论是q:方程x2+mx+1=0有两个负实根,然后要明确充分性的证明是pq,必要性的证明是qp.证明:(1)充分性:因为m2,
15、所以=m2-40.所以x2+mx+1=0有实根,两根设为x1、x2,由韦达定理,知x1x2=10,所以x1与x2同号.又x1+x2=-m-20,所以x1、x2同为负实数,即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m2.(2)必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实根x1和x2,且x1x2=1,所以m-2=-(x1+x2)-2=-(x1+)-2=0.故m2,即x2+mx+1=0有两负实根的必要条件是m2. 综上,m2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.小结本题关键是分清命题的条件p,结论q分别表示什么,且分清“充分条件”和“必要条件”的不同.变式训练3.求关于x的方程ax2+2x+1=
16、0至少有一个负的实根的充要条件.答案:(1)a=0时适合.(2)当a0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a0;若方程有两个负的实根,则必须满足解得00,即x0,y0或x0,y0,y0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|;当x0,y0时,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之,当xy0时,有|x+y|=|x|+|y|.必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、yR,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,所以|xy|=xy.所以xy0.小结 充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清充分性是证
17、明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题.变式训练4.已知p:0m0,即m且m0时,方程有两个不相等的实根,设两根为x1、x2.若0m0,x1x2=0,故方程有两个同号且不相等的实数根,即0m方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根,则有所以0m,即方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根0m.所以p是q的充要条件.基础练习1.已知、是不同的两个平面,直线a,直线b.命题p:a与b无公共点;命题q:,则p是q的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:、无公共点a、b无公共
18、点;a、b无公共点不能推出、无公共点,即不能推出,则p是q的必要而不充分条件.答案:B2.设甲为0x5,乙为|x-2|3,那么甲是乙的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:由不等式|x-2|3, 得-1x5. 因为0x5-1x5, 但-1x50x0 D.b0解析:二次函数的单调区间应以对称轴来划分.二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=,要使函数在0,+)上是单调函数,需使0,即b0,反之也成立.答案:A4.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条
19、件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件解析:因为甲是乙的必要条件,所以乙甲;又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙乙,但乙丙.如图.综上有丙乙甲,但乙丙,故有丙甲,但甲丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.答案:A5.“m=是直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂 直”的( )A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析:由于直线方程中含有字母m,需对m进行讨论.(m+2)x+3my+1=0与(m-2)x+(m+2)y-3
20、=0互相垂直的充要条件是(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,即(m+2)(4m-2)=0, 所以m=-2或m=.显然m=只是上边集合的真子集.故为充分不必要条件. 答案:B6.设、为平面,m、n、l为直线,则m的一个充分条件是( )A.,=l,ml B.=m, C.,m D.n,n,m解析:利用充分条件的定义,再结合线面关系求解.对于A,=l,ml,m是否垂直,决定于m的位置关系;对于B,与、的交线m没有必然的联系,即不一定有m;对于C,则、的位置关系可相交,可平行;对于D,n,n,则有,又m,所以是m的一个充分条件.答案:D7.设定义域为R的函数f(x)=,则0,x=1,则关于x的方程
21、f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )A.b0 B.b0且c0 C.b0且c=0 D.b0且c=0解析:本题可通过数形结合的方法解决.先利用函数图像的变换作出f(x)的图像,如下图:注意f(x)=0有三个根,x1=0,x2=1,x3=2,且有f(x)0,令f(x)=t0,则方程为 t2+bt+c=0有实数解(t0)需满足t1+t2=-b0,即b0.t1t2=c0,排除B、D(因B项:c0,D项b0).对于A,不妨令b=-3,c=2,则方程为t2-3t+2=0,解之,得t1=1,t2=2,即f(x)=1或f(x)=2,由图知有8个根,排除A,故选C.实际上当b0,由f(
22、x)=-b0,结合图像,此时有4个根,f(x)=0有根为0,1,2计7个.答案:C8.已知、为锐角,若p:sinsin(+),q:+,利用单调性明显可得p成立.答案:B9.设集合A、B是全集U的两个子集,则AB是(A)B=U的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:直接推较为复杂,可借助Venn图来求解.运用Venn图.AB时,如图所示.则(A)B=U成立.当A=B时,如图所示.(A)B=(B)B=U成立,即(A)B=U成立时,可有AB. 答案:A10.已知p、q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?
23、 (2)r是q的什么条件? (3)p是q的什么条件?解析:可将已知r、p、q、s的关系用图表示,然后利用图示解答问题.答案:由图可知:(1)因为qs,srq,所以s是q的充要条件.(2)因为rq,qsr,所以r是q的充要条件.(3)因为qsrp,而pq,所以p是q的必要不充分条件.11.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件).(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除; (2)p:x1,q:x21;(3)p:ABC有两个角相等,q:ABC是正三角形; (4)p:|ab|=ab,q:ab0.解析:判断p是q的什么条件,主要判断pq
24、及qp两命题的正确性,若pq真,则p是q成立的充分条件;若qp真,则p是q成立的必要条件.答案:(1)因为pq,且qp,所以p是q的充分不必要条件.(2)因为pq,且qp,所以p是q的充分不必要条件.(3)因为pq,且qp,所以p是q的必要不充分条件.(4)因为ab=0时,|ab|=ab,所以|ab|=abab0,而当ab0时,有|ab|=ab,所以p是q的必要不充分条件.12.是否存在实数p,使“4x+p0”的充分条件?如果存在,求出p的取值范围.解析:“4x+p0”是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的p的范围.答案:x2-x-20的解是x2或x-1,由4x+p0得x.要想使x2或x
25、-1成立,必须有-1,即p4,所以当p4时, -1x0.所以p4时,“4x+p0”的充分条件.13.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.解析:首先分清条件与结论.条件是“a+b+c=0”,结论是“方程ax2+bx+c=0有一个根为1”;证明充分性是证明“条件”“结论”,证明必要性是证明“结论”“条件”.证明:必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.所以a12+b1+c=0,即a+b+c=0.充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b.代入方程ax2+bx+c=0中可得ax2+bx-a-b=0,即(x-
26、1)(ax+a+b)=0.故方程ax2+bx+c=0有一个根为1.14.已知ab0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.解析:本题中ab0是大前提.证明充要条件即证明既是充分条件又是必要条件,必须证明必要性与充分性都成立.证明:先证必要性:因为a+b=1(ab0),即b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.所以必要性成立.再证充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,所以(a+b-
27、1)(a2-ab+b2)=0.又因为ab0,所以a0且b0,从而a2-ab+b20.所以a+b-1=0,即a+b=1.故充分性成立.15.已知二次函数y=-x2+mx-1和点A(3,0),B(0,3),求二次函数图象与线段AB有两个不同交点的充要条件.解析:应先根据图像与线段AB有两个不同交点,导出结论成立的必要条件,即求出m的范围,再证明其为充分条件.答案:(1)必要性:由已知,得线段AB的方程为x+y=3(0x3),因为二次函数图像与线段AB有两个不同的交点,所以方程组有两组不同的实数解.将y=3-x代入y=-x2+mx-1,得x2-(1+m)x+4=0(0x3).令f(x)=x2-(1+
28、m)x+4(如图),则有即解之,得3m.(2)充分性:当3=0,x2=3.所以方程x2-(1+m)x+4=0有两个不同的实根,且两根x1、x2满足0x1x23,即方程组有两组不同的实数解.所以二次函数y=-x2+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3m.16.在下面电路图1-2-3中,闭合开关A是灯泡B亮的什么条件?解析:若pq,则称p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.当我们把闭合开关A,称为条件p,而把灯泡B亮,称为结论q时,结合简单的电学知识,就可以得到正确的解答.答案:如题图(1),闭合开关A或闭合开关C,都可使灯泡B亮.反之,若要灯泡B亮,不一定非要闭合开关A.因此,闭合开
29、关A是灯泡B亮的充分但不必要条件;题图(2),闭合开关A而不闭合开关C,灯泡B不亮.反之,若要灯泡B亮,开关A必须闭合,说明闭合开关A是灯泡B亮的必要但不充分条件;题图(3),闭合开关A可使灯泡B亮,而灯泡B亮,开关A一定是闭合的,因此,开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;图图(4),闭合开关A但不闭合开关C,灯泡B不亮,反之,灯泡B亮也不必闭合开关A,只要闭合开关C即可,说明闭合开关A是灯泡B亮的既不充分也不必要条件.课后总结一、充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系.1.从逻辑推理关系上看.(1)若pq,但qp,则p是q的充分而不必要条件;
30、(2)若qp,但pq,则p是q的必要而不充分条件;(3)若pq,且qp(或pq且pq),则p是q的充要条件;(4)若pq,且qp,则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.对充要条件的理解和判断,要搞清楚其定义实质:若pq,则p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立足够了;若qp,则p是q的必要条件,所谓“必要”,即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可!例如:“学生”是“中学生”的必要条件,而“中学生”是“学生”的充分条件.2.从集合与集合之间关系上看. (1)若AB,则A是B的充分条件;(2)若AB,则A是B的必要条件;(3)若A=B,则A是B的充要条件;(4)若AB是BA,则
31、A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件. 设A=x|xp,B=x|xq,即x具有性质p,则xA,若x具有性质q,则xB.如果AB,就是说若xA,则xB,即x具有性质p,则x必具有性质q,即pq;类似地,A=B与pq等价.二、一般地,关于充要条件的判断主要有以下几种方法:(1)定义法:直接利用定义进行判断.(2)等价法:“pq”表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立.这里要注意“原命题逆否命题”“否命题逆命题”只是等价形式之一,对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法.(3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q都是集合,那么若pq,则p是q的充分条件;若pq,则p是q的必要条件;若p=q,则p是q的充要条件.第 16 页