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1、1,二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼茨公式,一、引例,第二节 微积分基本公式,第五章,四、小结,2,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,3,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证,则有,定理1 若,积分中值定理,4,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 其他变限积分求导,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,证明见补充定理3,5,例1,解,6,例2,证,7,例3,证明,在,内为单调递增函数 .,证,只要证,8,三、牛顿 莱布尼茨公
2、式,( 牛顿 - 莱布尼茨公式),证,根据定理 1,故,因此,得,定理2,函数 ,则,9,例4 计算,解,例5 计算正弦曲线,的面积 .,解,10,例6 求,解,例7 求,原式,解,11,例8 设 , 求 .,解,12,例9 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,车到停车走了多少距离?,13,例10,解,14,则有,1. 微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼茨公式,2. 变限积分求导公式,四、小结,15,定理3,设函数 f (t) 在区间 c, d 上连续,函数,区间a, b上可导,且,则函数,在区间a, b上可导,且,积分变限函数,补充:,16,证明,因为函数 f (t) 在区间c, d 上连续,所以 f (t)在区间c, d 上有原函数F (t),由Newton-Leibniz,公式及复合函数求导法则得,显然,当,时,上式就是定理 1 的,定理3,结论.,