第一章逻辑代数基础.ppt

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1、第一章 逻辑代数基础,概述,1.1 基本概念、公式和定理,1.2 逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,1.3 逻辑函数化简,模拟信号：,在时间和幅值上连续的信号,数字信号：,在时间和幅值上离散的信号,高电平,低电平,第一章 逻辑代数基础,概述,模拟电路：,用于传递和处理模拟信号的电路就称为模拟电路。,数字电路：,用以传递和加工处理数字信号的电路就称为数字电路。,如放大电路就是最典型的模拟电路。,第一章 逻辑代数基础,概述,1. 工作信号是离散的，因此电路中晶体管多数工作在开关状态。,2. 研究对象是输入和输出的逻辑关系，因此主要的分析工具是逻辑代数，表达电路的功能主要是真值表、逻辑表达式及逻

2、辑图等。,数字电路的特点,第一章 逻辑代数基础,概述,计算机,通信（DSP应用）,电视（高清晰度）,将来通信的发展趋势：,软件无线电,单片机,+,DSP,+,FPGA,典型应用,第一章 逻辑代数基础,概述,复杂系统结构的 电子产品已经大众化,第一章 逻辑代数基础,概述,数字电路的优点,数字电路较之模拟电路有如下优点：,（1）数字信号不易失真，精度高，容易校验和纠错；,（2）数字信号存取方便，可长期存储，传输时可 无限次再生中继；,（3）数字信号可以用微处理器进行处理，可以实现十分复杂的算法；,（4）数字电路更易小型化、集成化。,第一章 逻辑代数基础,概述,进位计数制,十进制（Decimal),

3、=3 102 + 3 101+ 3 100+ 3 10-1 +3 10-2,1)基数10，逢十进一，即9+1=10,3)不同数位上的数具有不同的权值10i。,任意一个十进制数，都可展成多项式的形式：,(333.33)10,位置计数法,(N)10=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)10,2)有0-9十个数字符号,=Kn-1 10n-1+K1101+K0100+K-1 10-1+K-m 10-m,第一章 逻辑代数基础,概述,特点：,二进制(Binary),1）基数2，逢二进一，即1+1=10,3）不同数位上的数具有不同的权值2i。,(N)2=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)2 =

4、Kn-1 2n-1+K121+K020+K-1 2-1+K-m 2-m,2)有0-1两个数字符号和小数点，数码K i从0-1,第一章 逻辑代数基础,概述,特点：,3）不同数位上的数具有不同的权值Ri。,(N)R=(Kn-1 K1 K0. K-1 K-m)R =Kn-1 Rn-1+K1R1+K0R0+K-1 R-1+K-m R-m,特点：1）基数R，逢R进一，,2) 有R个数字符号和小数点，数码K i从0-R-1，,第一章 逻辑代数基础,概述,数 制 转 换,十进制,二进制,二进制,十进制,二进制,八、十六进制,八、十六进制,二进制,十进制与二进制间的转换,非十进制间的转换,第一章 逻辑代数基础

5、,概述, 整数部分的转换,十进制转换成二进制,除基取余法：用目标数制的基数（R=2）去除十进制数。,例：（81）10=（？）2,得：（81）10 =（1010001）2,40,20,10,5,2,0,1,K0,0,K1,0,K2,0,K3,1,K4,0,K5,1,K6,1,81,第一章 逻辑代数基础,概述,0.65,K-1,0.3,K-2,0.6,K-3,0.2,K-4,0.4,K-5,0.8,例： （0.65）10 =( ? )2 要求精度为小数五位。,由此得：(0.65)10=(0.10100)2,乘基取整法：小数乘以目标数制的基数（R=2）,小数部分的转换,第一章 逻辑代数基础,概述,二

6、进制转成十进制,方法：将二进制数按权展成多项式，按十进制 求和。,(1101.11)2,例：,= 123+122+021+ 120+12-1+12-2,= 8+4+0+1+0.5+0.25,=13.75,第一章 逻辑代数基础,概述,非十进制间的转换, 二进制与八进制间的转换,从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目的数。,例8： 11010111.0100111 B = ? Q,11010111.0100111 B = 327.234 Q,11010111.0100111,小数点为界

7、,0,00,7,2,3,2,3,4,第一章 逻辑代数基础,概述,小数点为界, 二进制与十六进制间的转换,从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。,例9： 111011.10101 B = ? H,111011.10101 B = 3B.A8 H,111011.10101,00,000,B,3,A,8,第一章 逻辑代数基础,概述,编码：用一组二进制码按一定规则排列起来以表示数字、符号等特定信息。,（一）自然二进制码,按自然数顺序排列的二进制码。如用四位自然二进制码0000111

8、1，表示十进制数015。,常用的编码：自然二进制码、二十进制码、格雷码、奇偶检验码、ASCII码等,第一章 逻辑代数基础,概述,常用编码,（二）二十进制码（ Binary Coded Decimal Code，BCD码）,1 8421BCD 码,根据上表，请总结出8421BCD码的特点,第一章 逻辑代数基础,概述,例：（276.8）10 =（ ？ ）8421BCD,2 7 6 . 8 0010 0111 0110 1000,（276.8）10 =（001001110110.1000）8421BCD,2.其它BCD编码,2421BCD 码、5421BCD码、5211BCD码,第一章 逻辑代数基础

9、,概述,ASCII码:七位代码表示128个字符，96个为图形字符，32个控制字符。,（三）ASCII码（ American Standard Code for Information Interchange）,第一章 逻辑代数基础,概述,（三）格雷码（Gray Code),思考：根据上表，请总结出Gray码的特点,第一章 逻辑代数基础,概述,G0=B1B0 G1=B2B1 G2=B3B2 G3=B3,二进制数中的第i位与第i+1位相同，则格雷码的第i位为0，否则为1，二进制数的最高位必须与0相比较。, 二进制码与格雷码的转换,二进制码1001格雷码1101,1 0 0 1,1,1,1,0,0,

10、第一章 逻辑代数基础,概述,与逻辑真值表,与逻辑关系表,与逻辑,开关A,开关B,灯F,断 断 断 合 合 断 合 合,灭 灭 灭 亮,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,欲使某事件成立，必须所有条件 具备，缺一不可。,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,B,F,A,或逻辑真值表,或逻辑,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,使某事件成立的条件有一即可，多也不限,非逻辑,非逻辑真值表,1,A,F,0,1,1,0,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之

11、事件发生。,“-”非逻辑运算符,与非运算,或非运算,与或非运算,同或运算,异或运算,复合逻辑运算,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,与非逻辑,或非逻辑,与或非逻辑,复合逻辑运算,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,异或逻辑,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,=1,同或逻辑,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,“”异或逻辑运算符,逻辑代数的基本公式和常用公式,公理,交换律,结合律,分配律,0 0 = 0,0 1 =1 0 =0,1 1 = 1,0+ 0 = 0,0+ 1 =1 + 0 =1,1+ 1 = 1,A B = B A,A+ B = B

12、 + A,(A B) C = A (B C),(A+ B)+ C = A+ (B+ C),A ( B+ C ) = A B+ A C,A+ B C =( A+ B) (A+ C ),第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,逻辑代数的基本公式和常用公式,0-1律,重叠律,互补律,还原律,反演律,自等律,A 0=0 A+ 1=1,A 1=A A+ 0=A,A A=A A+ A=A,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,逻辑代数的基本公式和常用公式,吸收律,消因律,包含律,合并律,A+A B=A A (A+B)=A,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,例：用真值表证明反演律(摩根定

13、律),1,1,1,1,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,“两项相加，一项含着另一项的非，则非因子多余.”,例：利用基本定律证明常用公式,解：,常用公式证明,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,“与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的”,公式可推广：,例：证明包含律,常用公式证明,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,逻辑代数的三个基本定理,任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立,得,由此反演律能推广到n个变量：,利用反演律,第一章 逻辑代数

14、基础,基本概念、公式和定理, 反演定理（山农定理）：,对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：, 若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”;, 常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；, 原变量换成反变量，反变量换成原变量,逻辑代数的三个基本定理,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。, 不属于单个变量上的非号的处理方法：, 保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入 括号；,应用反演定理时注意：,其反函数为,反演定理的应用,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；,

15、2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”,得到新函数式为原函数式F 的对偶式F。, 对偶定理：,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即 若 F1 = F2 则F1= F2。使公式的数目增加一倍。,例：,其对偶式,逻辑代数的三个基本定理,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理, 函数式中有“”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”， “”换成“”。, 求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。,应用对偶定理时注意：,第一章 逻辑代数基础,基本概念、公式和定理,一、逻辑函数的定义和特点,定义：输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的逻辑关系。,二、

16、逻辑函数的表示方法,真值表,逻辑函数式,逻辑图,波形图,特点：输入变量和输出变量只有逻辑0、逻辑1两种取值。,F = f（A、B、C、.）,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,1.2 逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,F,0,0,0, 挑出函数值为1的输入组合,1, 写出函数值为1的输入组合对应的乘积项, 这些乘积项作逻辑加,逻辑函数表示方法举例：,A，B，C：断“0”，合“1”,F：暗“0”，亮“1”,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,B,F,A,C,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,F,1,A,B,C,A,C,

17、B,C,A,B,C,F,函数表达式的常用形式, 五种常用表达式,“与或”式,“或与”式,“与非与非”式,“或非或非”式,“与或非”式, 表达式形式转换,利用还原律,利用反演律,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,逻辑函数的标准形式,3个变量的逻辑函数有以下8个最小项：,最小项：在n个变量的逻辑函数中，P是n个变量的乘积项，如果在P中，每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称P为最小项。, 最小项的定义和表示,最小项,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,0 0 1,A B C,0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0

18、,0,0,0,0,0,1,1, 最小项的性质：,2.任意两个最小项的乘积恒为0，即 mimj=0 (ij) ；,3. 所有最小项之和恒为1。,1.每一最小 项与一组变量取值相对应，只有这一组取值使该最小项的值为1；,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,逻辑函数的标准形式,逻辑函数的标准表达式最小项之和的形式,解：,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换, 从真值表找出F为1的对应最小项,解:, 然后将这些项逻辑加,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换,逻辑函数的标准形式,例 ： 已知逻辑图，求函数表达式, 乘积项中的变量最少,

19、乘积项最少,第一章 逻辑代数基础,1.3 逻辑函数化简,逻辑函数化简, 每个门的输入端个数少, 逻辑电路所用门的数量少, 降低成本，提高可靠性,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,逻辑函数化简的意义, 从工程的角度，成本最低,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数的变换,逻辑函数化简, 与或表达式的简化, 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB,第一章 逻辑代数基础,公式法化简函数,逻辑函数化简,例：试简化函数,解：,利用公式,利用公式,利用公式,利用公式,第一章 逻辑代数基础,代数法化简函数,逻辑函数化简,图形法化简函数, 24变量卡诺图（K图）,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,m

20、0,m1,m2,m3,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,图形法化简函数, n个变量的函数的卡诺图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；,几何上相邻的最小项在逻辑上也是相邻的。若两个最小项只有一个因子不同，则称逻辑相邻。, 几何相邻包括：直接相邻、上下相邻、左右相邻、四角相

21、邻。,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,因为卡诺图中几何上相邻的最小项在逻辑上也是相邻的。因此可以利用公式 和 消去一个变量，达到化简的目的。,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简, 用卡诺图化简逻辑函数, 画逻辑函数的卡诺图, 画包围圈，其原则为：要将所有的1方格都画入包围圈圈入，以防止遗漏积项；包围圈越大越好，包围圈个数越少越好；同一个一方格可以多次参加画圈，但每个圈中都要有新的一方格；先画大圈，后画小圈，单独的一方格也不要漏掉；包围圈内的一方格个数只能是1、2、4、8。, 每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则。, 最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简

22、, 根据函数画卡诺图的方法,1. 已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。,2. 若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。,3. 函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,例1：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图并化简,1,1,1,得：,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,例2：将F(A，B，C，D)=m（0，1，4，6，7，9，10，11，12，13，14，15）化为最简与非与非式,解：,AC,AD,BC,化简得：,最简与非与非式为：,第一章 逻辑代数

23、基础,逻辑函数化简,解：,利用卡诺图化简逻辑函数 F（A，B，C，D）=m(1,5,6,7,11,12,13,15),ACD,多余包围圈,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,解：,A,1,例2 化简逻辑函数,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,例：有一水箱由大、小两台水泵ML和MS供水，如图所示。水箱中设置了3个水位检测元件A、B、C。水面低于检测元件时，检测元件给出高电平；水面高于检测元件时，检测元件给出低电平。现要求当水位超过C点时，水泵停止工作；水位低于C点而高于B点时MS单独工作，水位低于B点而高于A时ML单独工作，水位低于A点时ML和MS同时工作。试用门电路设计一个控制两台水泵的逻辑

24、函数，要求电路尽量简单。,0 0 1,0 0 0,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1, ,0 0, , , ,1 0,0 1,1 1,具有无关项的逻辑函数化简,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,由于某些实际原因，对于变量的某些取值组合在正常情况下不可能出现，这些组合对应的最小项称为约束项，也称无关项,上述例子中含有4个约束项，分别为：,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简, 填函数的卡诺图时，约束项既可视为“1”也可视为“0”，在对应的格内填任意符号“”。,处理方法：,约束项的性质：根据前面讲过的最小项性质，每个最小项只有一组取值使它等于1，而对约束项来说，使它等于1的这组取值不可能出现。因此约束项恒等于零。,因此，约束项也可表示为,第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,例：已知函数：,求其最简与或式。,解：, 填函数的卡诺图, 化简,F(A,B,C,D)=m(0,2,3,4,6,8,10)+d(11,12,14,15),第一章 逻辑代数基础,逻辑函数化简,