第一章量子力学基础知识课堂讲授4学时.ppt

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1、 第一章 量子力学基础知识 （课堂讲授4学时） 十九世纪末，经典物理学已经形成一个相当 完善的体系，机械力学方面建立了牛顿三大定律 ，热力学方面有吉布斯理论，电磁学方面用麦克 斯韦方程统一解释电、磁、光等现象，而统计方 面有玻耳兹曼的统计力学。当时物理学家很自豪 地说，物理学的问题基本解决了，一般的物理都 可以从以上某一学说获得解释。唯独有几个物理 实验还没找到解释的途径，而恰恰是这几个实验 为我们打开了一扇通向微观世界的大门。 十九世纪末的物理学 电子、原子、分子和光子等微观粒子，具有波粒二象 性的运动特征。这一特征体现在以下的现象中，而这些现 象均不能用经典物理理论来解释，由此人们提出了量

2、子力 学理论，这一理论就是本课程的一个重要基础。 1.1.1 黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的 物体。带有一微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进 入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射、使射入的 辐射实际上全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出 辐射，极小部分通过小孔逸出。黑体是理想的吸收体， 也是理想的发射体。 第一节.量子力学的提出 一个吸收全部入射线的表面称为黑体表面。 一个带小孔的空腔可视为黑体表面。它几乎完全 吸收入射幅射。通过小孔进去的光线碰到内表面 时部分吸收，部分漫反射，反射光线再次被部分 吸收和部分漫反射，只有很小部分入射光有 机会再从小孔中出来。如图11所示

3、 图12表 示在四种不同 的温度下，黑 体单位面积单 位波长间隔上 发射的功率曲 线。十九世纪 末，科学家们 对黑体辐射实 验进行了仔细 测量，发现辐 射强度对腔壁 温度 T的依赖 关系。 为了解释黑体辐射现象，他提出粒子能量永远是 h 的整数 倍， = n h ，其中是辐射频率，h 为新的物理常数，后 人称为普朗克常数(h=6.62610-34 Js)，这一创造 性的工作使他成为量子理论的奠基者，在物理学发展史上具 有划时代的意义。他第一次提出辐射能量的不连续性，著名 科学家爱因斯坦接受并补充了这一理论，以此发展自己的相 对论，波尔也曾用这一理论解释原子结构。量子假说使普朗 克获得1918年

4、诺贝尔物理奖。 黑体是理想的吸收体，也是理想的发射体。当把几种 物体加热到同一温度，黑体放出的能量最多。由图中不同 温度的曲线可见，随温度增加，E增大，且其极大值向高 频移动。为了对以上现象进行合理解释，1900年Plank提 出了黑体辐射的能量量子化公式: Plank The Nobel Prize in Physics 1918 “for their theories, developed independently, concerning the course of chemical reactions“ Max Karl Ernst Ludwig Planck Germany Berl

5、in University Berlin, Germany 1858 - 1947 普朗克 根据光波的经典图像，波的能量与它的强度成正 比，而与频率无关，因此只要有足够的强度，任何频 率的光都能产生光电效应，而电子的能动将随光强的 增加而增加，与光的频率无关，这些经典物理学的推 测与实验事实不符。 光电效应是光照在金属表面上，金属发射出电子 的现象。 1.只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频 率）时，金属才能发射光电子，不同金属的临阈频率 不同。 2.随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响 光电子的动能。 3.增加光的频率，光电子的动能也随之增加。 1.1.2 图1-3 光电效应

6、示意图 (光源打开后,电流表 指针偏转) (2).光子不但有能量，还有质量(m)，但光子的静 止质量为零。按相对论的质能联系定律,=mc2,光子 的质量为 m = hc2 所以不同频率的光子有不同的质量。 1905年，Einstein提出光子学说，圆满地解释 了光电效应。光子学说的内容如下： (1).光是一束光子流，每一种频率的光的能量都 有一个最小单位，称为光子，光子的能量与光子的 频率成正比，即 式中h为Planck常数，为光子的频率。 将频率为的光照射到金属上，当金属中的一个 电子受到一个光子撞击时，产生光电效应，光子消 失，并把它的能量h转移给电子。电子吸收的能量 ，一部分用于克服金属

7、对它的束缚力，其余部分则 表现为光电子的动能。 (3).光子具有一定的动量(p) P = mc = h /c = h 光子有动量在光压实验中得到了证实。 (4).光的强度取决于单位体积内光子的数目，即 光子密度。 Ek = h W 当h W时，从金属中发射的电子具有一定 的动能，它随 的增加而增加，与光强无关。 式中W是电子逸出金属所需要的最低能量，称为脱 出功，它等于h0；Ek是光电子的动能，它等于 mv22 ，上式能解释全部实验观测结果： 当h n1, n1、n2为正整数 该公式可推广到氢原子光谱 的其它谱系 21 （3）各态能量一定，角动量也一定( M=nh/2 ) 并且是量子化的，大小

8、为 h/2 的整数倍。 （1）原子中有一些确定能量的稳定态，原子处于定态 不辐射能量。 （2）原子从一定态过渡到另一定态，才发射或吸收能量 。 为了解释以上结果，玻尔综合了普朗克的量子论， 爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出著 名的玻尔理论： +e -e r 库仑引力 离心力 角动量 总能量 动能势能 Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有 成效，对碱金属原子也近似适用. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不必说较复杂的原子；也不能 计算谱线强度。后来，Bohr模型又被.Sommerfeld 等人进一步改进，增加了椭圆轨道和轨道平面取向 量子化(即空间量子化). 这些改进并

9、没有从根本上 解决问题, 促使更多物理学家认识到, 必须对物理学 进行一场深刻变革. 法国物理学家德布罗意(L.V.de Broglie)勇敢地迈出一大步. 1924年, 他提出了物质 波可能存在的主要论点. Bohr 玻尔 他获得了 1922年的 诺贝尔物 理学奖。 Bohr(older) 玻尔 Einstein为了解释光电效应提出了光子说 ，即光子是具有波粒二象性的微粒，这一观点在 科学界引起很大震动。1924年，年轻的法国物理 学家德布罗意（de Broglie）从这种思想出发, 提出了实物微粒也有波性,他认为：“在光学上, 比起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究 方法；在实物微粒上

10、，是否发生了相反的错误？ 是不是把粒子的图像想得太多，而过于忽略了波 的图像？” - 德布罗意物质波 他提出实物微粒也有波性，即德布罗意波。 E = h v , p = h / 1927年，戴维逊（Davisson）与革末（ Germer）利用单晶体电子衍射实验，汤姆逊（ Thomson）利用多晶体电子衍射实验证实了德布 罗意的假设。 光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒 子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都 有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性 质，称为波粒二象性。 戴维逊(Davisson)等估算了电子的运动速度 ，若将电子加压到1000V,电子波长应为几十个 pm，这样波长一般

11、光栅无法检验出它的波动性 。他们联想到这一尺寸恰是晶体中原子间距， 所以选择了金属的单晶为衍射光栅。 将电子束加速到一定速度 去撞击金属Ni的单晶，观察到 完全类似射线的衍射图象， 证实了电子确实具有波动性。 图1-5为电子射线通过 CsI薄膜 时的衍射图象，一系列的同心 圆称为衍射环纹。该实验首次 证实了德布罗意物质波的存在 。后来采用中子、质子、氢原 子等各种粒子流，都观察到了 衍射现象。证明了不仅光子具 有波粒二象性，微观世界里的 所有微粒都有具有波粒二象性 ，波粒二象性是微观粒子的一 种基本属性。 微观粒子因为没有明确的外形和确定的轨道，我 们得不到一个粒子一个粒子的衍射图象，我们只能

12、用 大量的微粒流做衍射实验。实验开始时，只能观察到 照象底片上一个个点，未形成衍射图象，待到足够长 时间，通过粒子数目足够多时，照片才能显出衍射图 象，显示出波动性来。可见微观粒子的波动性是一种 统计行为。微粒的物质波与宏观的机械波（水波，声 波）不同，机械波是介质质点的振动产生的；与电磁 波也不同，电磁波是电场与磁场的振动在空间的传播 。微粒物质波，能反映微粒出现几率，故也称为几率 波。 空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现 在此处的在此处的几率几率成正比成正比, ,此即物质波的此即物质波的统计解释统计解释. . 德布罗意（Louis Victor

13、 de Broglie， 1892-1987）法国物 理学家。德布罗意提 出的物质波假设。为 人类研究微观领域内 物体运动的基本规律 指明了方向。为了表 彰德布罗意，他被授 予1929年诺贝尔物理 学奖。 具有波动性的粒子不能同时有具有波动性的粒子不能同时有精确坐标和动量精确坐标和动量. . 当粒子的某个坐标被确定得愈精确当粒子的某个坐标被确定得愈精确, ,则其相应的则其相应的 动量则愈不精确动量则愈不精确; ;反之亦然反之亦然. .但是，其位置偏差但是，其位置偏差 ( (x)x)和动量偏差和动量偏差( (p)p)的积恒定的积恒定. . 即有以下关系即有以下关系: : 通过电子的单缝衍射可以说

14、明这种通过电子的单缝衍射可以说明这种“不确定不确定”的确存在的确存在 。 第三节 不确定度关系-测不准原理 x = bx = b 在同一瞬时，由于衍射的缘故，电子动量的大小虽 未变化，但动量的方向有了改变。由图可以看到， 如果只考虑一级(即 )衍射图样，则电子绝大多 数落在一级衍射角范围内，电子动量沿 轴方向 分量的不确定范围为 由德布罗意公式和单缝衍射公式 和 上式可写为 又因为x = bx = b， 因此因此 宏观世界与微观世界的力学量之间有很大区别， 前者在取值上没有限制，变化是连续的，而微观世界 的力学量变化是量子化的，变化是不连续的，在不同 状态去测定微观粒子，可能得到不同的结果，对

15、于能 得到确定值的状态称为“本征态”，而有些状态只能 测到一些不同的值（称为平均值），称为“非本征态 ”。例如，当电子处在坐标的本征态时，测定坐标有 确定值，而测定其它一些物理量如动量，就得不到确 定值，相反若电子处在动量的本征态时，动量可以测 到准确值，坐标就测不到确定值，而是平均值。海森 伯（Heisenberg）称两个物理量的这种关系为“测不 准”关系。 海森伯(W. K. Heisenberg， 1901-1976)德国理论物理学家， 他于1925年为量子力学的创立作 出了最早的贡献，而于26岁时提 出的不确定关系则与物质波的概 率解释一起，奠定了量子力学的 基础，为此，他于1932年

16、获诺贝 尔物理学奖。 海森伯 所以，子弹位置的不确定范围是微不足道的。可见子 弹的动量和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观 物体来说没有实际意义。 例1.一颗质量为10g 的子弹，具有200ms-1的速率， 若其动量的不确定范围为动量的0.01%(这在宏观范围 已十分精确)，则该子弹位置的不确定量范围为多大? 解: 子弹的动量 动量的不确定范围 由不确定关系式，得子弹位置的不确定范围 我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小 。在这种情况下，电子位置的不确定范围比原子的大 小还要大几亿倍，可见企图精确地确定电子的位置和 动量已没有实际意义。 例2 . 一电子具有200 的速率，动量

17、的不确定范 围为动量的0.01%(这已经足够精确了)，则该电子的位 置不确定范围有多大? 解 : 电子的动量为 动量的不确定范围 由不确定关系式，得电子位置的不确定范围 宏观物体 微观粒子 具有确定的坐标和动量 没有确定的坐标和动量 可用牛顿力学描述。 需用量子力学描述。 有连续可测的运动轨道，可 有概率分布特性，不可能分辨 追踪各个物体的运动轨迹。 出各个粒子的轨迹。 体系能量可以为任意的、连 能量量子化 。 续变化的数值。 不确定度关系无实际意义 遵循不确定度关系 微观粒子和宏观物体的特性对比 量子力学的基本假设，象几何学中的公理 一样，是不能被证明的。公元前三百年欧几里 德按照公理方法写

18、出几何原本一书，奠定 了几何学的基础。二十世纪二十年代，狄拉克 ，海森伯，薛定锷等在量子力学假设的基础上 构建了这个量子力学大厦。假设虽然不能直接 证明，但也不是凭科学家主观想象出来的，它 来源于实验，并不断被实验所证实。 假设1：对于一个微观体系，它的状态和有关 情况可以用波函数(x,y,z,t)来表示。是体系 的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也 是时间函数。不含时间的波函数（x,y,z) 称为 定态波函数。本课程只讨论定态波函数。 量子力学是描述微观体系运动规律的科学. 例如：对一个两粒子体系, =(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)，其中x1,y1,z1为粒子1 的坐标；

19、x2,y2,z2为粒子2的坐标；t是时间。 1.4.1 波函数和微观粒子的状态 * =(f-ig) (f+ig)=f2+g2 因此*是实数，而且是正值。为了书写方便，有 时也用2代替*。 的形式可由光波推演而得，根据平面单色光的 波动方程： =A expi2(x/-t) 将波粒二象性关系 E=h，p=h/ 代入，得单粒子 一维运动的波函数 =A exp（i2/h）(x p x-Et) 一般是复数形式：= f+ig , f和g是坐标的实函数 ， 的共轭复数为*,其定义为* = f-ig。为了求 * ，只需在 中出现i的地方都用 i 代替即可。由于 在原子、 分子等体系中，将称为原子轨道或分子 轨

20、道；将*称为概率密度，它就是通常所说的电子 云；*d为空间某点附近体积元d(dxdydz)中电 子出现的概率。 (x,y,z)在空间某点的数值，可能是正值，也 可能是负值。微粒的波性通过的+、-号反映出来 ，这和光波是相似的。+、-号涉及状态函数(如原子 轨道等)的重叠。 的性质与它是奇函数还是偶函数有关 偶函数： (x,y,z)= (-x,-y,-z) 奇函数： (x,y,z)= -(-x,-y,-z) 波函数的奇偶性涉及微粒从一个状态跃迁至另一个 状态的几率性质（选率）。 平方可积：即在整个空间的积分*d应为一有 限数，通常要求波函数归一化，即*d 1。 合格波函数的条件 由于波函数描述的

21、波是几率波，所以波函数 必须满足下列三个条件： 单值：即在空间每一点只能有一个值 ； 连续：即的值不会出现突跃，而且对x，y，z 的一级微商也是连续函数 ； 符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优 波函数。 波函数 1.4.2 物理量和算符 假设2：对一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应着一 个线性自轭算符。 算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。如 ：sin，log等。 线性算符：(12) 1 2 自轭算符：1*1 d1(1 )*d或 1*2 d2(1 )*d 例如， id/dx，1expix，1*exp-ix， 则，exp-ix(id/dx)expixdx exp-ix

22、(-expix)dx -x. expix(id/dx)expix*dx expix(-expix)*dx-x. 量子力学需用线性自轭算符，目的是使算符对应的本征 值为实数。 物理量 算符 位置 x 动动量的 x 轴轴分量p x 角动动量的z轴轴分量 MZ = x p yy p x 动动能 T = p2/2m 势势能 V 总总能 E = T+V = x P x = ( i h/2)( / x） MZ =（i h/2 ) x （ / y）y （ / x) T = （h2/82m)(2/x2+2/y2 + 2/z2 ） = （h2/82m）2 V = V H =（h2/82m）2 + V 若干物理量

23、及其算符 =A exp(i2/h)(x p xEt ) / x =A exp(i2/h)(x p xEt)d/d x (i2/h)(x p xEt) = (i2/h)(p x ) P x = ( i h/2)( / x) 算符 P x 算符 P x= (i h/2 ) ( / x) 推演： P x = (i h/2)( / x) 假设3：若某一力学量 A 的算符 A 作用于某一状 态函数后，等于某一常数 a 乘以，即 A= a 那么对所描述的这个微观体系的状态，其力 学量 A 具有确定的数值a， a 称为力学量算符 A 的本征值， 称为A的本征态或本征波函数， 上式称为A的本征方程。 1.4.

24、3 本征态、本征值和 Schrdinger方程 d/d x = d a exp(-ax)/d x = - a2exp(-ax) = (- a)a exp(-ax) = (- a) 本征值为 a 例题1 ：= a exp(-ax)是算符 d/d x 的本征函数， 求本征值 。 例题2 ：= a exp (-ax)是算符d2/dx2的本征函数 , 求本征值。 d2/dx2 = d2 a exp (-ax) / dx2 = - a2 d exp (-ax) / d x = a3 exp (-ax) = a2a exp (-ax) = a2 本征值为a2 自轭算符的本征值一定为实数： a，两边取复共轭

25、，得， *a*，由此二式可得： *()da* d， (*)da*d 由自轭算符的定义式知，由自轭算符的定义式知， * d(*)d 故，a* da*d， 即即 a a*，所以，所以， a为实数。为实数。 Schrdinger方程是决定体系能量算符的本征值和 本征函数的方程，是量子力学中一个基本方程。 薛定谔方程的由来：薛定谔方程的由来： 自由粒子波函数： 为满足归一化 分别对x、y、z进行两次偏导，得： 三式相加，并除以2m 考虑到能量除动能外，还有势能V(x、y、z) （ 哈密顿算符） 证明： i = a ii ， j = a jj ， ( a ia j ) ( i ) = a i i = a

26、 i i i j d= a j i j d ( i ) j d= a i i j d (a i a j )i j d=0 a i a j i j d=0 本征函数组的正交，归一的关系 i j d =j i d=i j 1 , i = j 0 , ij 本征函数组的正交，归一的关系 对一个微观体系，自轭算符给出的本征函数组 1 ，2 ，3，形成一个正交，归一的函数组。 (1).归一 ： i i d= 1 (2).正交 ： i j d= 0 (ij ) 假设4：若1，2 n为某一微观体系的可能状态 ，由它们线性组合所得的也是该体系可能的状态。 1.4.4 态叠加原理 组合系数ci的大小反映i贡献的

27、多少。为适应原贡献的多少。为适应原 子周围势场的变化，原子轨道通过线性组合，子周围势场的变化，原子轨道通过线性组合， 所得的杂化轨道（所得的杂化轨道（sp，sp2，sp3等）也是该原等）也是该原 子中电子可能存在的状态。子中电子可能存在的状态。 可由可由c c i i 值求出和力学量值求出和力学量A A 对应的平均值对应的平均值a a 本征态的力学量的平均值本征态的力学量的平均值 设与设与 1，2 n对应的本征值分别为对应的本征值分别为a1 ，a2，an，当体系处于状态并且已归一化时 ，可由下式计算力学量的平均值a（对应于力 学量A的实验测定值）： 非本征态的力学量的平均值 若状态函数不是力学

28、量A的算符的本征态,当体系 处于这个状态时,a,但这时可用积分计算力学量 的平均值： a*d 例如，氢原子基态波函数为1s，其半径和势能等均 无确定值，但可由上式求平均半径和平均势能。 1.4.5 Pauli(泡利)原理 假设：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能 容纳两个自旋相反的电子。或者说，两个自旋相同 的电子不能占据相同的轨道。 Pauli原理的另一种表述：描述多电子体系轨道运动 和自旋运动的全波函数，交换任两个电子的全部坐 标（空间坐标和自旋坐标），必然得出反对称的波 函数。 电子具有不依赖轨道运动的自旋运动,具有固有的角 动量和相应的磁矩,光谱的Zeeman效应(光谱线在磁 场中发

29、生分裂)、精细结构等都是证据。 微观粒子具有波性，等同微粒是不可分辨的。 (q1,q2)= (q2,q1) 费米子：自旋量子数为半整数的粒子。如，电子、 质子、中子等。 (q1,q2,qn)(q2,q1,qn) 倘若q1q2，即 (q1,q1,q3,qn)(q1,q1,q3,qn) 则，(q1,q1,q3,qn)0，处在三维空间同一坐标 位置上，两个自旋相同的电子，其存在的几率为零 。据此可引伸出以下两个常用规则： Pauli不相容原理：多电子体系中，两自旋相同 的电子不能占据同一轨道，即，同一原子中，两电 子的量子数不能完全相同； Pauli排斥原理：多电子体系中，自旋相同的电 子尽可能分开

30、、远离。 玻色子：自旋量子数为整数的粒子。如，光子、 介子、氘、粒子等。 不受 Pauli不相容原理的制 约。 (q1,q2,qn)(q2,q1,qn) 泡利 Pauli获 1945年诺贝 尔物理学奖 。 一个质量为m的 粒子，在一维 x 方向上运动。 0 ， 0 x l V = ， x 0 和 x l V= V=0 V= 0 x l 此二阶齐次方程的通解为： = c1cos (82m E / h2 )1/2 x + c2sin (82m E / h2 )1/2 x 第五节 一维势箱中的粒子运动状态 Schrdinger方程：方程： n 0 E= n2 h2 / 8m l2 （x）= c2 s

31、in (nx/ l ）=(2/l )1/2 sin (nx / l ） c2 = (2/l )1/2 根据品优波函数的连续性和单值条件， 当x = 0 和 x = l 时， = 0 即 x = 0 时 （0）= c1cos (0) + c2sin (0)= 0 则：c1 = 0 x = l 时 （l）= c2 sin (82m E / h2 )1/2 l = 0 c2 不能为 0 故必须是: (82m E / h2 )1/2 l = n n =1，2，3， C2可由归一化条件求出可由归一化条件求出 令 讨论：讨论： 1、n 称为量子数，只可能取正整数。 2、画出n(x)及n2(x) 3、零点能

32、、节点及节点数 + - n=4 n=3 n=2 n=1 n=3 n=2 n=1 + + + + - - E1 E2 E3 E4 1(x) 2(x) 32(x) 4(x) 42(x) 22(x) 12(x) 3(x) 一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度 n=4 体系的波函数与能量： 当n=1时，体系处于基态 。 当n=2时，体系处于第一激发态 。 当n=3时，体系处于第二激发态。 讨论：势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态时 ， l长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能级 升高，第一激发态包含一个周期，第二激发态包含正 弦波一个半周期。随着能级升高，波函数的节点 越来越多。而几率分布函数

33、告诉我们自由粒子在势箱 中出现的几率大小。例如：基态时，粒子在 处出现几率最大。而第一激发态，粒子在 处出现几率为0，在 处出现几率最大。 势箱中粒子的量子效应：1.粒子可以存在多种运动状态，它 们可由1 ，2 ，n 等描述； 2.能量量子化； 3.存在零点能； 4.没有经典运动轨道，只有几率分布； 5.存在节点，节点多，能量高。 箱中粒子的各种物理量 只要知道了，体系中各力学量便可用各自的算符 作用于而得到： （1）粒子在箱中的平均位置 粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右 两个半边出现的几率各为0.5，即 图形对势箱中 心点是对称的。 （2）粒子动量的x轴分量px （3）粒子的动

34、量平方px2值 一维试箱模型应用示例 n丁二烯的离域效应： E定=22h28ml2=4E1 E离=2h2/8m(3l)2+222h2/8m(3l)2 =(10/9)E1 n势箱长度的增加，使分子能量降低 ，更稳定。 C C CCCCCC E1 4/9E1 1/9E1 定域键离域键 lll3 l 花菁燃料的吸收光谱 R2N(CHCH)r CHN+R2 势箱总长l248r+565pm，共有2r22个电子，基态时需占r+2个分子轨 道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸收光的频率为 =E/h=(h/8ml2)(r+3)2-(r+2)2=(h/8ml2)(2r+5), 由=c/

35、， =8ml2c/(2r+5)h r 计算 实验 1 311.6 309.0 2 412.8 409.0 3 514.0 511.0 说明此体系可近似看做一维势箱。 量子力学处理微观体系的一般步骤： 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而 写出Schrdinger方程； 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定 归一化因子及En，求得n 描绘n， n*n等图形，讨论其分布特点等图形，讨论其分布特点 ； 用力学量算符作用于n， ，求各个对应状态各种 力学量的数值，了解体系的性质； 联系实际问题，应用所得结果。 三维势箱中粒子运动的Schrdinger方程： 三维势箱中粒子运动的波函数： 三维势箱能级表达式： 简并态：能量相同的各个状态。 三维无限深正方体势阱中粒子的简并态 再见 ！